物理世界奇遇记-3

说是你拍下的照片上的数据，并且充分考虑到到达照片上不同点的光会有不同的传播时间，再去进行计算时（注意，我说的是计算，而不是看）——只有到这个时候，你才能得出结论说，为了得到这张照片上的图像，自行车的长度必定是缩短了，或者说它变扁了。”　　“你又来啦，完全是学院式的鸡蛋里挑骨头！”慕德插嘴说。　　“鸡蛋里挑骨头！”教授发火了，“完全没有的事嘛……”　　“得，我该回房间去了。我得去拿我的写生簿。”她声明说，“就让你们两人去讨论吧！午饭见！”　　慕德走后，汤普金斯先生发表评论说：“我想，她大概很喜欢学画。”　　“学画？”教授亲切地看了他一眼，“我可不能让她知道你这样说她。慕德是个美术家——一个专业的美术家。她已经颇有些名气了。你知道，并不是人人都能在证券大街的美术馆办个人作品回顾展的呀。上个月的《泰晤士报》就有一篇关于那个展览会的侧面报道。”　　“真的，”汤普金斯先生喊道，“你一定很为她而自豪吧？”　　“的确是这样。一切都变得很好，非常好——最后。”　　“最后？你指的是什么？”　　“没什么，不过，这种转变正好是我原来不想让她干的事。有一个时期，她是准备成为一个物理学家的。她很出色，在学院里，她的数学和物理学都是班上第一。可是后来，她突然把它们全都放弃了。就是这样……”他的声音低了下来。　　教授定了定神，接着往下说：“不过，正像我说过的，她已经有了成就，她也很快乐。那么：我还想要什么呢？”他透过餐厅的窗子往外看着。“愿意同我在一起吗？我们可以在他们全都出去以前，抢占两张帆布靠椅，然后……”他四面看了看，确信慕德不在旁边以后，他用策划阴谋者的口气说，“然后，我们就可以专门谈个痛快了。”　　于是，他们走到海滩上，找了一个清静的地方坐下。　　“好了，”教授开始说了，“让我们谈谈弯曲空间吧。　　“为了简单起见，我们就拿个表面作为例子吧！让我们想象，壳牌先生——你知道，他拥有许许多多加油站——决定查一查，看看他的加油站在某一个国家里，就说是美国吧，是不是到处分布得很均匀。为了这样做，他给他设在这个国家中部（我想，人们一般都把堪萨斯市看做美国的中心）的办事处下了一道命令，要它计算出离这个城市1000公里以内、200公里以内、300公里以内加油站的数量。他从上学的时候就记住，圆的面积同半径的平方成正比，所以，他预料在均匀分布的情况下，这样计算出的加油站数目应该像数列1，4，9，16，……那样增加。 但是，当报告送上来的时候，他却极为惊讶地看到，加油站实际数目的增长要慢得多，我们就说它是按数列1，3.8，8.5，15.0， …增长吧！‘这是怎么搞的，’他喊起来了，‘我在美国的经理不懂得他们的业务。把加油站都集中在堪萨斯市附近，这算是什么了不起的想法呢？’可是，他这个结论作得对头吗？”　　　　“对头吗？”汤普金斯先生重复了一遍，他正在想别的事哩。　　“不对头的，”教授严肃地说，“他忘了，地球的表面不是平面，而是一个球面，而在球面上，某一半径的面积随半径的增大，要比在平面上慢一些。你真的看不出这一点吗？好吧，你拿个球，自己好好试试看。比方说，如果你正好站在北极，那么，半径等于经线的一半的圆就是赤道，它所包含的面积就是北半球。把半径再增加１倍，你所得到的就是整个地球的面积了；这时，面积只增大１倍，而不像在平面上那样增大到４倍。现在你明白了吗？”　　“明白了，”汤普金斯先生说，尽力使自己集中注意力，“这是正曲率还是负曲率？”　　