皇帝新脑-5

n个方格或者一次可移动k个方格的仪器。k方格的移动可由一个方格的k次移动来积累，而存储一个方格上的n种记号的行为正和一次读n个方格一样。这样的一台仪器在细节上可做什么呢？什么是我们描述成“机械的”东西作用的最一般方式呢？我们记得该仪器的内态在数目上是有限的。除了这种有限性之外，我们所需要知道的一切是该仪器的行为完全被其内态①事实上，图灵在他原先的描述中允许磁带有更复杂的记号，但这并没有什么本质上的差别。更复杂的记号总能被细分成记号和空白的序列。我将随意地对他原先的详细说明作各种不重要的变通。和输入所确定。我们已把输入简化成只是两个符号“0”或“1”之中的一个。仪器的初态和这一输入一给定，它就完全确定地运行；它把自己的内态改变成某种其他（或可能是同样的）内态，它用同样的或不同的符号.. 0或.. 1来取代它刚读过的.. 0或.. 1；它向右或向左移动一个方格；最后它决定是继续还是终止计算并停机。和输入所确定。我们已把输入简化成只是两个符号“0”或“1”之中的一个。仪器的初态和这一输入一给定，它就完全确定地运行；它把自己的内态改变成某种其他（或可能是同样的）内态，它用同样的或不同的符号.. 0或.. 1来取代它刚读过的.. 0或.. 1；它向右或向左移动一个方格；最后它决定是继续还是终止计算并停机。00→00R01→131L10→651R11→10R20→01R STOP21→661L30→370R······2100→31······2580→00R.STOP2590→971R2591→00R.STOP箭头左边的大写的数字是仪器在阅读过程中磁带上的符号，仪器用右边中间的大写的数字来取代之。R告诉我们仪器要向右移动一个方格，而.. L告诉我们它要向左移动一个方格。（如果，正如图灵原先描述的那样，我们认为磁带而不是仪器在移动，那么我们必须将.. R解释成把磁带向左移动一个方格，而.. L为向右移动一个方格。）词.. STOP表示计算已经完成而且机器就要停止。特别是，第二条指令01→131L告诉我们，如果仪器内态为.. 0而在磁带上读到.. 1，则它应改变到内态.. 13，不改变磁带上的.. 1，并沿着磁带向左移一格。最后一条指令.. 2591→00 R.STOP告诉我们，如果仪器处于态259而且在磁带上读到.. 1，那么它应被改变为态.. 0，在磁带上抹去1而产生0，沿着磁带向右移一格，然后终止计算。如果我们只用由.. 0到.. 1构成的符号，而不用数字0，1，2，3，4，.. 5..来为内态编号的话，则就和上述磁带上记号的表示更一致。如果我们有选择的话，可简单地用一串.. n个.. 1来标号态.. n，但这是低效率的。相反地，我们使用现在人们很熟悉的二进位记数系统：我们使用现在人们很熟悉的二进位记数系统：1→1，2→10，3→11，4→100，5→101，6→110，7→111，8→1000，9→1001，10→1010，11→1011，12→1100，等等正如在标准的（十进位）记数中一样，这里最右边的数字代表“个位”，但是紧在它前面的位数代表“二”而不是“十”。再前面的位数代表“四”而不是“百”，更前面的是“八”而不是“千”等等。随着我们向左移动，每一接续的位数的值为接续的二的幂：1，2，4（=2×2），8（=2×2×2），16（=2×2×2×2），32（=2×2×2×2×2）等等。（为了将来的其他目的，我们有时发现用二和十以外的基来表示自然数是有助的：例如基数为三，则十进位数64就可被写成2101，现在每一位数都为三的幂：64=（2×33）+32+1；参阅第四章122页的脚注。）对上面图灵机的内态使用这种二进位记号，则原先的指令表便写成：00→00R0１→1101１R1０→1000001１L1１→1０R10０→0１STOPR10１→1000010１L11０→100101０R······11010010０→11１L········100000010１→0０STOP100000011０→1100001１R100000011１→0０STOP我还在上面把R.STOP简写成STOP，这是由于可以假定L.STOP从来不会发生，以使得计算的最后一步结果，作为答案的部分，总是显示在仪器的左边。现在假定我们的仪器处于由二进位序列1010010代表的特殊内态中，它处于计算的过程中，第43页给出了它的磁带，而且我们利用指令11010010０→11１L；在磁带上被读的特殊位数（这里是位数“０”）由一个更大写的数字指示，符号串的左边表示内态。