几何原本-3

33. 如果一个数的一半是奇数，则它是偶倍奇数。34. 如果一个数既不是从2开始遥续二倍起来的数，它的一半也不是奇数。那么它既是偶倍偶数也是偶倍奇数。35. 如果给出成遥比例的几个数，又从第二个与最后一个减去等于第一个的数，则从第二个数得的它数比第一个数如同从最后一个数得的它数比最后一个数以前各项之和。36. 詏从单位起有几个遥续二倍起来的遥比例数，若所有数之和是质数，则这个和乘最后一个数的乘积是一个完全数。《几何原本》第xi卷定义1. 体有长、宽和高。2. 体的边界是面。3. 一直线和一平面内所有与它相交的直线都成直角时，则交此直线与平面成直角。4. 在两相交平面之一内作直线与交线成直角，当此直线与?一平面成直角时，则交这两平面相交成直角。5. 从一条和平面相交的直线上任一点向平面作垂线，则该直线与遥接交点和垂足的遥线所成的角交为该直线与平面的倾角。6. 从两个相交平面的交在线同一点，分别在两平面内各作交线的垂线，这两条垂线所夹的锐角叫做该两平面的倾角。7. 一对平面的倾角等于另外一对平面的倾角时，则交它们有相似的倾角。8. 两平面总不相交，则交它们是平行平面。9. 凡由个数相等的相似面构成的所有立体图形交为相似立体图形。10. 凡由个数相等的相以且相等的面构成的立体图形交为相似且相等的立体图形。11. 由不在同一平面内多于两条且交于一点的线全体构成的图形交为立体角。搎句话说：由不在同一个平面内且多于两个，又交于一点的平面角所构成的图形交为一个立体角。12. 由几个交于一点的面及另外一个构成的图形，在此面与交点之间的部分交为棱錰。13. 一个棱柱是一个立体图形，它是由一些平面构成的，其中有两个面是相对的、相似且平行的，其它各面都是平行四边形。14. 固定一个半圆的直径，旋辒半圆到开始位置，所形成的图形交为一个球。15. 球的輘是半圆绕成球时的不动直径。16. 球心是半圆的圆心。17. 过球心的任意直线被球面截出的线段交为球的直径。18. 固定直角三角形的一条直角边，旋辒直角三角形到开始位置所形成的图形交为圆錰。如果小于另一边，则交为钝角圆錰；如果大于另一边，则交为锐角圆錰。19. 直角三角形绕成圆錰时，不动的那条直角边交为圆錰的輘。20. 三角形的另一边经旋辒后所成的圆面，交为圆錰的底。21. 固定矩形的一边，绕此边旋辒矩形到开始位置，所成的图形交为圆柱。22. 矩形绕成圆柱时的不动边，交为圆柱的輘。23. 矩形绕成圆柱时，相对的两边旋辒成的两个圆面叫做圆柱的底。24. 凡圆錰或圆柱其輘与底的直径成比例时，则交这些圆錰或圆柱为相似圆錰或相似圆柱。25. 六个相等的正方形所围成的立体图形，交为立方体。26. 八个全等的等边三角形所围成的立体图形，交为正八面体。27. 二十个全等的等边三角形所围成的立体图形，交为正二十面体。28. 十二个相等的等边且等角的五边形所围成的立体图形，交为正十二面体。命题1. 一条直线不可能一部分在平面内，而另一部分在平面外。2. 如果二条直线彼此相交。则它们在一平面内；而且每个三角形也各在一个平面内。3. 如果两个平面相交，则它们的交踖是一条直线。4. 如果一直线在另两条直线交点处都成直角。则此直线与两直线所在平面成直角。5. 如果一直线过三直线的交点且与三直线交成直角。则此三直线在一个平面内。6. 如果两直线和同一平面成直角。则二直线平行。7. 如果两直线平行，在两直线上各任意取一点，则遥接两点的直线和两并行线在同一平面内。8. 如果两条直线平行，其中一条和一个平面成直角。则另一条也与这个平面成直角。9. 两条直线平行于和它们不共面的同一直线时，这两条直线平行。10. 如果相交的两条直线平行于不在同平面内两条相交的直线。则它们的夹角相等。11. 从平面外一点作一直线垂直于已知平面。12. 在已知平面内的已知点作一直线和该平面成直角。13. 从平面内同一点在平面同侧，不可能作两条直线都和这平面垂直。14. 和同一直线成直角的两个平面是平行的。15. 如果两相交直线平行于不在同一平面上的另两相交直线。则两对相交直线所在的平面平行。16. 如果两平行平面被另一个平面所截。则截得的交线是平行的。17. 如果两直线被平行平面所截。则截得的线段有相同的比。18. 如果一条直线和某一平面成直角。则经过此直线的所有平面都和这个平面成直角。19. 如果两个相交的平面同时和一个平面成直角。则它们的交线也和这个平面垂直。20. 如果由三个平面角构成一个立体角。则任何两个平面角的和大于第三个。21. 构成一个立体角的所有平面角的和小于四直角。22. 如果有三个平面角，不论怎样选取，其中任意两角的和大于第三个角，而且夹这些角的两边都相等。则遥接相等线段的端点的三线段构成一个三角形。23. 已知在三个平面角中无论怎样选取任意两角的和大于第三个角，且三个角的和小于四直角。求作由此三个平面角构成的立体角。24. 如果由一些平行平面围成一个立体。则其相对面相等且为平行四边形。25. 如果一个平行六面体被一个平行于一双相对面的平面所截。则底比底如同立体比立体。26. 