“这就是人们所说的正曲率，正像你从这个球体的例子所看到的，它所对应的是具有确定面积的有限表面的情况。具有负曲率的表面，可以用马鞍作为例子。”　　“用马鞍？”汤普金斯先生又重复了一遍。　　“是的，用马鞍，或者，也可以用地面上两座山之间的鞍形山口作例子。设想有个植物学家，住在一间建在这种鞍形山口的茅屋里，他对茅屋周围松树的生长密度很感兴趣。如果他计算生长在离茅屋33米、66米、99米……范围内的松树的数目，他就会发现，松树的数目比按距离平方规律增长得快，问题在于，在鞍形面上，某一半径所包含的面积，要比在平面上大一些。人们把这样的表面称为具有负曲率的表面。如果你想把一个鞍形面铺开在平面上，有些地方就得折叠起来；但是，在把球面铺成平面时，如果它没有弹性，你就得把它撕开一些裂口才行。”　　　　“我明白了，”汤普金斯先生说，“你的意思是说，鞍形面虽然也是弯曲的，但它却是无限的。”　　“正是这样，”教授表示同意，“鞍形面在各个方向都向无限大展延，它永远不会闭合。当然啦，在我所举的鞍形山口的例子里，只要你走出山区，表面就不再具有负曲率了，因为这时你已经进入按正曲率弯曲的地面了。但是，你当然能够想象到，一个处处保持负曲率的表面会是什么样的。”　　“不过，这怎样用到三维的弯曲空间中去呢？”　　“办法完全相同。假设天体在整个空间中均匀地分布——我的意思是说，任何两个相邻天体之间的距离永远相同。再假定你想计算出离你不同距离内的天体的数目。如果这个数目同距离的立方成比例地增大，这个空间就是平坦的空间；如果增大的速度比距离的立方慢一些（或快一些），那么，这个空间就具有正曲率（或负曲率）。”　　“这么说来，在空间具有正曲率的场合下，在一定距离内的体积就小一些，而在负曲率的场合下，体积就大一些了？”汤普金斯先生惊讶地说。　　“正是这样，”教授笑了，“我看，现在你已经正确地理解我的话了。为了研究我们所居住的大宇宙的曲率是正是负，恰恰就需要这样去计算遥远天体的数目。你大概也听说过有一些巨大的星云，它们在空间中均匀地散布着，一直到离我们几十亿光年之远的大星云，我们都还能看得见。在这样研究宇宙的曲率时，它们是非常方便的天体。”　　“这实在太出人意料了。”汤普金斯先生嘟哝着。　　“是的，”教授同意他的说法，“但是还有更离奇的呢。如果曲率是负的，我们就应该期望三维空间会朝着所有方向无穷尽地向外扩展，就像二维的鞍形曲面那样。从另一方面说，如果曲率是正的，那就意味着三维空间是有限的，并且是封闭的。”　　“这是什么意思呢？”　　“什么意思？”教授想了一会儿，“这个意思就是说，如果你乘坐宇宙飞船从地球的北极竖直地朝上飞去，并且一直沿着直线保持同样的方向不变，那么，最后你就会从相反的方向回到地球，在地球的南极着陆。”　　“但是，这是不可能的呀！”汤普金斯先生喊了起来。　　“从前人们不是也认为环球旅行是不可能的吗？过去，人们认为地球是平坦的，所以，如果一个探险家一直准确无误地朝西走去，人们就相信他会离出发点越来越远；可是，后来却发现他从东方回到了他的出发点。这不是一样的道理吗？！还有……”　　“别再还有啦！”汤普金斯先生想阻止教授再说下去——他的脑袋瓜已经在旋转了。　　“我们的宇宙正在膨胀着，”教授不理睬他的反对，继续往下说，“我对你说过的那些星系和星系团正在彼此退行，拉大距离。星系离我们越远，它们飞散的速度越快。