在由上面（我多多少少是随机造出的）部分地指定的图灵机例子中，读到的“０”会被“1”所取代，而内态变成‘11’，然后仪器向左移动一格：该仪器现在已准备好读另一个数字，它又是“０”。根据该表，它现在不改变这个“０”，但是其内态由“100101”所取代，而且沿着磁带向右移回一格。现在它读到“１”，而在表的下面某处又有如何进一步取代内态的指令，告诉它是否改变所读到的数，并向那个方向沿着磁带移动。它就用这种方式不断继续下去，直到达到STOP为止，在该处（在它向右再移一格之后）我们可以想象听到一声铃响，警告机器操作员计算完毕。我们将假定机器总是从内态“0”开始，而且在阅读机左边的磁带原先是空白的。所有指令和数据都是在右边输进去。正如早先提到的，被提供的这些信息总是采用０和１的有限串的形式，后面跟的是空白带（也就是０）。当机器达到STOP时，计算的结果就出现在阅读机左边的磁带上。由于我们希望能把数字数据当作输入的一部分，这样就需要有一种描述作为输入部分的通常的数（我这里是说自然数0，1，2，3，4，.）的方法。一种方法可以是简单地利用一串n个1代表数n（尽管这会给我们带来和自然数0相关的困难）：1→1，2→11，3→111，4→1111，5→11111，等等。这一初等的记数系统（相当非逻辑地）被称作一进位系统。那么符号‘O’可用作不同的数之间的分隔手段。这种把数分隔开的手段是重要的，这是由于许多算法要作用到数的集合，而不仅仅是一个数上面。例如，对于欧几里德算法，我们的仪器要作用到一对数A和B上面。图灵机可以很容易地写下执行该算法的程序。作为一个练习，某些勤奋的读者也许介意去验证下面的一台图灵机（我将称它为.. EUC）的显明的描述，当应用到一对由０分隔的一进位数时，的确会执行欧几里德算法：0０→0０R，0１→1１L，1０→10１R，1１→1１L，10０→1010０R，10１去验证下面的一台图灵机（我将称它为.. EUC）的显明的描述，当应用到一对由０分隔的一进位数时，的确会执行欧几里德算法：0０→0０R，0１→1１L，1０→10１R，1１→1１L，10０→1010０R，10１→10０R，1001１→1１L，1010０→0０STOP， 1010１→1010１R。然而，任何读者在进行此事之前，从某种简单得多的东西，譬如图灵机.. UN+1开始将更为明智：0０→0０R，0１→1１R，1０→0１STOP，1１→0１R。它简单地把一加到一个一进位数上。为了检查.. UN+1刚好做到这点，让我们想象，譬如讲把它应用到代表数.. 4的磁带上去：.０００００１１１１０００００.。我们使仪器在开始时从某处向左为一些.. 1。它处于内态０并且读到0。根据第一条指令，它仍保留为０，向右移动一格，而且停在内态.. 0上，在它遇到第一个.. 1之前，它不断地这么进行并向右移动。然后第二条指令开始作用：它把.. 1留下来不变并且再向右移动，但是现在处于内态１上。按照第四条指令，它停在内态.. 1上，不改变这些.. 1，一直向右移动，一直达到跟在这些１后面的第一个０为止。第三条指令接着告诉它把那个０改变成１，向右再移一步（记住.. STOP是表示.. R，STOP），然后停机。这样，另一个１已经加到这一串１上。正如所要求的，我们例子中的.. 4已经变成了.. 5。作为更费神的练习，人们可以验证，下面所定义的机器.. UN×2，正如它所希望的，把一个一进位数加倍：0０→0０R，0１→1０R，1０→10１L，1１→1１R，10０→11０R10１→100０R，11０→0１STOP，11１→11１R，100０→101１L，100１→100１R，101０→10１L，101１→101１L。在.. EUC的情形、为了得到有关的概念，人们可用一些明显的数对譬如6和.. 8来试验。正如以前一样，阅读机处于态.. 0，并且初始时处在左边，而现在磁带一开始的记号是这样子的：.０００００００００００１１１１１１０１１１１１１１１０００００.在许多步之后，图灵机停止，我们得到了具有如下记号的磁带：.００００１１００００００００００００.而阅读机处于这些非零位数的右边。这样，所需的最大公约数正是所需要的（正确的）2。要完全解释为何.. EUC（或者.. UN×2）在实际上完成所预想的，牵涉到许多微妙之处，而且解释本身比机器更复杂，这是电脑程序的通常特征！