这都是大爆炸产生的结果。对了，你听说过大爆炸吗？”　　汤普金斯先生点点头，心里却在想慕德到底上哪里去了。　　“好的，”他的同伴接着说，“宇宙就是这样开始的。最初，就是从一个点发生的大爆炸产生了宇宙万物。在大爆炸以前，什么东西都没有：没有空间，没有时间，绝对没有一切。大爆炸是宇宙万物的开始。后来，各个星系就一直在彼此飞散。不过，由于它们之间互相施加着万有引力，它们飞散的速度正在逐渐减慢。这里有一个同我们生死攸关的问题，那就是：各个星系飞散的速度究竟是快到能够逃脱万有引力的吸引呢（如果能够，宇宙就将永无止境地膨胀下去），还是它们有朝一日会停止飞散，然后又被万有引力拉回到一起。如果它们被拉回来，那就会发生一次大挤压。”　　“在发生大挤压以后，会发生什么事呢？”汤普金斯先生问道，他的兴趣被这个问题重新唤醒了。　　“那可能就是世界的未日——宇宙不复存在。不过，也可能发生反复——一种大反复。也就是说，宇宙可能是脉动：先是膨胀，接着是收缩，然后又是另一个膨胀和收缩的循环，并且就这样一直反复循环下去，直到永远。”　　“那么，宇宙到底属于哪一种？”汤普金斯先生问道，“它是会永无止境地膨胀下去，还是有朝一日会变成大挤压呢？”　　“我也不敢说。这取决于宇宙中物质的数量——究竟有多少物质在产生那种使膨胀速度减慢的万有引力。科学家们好像已经很巧妙地把它测算出来了。物质的平均密度接近于所谓的临界值，即把两种不同场面分隔开的极限值。但是我们还很难说它到底有多大，因为我们现在已经知道，宇宙中的绝大多数物质都不会发光，它们不像束缚在恒星上的物质那样闪闪发光。所以，我们把它们叫做暗物质。由于它们是暗的，要想探测到它们便困难得多了。不过我们已经知道，它们至少占宇宙中全部物质的99％，而且正是它们使得总密度接近于临界值。”　　“大糟糕了，”汤普金斯先生评论说，“我非常想知道宇宙要走的是哪条路。可是，密度的问题却弄得这么难以判定，真是太倒霉了！”　　“哦——你说得也对也不对。正是宇宙的密度（在所有可以采取的可能值当中）偏偏如此接近于临界值这个事实，使人们猜想到这其中必然有某种更深层的原因。许多人认为，在宇宙的初期，有某种起作用的机制自动引导密度采取那个特殊值。换句话说，密度如此接近于临界值绝非巧合，这不是由于某种偶然事件而发生的，实际上，宇宙的密度就必须具有临界值。事实上，我们以为现在我们已经知道那个机制是什么了，它被称为暴胀理论……”　　“又在说些莫名其妙的话啦，爸！”　　慕德的到来使得两个人吃了一惊。她是从他们后面走出来的，当时他们还在专心致志地谈话呢。“歇一会儿吧。”她说。　　“我们马上就谈完了，”教授还是不肯停下，他又转向他的朋友继续说，“在我们被她这样没有礼貌地打断之前，我正想告诉你，我们所谈过的这些事情全都是彼此相关的。如果物质的数量多到足以产生大挤压，那么也就足以产生正曲率，结果，宇宙将具有有限的体积，成为一个封闭的宇宙。但是，如果物质的数量不够多……”他停了下来，对汤普金斯先生作了个手势，表示现在该他把这个故事接着讲下去了。　　“呃，如果，如果像你说的，物质的数量不够多……呃……”汤普金斯先生显得非常扭怩不安——这不光是因为他觉得自己在老师面前表现得很愚蠢，并且是因为他想到慕德故意在一旁听着，而使事情变得更糟。“是的，我是想说，如果物质的数量不够多，不能达到临界密度，那么，宇宙就会永远膨胀下去，并且——并且——呃，我只不过是猜想……猜想会出现负曲率……并且宇宙会变得无限大……”　　“太好了！”教授喊了起来，“多好的学生啊！”　　“真的是非常好。”慕德同意说，“不过，我们全都知道，宇宙的密度很可能就是临界值，所以最后会停止膨胀——但这只是在遥远的将来才会发生的事啦。这一切，我以前都听说过了。现在，你想不想去泡一泡？”　　　　过了一会儿，汤普金斯先生才认识到这个问题是对他提的。“我吗？你是说我要不要去游泳？”　　“是的。你总不会认为我指的是他吧，是不是？”她笑了。　　“呃，可是我还没有换衣服呢。我得回去拿我的游泳裤。”　　“当然啦，我还以为你会一直穿着什么东西哩！”她带着调皮的神情说道。　　　４　教授那篇关于弯曲空间的演讲稿女士们，先生们：　　今天我所要讨论的问题，是弯曲空间及其与引力现象的关系。你们当中任何一个人都能够很容易地想象出一条曲线或一个曲面，对于这一点，我是一点也不怀疑的；但是，一提到三维的弯曲空间，你们的脸就全拉长了，你们大概认为，这是某种极不寻常的、几乎是超自然的东西。为什么人们这样普遍对弯曲空间怀有“恶感”，难道这个概念真的比曲面的概念更难以理解吗？要是你们稍稍多想一想，大概就有许多人会说，你们之所以觉得难以想象出一个弯曲空间，是因为你们无法像观察一个球的曲面，或者像观察马鞍那类二维的曲面那样，“从外面”对它进行观察。但是，那些说这种话的人，只不过是暴露出他们自己不懂得曲率的严格数学意义罢了，事实上，这个词的数学含义同它的一般用法是有相当大的区别的。我们数学家说某个面是弯曲的，那是说，我们在这个面上所画的几何图形的性质，不同于在平面上所画的同一几何图形的性质，并且，我们用它们偏离欧几里得古典法则的程度来衡量曲率的大小。如果你在一张平坦的纸上画一个三角形，那么，正如你从初等几何学所得知的那样，这个三角形三个角的总和等于两个直角。你可以把这张纸弯成圆柱形、圆锥形，或者甚至弯成更复杂的形状，但是，画在这张纸上那个三角形的三个角之和，必定永远保持等于两个直角。　　这种面的几何性质不随上述形变而改变，因此，从“内在”曲率的观点看来，形变后所得到的各种面（尽管在一般概念中是弯曲的），事实上是和平面一样平坦的。　　但是，你要是不把一张纸撕破，你就无法把它贴切地贴在球面上或鞍形面上；不仅如此，如果你想在一个球面上画一个三角形（即所谓球面三角形），那么，欧几里得几何学那些简单的定理就不再成立了。事实上，我们可以用北半球上任何两条半截的子午线（即经线）与两者之间那段赤道所构成的三角形作为例子，这时，三角形底边的两个角都是直角，而顶角则可以具有任意大的角度，这三个角之和显然大于两个直角。　　同球面的情形相反，在鞍形面上，你会惊讶地发现，三角形三个角之和永远小于两个直角。　　可见，要确定一个面的曲率，必须研究这个面上的几何性质，而从外面来观察常常会产生错误。仅仅依靠这种观察，你大概会把圆柱面同环面划为一类，其实，前者是平面，后者却是无法矫正的曲面。你一旦习惯于曲率的这种新的、严格的数学概念，你就不难明白，物理学家们在讨论我们所居住的空间到底是不是弯曲的时候，他们所指的是什么东西了。我们不需要跑到我们所居住的三维空间的“外面”去“看看”它是否弯曲；而可以留在这个空间中进行一些实验，去查明欧几里得几何学的普通定律是不是还能成立。　　但是，你们也许会觉得奇怪：为什么我们在一切场合下都应该指望空间的几何性质与已经成为“常识”的欧几里得几何有所不同呢？