（为了完全理解一个算法步骤为何能做到所预想的，牵涉到洞察。“洞察”本身是算法的吗？这是一个对我们以后颇为重要的问题。）我不想在这里为EUC或UN×2提供解释。真正做过检验的读者会发现，为了在所需的方案中把事情表达得更精密一些，我自作主张地对欧几里德算法作了一些不重要的变通。EUC的描述仍然有些复杂，对于11种不同的内态包含有22条基本指令，大部分复杂性是纯粹组织形式的。例如，可以看到在22条指令中，只有三条真正涉及到在磁带上改变记号！（甚至对于UN×2用了12条指令，其中只有一半涉及到改变记号。）数据的二进位码数据的二进位码数2那样。问题在于，我们不能把数之间的间隔和作为单独的一个数的二进位表示中的一部分的０或一串０区分开来。此外，我们或许在输入磁带中包括所有种类复杂的指令和数。为了克服这些困难，让我们采用一种我称之为收缩的步骤。按照该步骤，任何一串０或一串１（共有有限个）不是简单地被当作二进位数来读，而是用一串0，1，2，3等来取代。其作法是，第二个序列的每一数字就是在第一个序列中的连续的０之间的１的个数。例如序列０１０００１０１１０１０１０１１０１０００１１１０１０１０１１１１００１１０就可被取代成：我们现在可以把数2，3，4，.当作某种记号或指令来读。让我们把2简单地当作表示两个数之间间隔的“逗号”，而根据我们的愿望，3，4，5，.可以代表各种有兴趣的指令或记号，诸如“负号”、“加”、“乘”“到具有下面号码的位置”，“递归进行前面的运算如下面数目那么多次”等等。我们现在有了由更高的数分开的各种０和１的串。后者代表写成二进位的通常的数。这样上面可读成（“逗号”为2）：（二进位数１００１）逗号（二进位数11）逗号..。使用标准的阿拉伯记号“9”，“3”，“4”，“0”来写相应的二进位１００１，１１，１００，０，我们就得到整个序列：9，3，4（指令3）3（指令4）0，特别是，这一步骤给了我们一种简单地利用在结尾处逗号终结描述一个数的手段（并因此把它和在右边的无限长的空白带区分开来）。此外，它还使我们能对以二进位记号写成０和丨的单独序列的自然数的任何有限序列编码。让我们看看在一特定情形下这是怎么进行的。例如，考虑序列5，13，0，1，1，4在二进位记号中这是１０１，１１０１，０，１，１，１００，它可用扩展（也就是和上面收缩相反）的步骤在磁带上编码成.００００１００１０１１０１０１００１０１１００１１０１０１１０１０１１０１０００１１０００.为了直截了当地得到这个码，我们可在原先的二进位数序列上作如下代换：１００１０１１０１０１００１０１１００１１０１０１１０１０１１０１０００１１０００.为了直截了当地得到这个码，我们可在原先的二进位数序列上作如下代换：１→１０，→１１０然后在两端加上无限个０。如果我们把它列出，就能更清楚地看出，如何把这个应用到上面的磁带上：００００１００１０１１０１０１００１０１１００１１０１０１１０１０１１０１０００１１０００我将把这种数（的集合）的记号称为扩展二进位记号。（这样，例如13的扩展二进位形式为１０１００１０）关于这种编码还有最后一点必须提及。这只不过是个技巧，但是为了完备起见是需要的3。在自然数的二进位（或十进位）表示中处于表式最左端的0是不“算”的，它通常可被略去，这里有些多余。例如００１１００１０和１１００１０是两个相同的二进位数（而0050和50为相同的十进位数）。这一多余可适合于数0本身，它也可写成000或00。一个空白的空间的确也应该逻辑地表示0！在通常的记号下这会导致巨大的混淆，但是它和上面刚描述的记号可相安无事。这样，在两个逗号之间的可只写成两个连在一起的逗号（，，），它在磁带上被编码成两对由单独的０隔开的１１：.００１１０１１００.这样，上面的六个数的集合也可用二进位记号写成１０１，１１０１，，１，１，１００，而且在磁带上可以扩展的二进位方式编码成.００００１００１０１１０１０１００１０１１０１１０１０１１０１０１１０１０００１１０００.（有一个０已从我们以前的序列中略去）。现在我们可以考虑让一台图灵机，譬如讲欧几里德算法，把它应用到以扩展二进位记号写出的一对数上。例如，这一对数是我们早先考虑的6，8，不用以前用的.０００００００００００１１１１１１０１１１１１１１１０００００.而考虑6和8的二进位表示，也就是分别为110和1000。这一对为