为了表明这种几何性质确实取决于各种物理条件，让我们设想有一个巨大的圆形舞台，像唱片那样绕着自己的轴匀速地转动着。再假设有一些小量尺，沿着从圆心到圆周上某一点的半径，头尾相接地排成一条直线；另一些量尺则沿着圆周排成一个圆。　　　　　在相对于那个安放舞台的房间静止不动的观察者Ａ看来，当舞台在转动时，那些沿着舞台为圆周摆放的量尺是在其长度方向上运动，因此，它们会发生尺缩（正像我在第一次演讲中说过的那样）。这样一来，为了把圆周补全，所用的量尺就必须比舞台静止不动时更多一些。而那些沿着半径摆放的量尺，它们的长度方向正好同运动方向成直角，所以就不会发生尺缩，这样一来，不管舞台是不是在转动，都要用同样多的量尺去摆满从舞台的中心到圆周上某一点的距离。　　可见，沿着圆周测出的距离Ｃ（用所需要的量尺数目表示）必将大于一般情况下的2πr，这里r是所测出的半径。　　我们知道，在观察者Ａ看来，这一切都是合情合理的，因为沿着圆周摆放的量尺的运动产生了尺缩效应。但是，对于站在舞台中心而且随着舞台转动的观察者Ｂ，情形又是什么样呢？她会怎样看待这个问题呢？由于她所看到的两组量尺的数目和观察者Ａ相同，她同样会下结论说，这里的周长与半径之比不符合欧几里得几何学的定理。但是，假如舞台是处在一间没有窗子的封闭房子里，她就看不出舞台是在转动。那么，她会用什么原因来解释这种反常的几何性质呢？　　观察者Ｂ可能并不知道舞台在转动，但是却会意识到在她周围正在发生某种奇怪的事情。她会注意到，放在舞台上不同地方的物体并不保持静止不动，它们全都从中心向外围进行加速运动，其加速度取决于它们的位置和中心的距离。换句话说，它们看起来都受到一种力（离心力）的支配。这是一种很奇怪的力，不管物体处在什么特定的位置，质量有多大，这个力总是以完全相同的加速度使它们向外围进行加速运动。换句话说，这种“力”似乎能够自动调整自己的强度去配合物体的质量，因而总是能产生物体所处位置特有的加速度。因此，观察者Ｂ会作出结论说，在这种“力”与她发现的非欧几里得几何性质之间，必然存在着某种关系。　　不仅如此，我们还可以考虑一束光线前进时的路径。对于静止的观察者Ａ来说，光线总是沿着直线传播的。但是，如果有一束光线贴着旋转舞台的表面穿过舞台，又会怎么样呢？尽管在观察者Ａ看来、这束光线一直是沿着直线行进的，但是，它在旋转舞台的表面上划出的路径却并不是直线，这是因为这束光需要一定的时间才能穿过舞台。而在这段时间内，舞台已经转过一定的角度（这就像你用快刀在旋转的唱片上划一条直线时，唱片上的划痕会是一条曲线而不是直线那样）。因此，站在旋转舞台中心的观察者Ｂ会发现，那束光线在从舞台的一侧穿到另一侧时，并不是沿着直线、而是沿着曲线行进。她会像前面提到的周长与半径之比的场合那样，把这种现象归因于在她周围起作用的特殊物理条件所产生的那个特殊的“力”。　　这种力不仅影响到几何性质（包括光线行进的路径），并且还影响着时间的进程。把一个钟表放在旋转舞台的外围，就可以把这种情况演示出来。观察者Ｂ会发现，这个钟表比放在舞台中心的钟表走得慢。从观察者Ａ的观点看，这个现象是最容易理解不过了，因为他注意到，那个放在外围的钟表在随着舞台的转动而运动，所以比起放在舞台中心。位置保持不变的钟表来，它的时间便延长了（钟慢效应）。而观察者Ｂ由于没有意识到舞台的转动，就必定把那个钟表走得慢归因于前面所说的那个“力”的存在。这样一来，我们便可以知道，不论是几何性质还是时间进程，都能够成为物理环境的函数。　　现在我们再来讨论一种不同的物理场合——这是我们在地面附近发现的情形：一切物体都被地心引力吸向地面。这同旋转舞台上的一切物体都被甩向外围的情形有点相似。如果我们注意到下落的物体所得到的加速度只与其位置有关而与其质量无关时，这种相似性便更明显了。从下面要介绍的事例，我们甚至可以更加清楚地看到引力与加速运动之间的这种对应关系。　　假设有一艘专门进行星际航行的宇宙飞船，它自由自在地在空间中某个地方漂浮着，不管离哪一颗恒星都非常远，因而在飞船中不存在任何引力。结果，在这样一艘飞船里的一切物体，包括乘坐它旅行的实验者在内，就都没有任何重力，他们会像凡尔纳著名的幻想小说中的阿尔丹及其旅伴在飞往月球的旅途中那样，自由自在地在空气中漂浮着。　　现在，发动机开动了，我们的飞船开始运动，并且逐渐增大速度。这时在飞船内部会发生什么情况呢？很容易看出，只要飞船处在加速状态，飞船内部的一切物体就会显示出朝着飞船底部运动的倾向，或者是说，飞船底部将朝着这些物体运动——这两种说法是一码事。举个例子吧，要是我们的实验者手中拿着一个苹果，然后撒手把它放开，那么，这个苹果必将以固定不变的速度——即飞船在放开苹果那一瞬间的运动速度——相对于周围的恒星继续运动。但是，飞船本身却在加大速度，结果，船舱的底部由于在整个时间里运动得越来越快，它最后必将赶上那个苹果，并且撞上它。从这个瞬时起，这个苹果就会永远同底部保持接触状态，并且靠稳定的加速度而压在底部上。　　但是，在飞船内部的实验者看来，这种情况却好像是那个苹果在以固定的加速度“下落”，并且在击中底板以后，继续靠它自身的重力压在底板上。如果他再让别的物体掉下，他就会进一步发现，所有这些物体全都以完全相同的加速度落下（如果忽略掉空气的摩擦力的话），于是他就会想起，这恰好就是伽利略所发现的自由落体定理。事实上，他根本不能够发现在加速船舱中的现象与一般重力现象之间有一点点最细微的差别。他完全可以使用带钟摆的时钟，可以把书放在书架上而不必担心它们飞掉，还可以把爱因斯坦的照片挂在钉子上。大家知道，正是爱因斯坦最先指出，参考系的加速度是与重力场等效的，他还在这个基础上提出了所谓广义相对论。　　但是，正像转动舞台那个例子一样，在这里，我们也会发现一些伽利略和牛顿在研究重力时所不知道的现象。这时，穿过船舱的光线将发生弯曲，并且随着飞船加速度的不同，而投射在对面墙上屏幕的不同地方。当然，在船舱外的观察者看来，这可以解释成光的匀速直线运动同飞船船舱的加速运动相叠加的结果。在船舱内的几何图形也必定是不正常的，由三条光线构成的三角形，它的三个角的总和并不等于两个直角，而一个圆的圆周与其直径之比则将大于通常的π值。在这里，我们所考虑的是加速系统的两个最简单的例子，但是，上面所说的等效性，对于任何一个指定的刚性的（或不可变形的）参考系的运动也同样成立。　　现在我们就要接触到最重要的问题了。我们刚才已经看到，在一个加速的参考系中，可以观察到许多在一般万有引力场中未曾观察到的现象。那么，像光线弯曲或钟表走慢这样的新现象，在由可测质量所产生的引力场中，是不是同样存在呢？　　要量度光线在引力场中的曲率，利用前面提到的宇宙飞船那个例子比较方便。如果ｌ是船舱的跨距，那么，光线走过这段距离所需的时间就是　　　　　　　　　　（５）　　在这段时间内，以加速度g运动的飞船所飞过的距离为L，从初等力学的公式，我们知道　　　　　　　（６）　　因此，表示光线方向改变的角度具有如下的数量级　　　　　　　（７）　　光在引力场中走过的距离越大，Φ的值也越大。当然，现在应该把宇宙飞船的加速度解释成重力加速度。如果我现在让一束光线穿过这个演讲厅，我可以粗略地取 L＝10米。地面上的重力加速度g=9.81米／秒2，c=3×1O8米／秒，所以　　（８）　　这样，你们可以看出，在这种条件下，光线的曲率是肯定无法观察到的。但是，在太阳表面附近，g＝270米／秒2，并且光线在太阳的引力场中走过的路程是非常长的。有一些精确的计算表明，一束光线从太阳表面附近经过时的偏转值应该等于 1．75弧秒。天文学家在日全蚀时观察到的。太阳旁边的恒星视位置的位移值就正好是这样大。现在由于天文学家利用了从类星体发出的强射电辐射，就不必再等到日全蚀时再进行测量了。从类星体发出并从太阳旁边穿过来的射电波，就是在大白天也可以毫无困难地探测到。正是这些测量使我们能够最精确地测出光线的弯曲。　　因此，我们可以作出结论说，我们在加速系统中发现的光线弯曲，实际上是和它在引力场中的弯曲相同的。那么，观察者Ｂ在旋转舞台上发现的另一个奇怪的现象——放在舞台外围的钟表走得比较慢，会不会也是这样呢？在地球重力场中，放在地面上空某个地方的钟表，会不会有类似的表现？换句话说，加速度所产生的效果与重力所产生的效果是否不仅非常相似，而且完全等同呢？　　这个问题只能靠直接的实验来解答。事实上，这样的实验已经证明，时间是可以受到普通重力场的影响的。通过加速运动与引力场的等效关系所预料的效应是非常小的，这正是直到科学家们开始专门探索它们以后才能发现它们的原因。　　用旋转舞台这个例子，很容易确定钟表速率变慢的数量级。从初等力学得知，作用在离中心的距离为r。质量为1的粒子上的离心力，可由下面公式算出：　　　　　　　　　（９）式中ω是转动舞台的固定的角速度。因此，这个力在粒子从中心运动到边缘时所作的总功是　　　　　　　　（１０）式中R是舞台的半径。　　按照上面所说的等效原理，我们应该把Ｆ看做是舞台上的引力，而把Ｗ看做是舞台中心与边缘之间的引力势之差。　　我们应该记得，正像我在上一次演讲中所谈到的那样，以速度 v运动的时钟要比不运动的时钟走得慢一些，两者相差一个因子　　　　　　如果v同c比起来非常小，我们可以把第二项以后的各项都略去不计。按照角速度的定义，v=Rω，这样，“减慢因子”就变成　　　　　　（１１）这是用两个地点的万有引力势差来表示的时钟速率的改变。　如果我们把一个时钟放在艾菲尔铁塔（300米高）的底部，再把另一个时钟放在塔顶，由于它们之间的势差非常之小，所以，放在底部的那个时钟走慢的因子只有　　　　0.999 999 999 999 97　　但是，地球表面上和太阳表面上的重力势差却大得多了，由此产生的减慢因子等于0.999 999 5， 这是用很精密的测量所能探测到的。当然，从来没有人想把普通时钟搬到太阳表面上去，看看它走得怎么样。物理学家们有一些更妙的办法，利用分光计，我们可以观察太阳表面上各种原子的振动周期，并把它们与同一种元素的原子在实验室本生灯火焰中的振动周期相比较。在太阳表面上，原子的振动应该比地面上慢一些，两者相差一个由公式（11）所给出的减慢因子，因此，它们所发出的光应该比地面光