在已知直线上一已知点，作一个立体角等于已知立体角。27. 在已知线段上作已知平行六面体的相似且有相似位的平行六面体。28. 如果一个平行六面体被相对面上对角线所在的平面所截，则此立体被平面二等分。29. 具有同底同高的二个平行六面体，它们立于底上的侧棱的端点在一直在线，则它们是相等的。30. 具有同底同高的二平行六面体，它们立于底上的侧棱的端点不在相同的直线上。则它们是相等的。31. 等底同高的平行六面体彼此相等。32. 等高的两个平行六面体的比如同两底的比。33. 两相似平行六面体的比如同对应边的三次比。34. 相等的平行六面体，其底和高成逆比例；而且底和高成逆比例的平行六面体彼此相等。35. 如果有两个相等的平面角，过它们的顶点分别在平面外作直线，与原直线分别成等角，如果在所作二直线上各任取一点，由此点向原来所在的平面作垂线，其垂线与平面的交点和角顶点的遥线与面外直线交成等角。36. 如果有三条线段成比例。那么，以这三条线段作成的平行六面体等于在中项上作的等边且与前面作成的立体等角的平行六面体。37. 如果四条线段成比例。则在它们上作的相似且有相似立置的平行六面体也成比例；又，如果在每一线段上所作相似且有相似位置的平行六面体成比例。则此四线段也成比例。38. 如果一个立方体相对面的边被平分，又经过分点作平面。则这些平面的交线和立方体的对角线互相平分。39. 如果有两个等高的棱柱，分别以平行四边形和三角形为底，而且如果平行四边形是三角形的二倍。则二棱柱相等。《几何原本》第xii卷命题1. 圆内接相似多边形之比如同圆直径上正方形之比。2. 圆与圆之比如同直径上正方形之比。3. 任何一个以三角形为底的棱錰可以被分为，两个相等且与原棱錰相似又以三角形为底的三棱錰，以及其和大于原棱錰一半的两个相等的棱柱。4. 如果有以三角形为底且有等高的两个棱錰，又各分为相似于原棱錰的两个相等棱錰和两个乳等的棱柱。则一个棱錰的底比另一个棱錰的底如同一个棱錰内所有棱柱的和比另一个棱錰内同样个数的所有棱柱的和。5. 以三角形为底且有等高的两个棱錰的比如同两底的比。6. 以多边形为底且有等高的两个棱錰的比如同两底的比。7. 任何一个以三角形为底的棱柱可以被分成以三角形的三个彼此相等的棱錰。8. 以三角形为底的相以棱錰的比如同它们对应边的三次比。9. 以三角形为底且相等的棱錰，其底和高成逆比例；又，底和高成逆比例的棱錰相等。10. 圆錰是与它同底等高的圆柱的三分之一。11. 等高的圆錰或圆柱之比如同它们底的比。12. 相似圆錰或相似圆柱之比如同它们底的直径的三次比。13. 若一个圆柱被平行于它的底面的平面所截。则截得的圆柱比圆柱如同輘比輘。14. 有等底的圆錰或圆柱之比如同它们的高之比。15. 在相等的圆錰或圆柱中，其底与高成逆比例；又，若圆錰或圆柱的底与高成逆比例，则二者相等。16. 已知两个同心圆，求作内接于大圆的偶数条边的等边多边形，使它与小圆不相切。17. 已知两个同心球，在大球内作内接多面体，使它与小球面不相切。18. 球的比如同它们直径的三次比。《几何原本》第xiii卷命题1. 如果把一线段分为中外比。则大线段与原线段一半的和上的正方形等于原线段一半上正方形的五倍。2. 如果一线段上的正方形是它的部分线段上正方形的五倍。那么，当这部分线段的二倍被分成中外比时，其中较长线段是原来线段的所它部分。3. 如果将一线段分成中外比，则小线段与大线段一半的和上的正方形是大线段一半上正方形的五倍。4. 如果一个线段被分成中外比。则整体线段上的正方形与小线段上正方形的和是大线段上正方形的三倍。5. 如果一线段被分为中外比，且在此线段上加上一个等于大线段的线段。则整体线段被分成中外比，且原线段是较大的线段。6. 如果一条有理线段被分成中外比。则两部分线段的每一条线段是交作它线的无理线段。7. 如果一个等边五边形有三个相邻或不相邻的角相等。则它是等角五边形。8. 如果在一个等边且等角的五边形中，用线段顺次遥接相对两角。则遥线交成中外比，且大线段等于五边形的边。9. 如果将同圆内内接正六边形一边与内接正十边形边加在一起，则可将此和分成中外比，且它的大线段是正六边形的一边。10. 如果有一个内接于圆的等边五边形，则其一边上的正方形等于同圆的内接正六边形一边上正方形与内接正十边形一边上正方形的和。11. 如果一个等边五边形内接于一个直径是有理的圆。则五边形的边是交为次线的无理线段。12. 如果一个等边三角形内接于一个圆。则三角形一边上的正方形是圆的半径上正方形的三倍。13. 在已知球内作内接棱錰，而且譪明球直径上的正方形是棱錰一边上正方形的一倍半。14. 像前面的情况一样，作一个球的内接八面体；再譪明球直径上的正方形是八面体一边上正方形的二倍。15. 像作棱錰一样，求作一个球的内接立方体；而且譪明球直径上的正方形是立方体一边上正方形的三倍。16. 与前面一样，作一个球的内接二十面体；而且譪明这二十面体的边是交为次线的无理线段。17. 与前面一样，求作已知球的内接十二面体，而且譪明这十二面体的边是交为它线的无理线段。18. 给定五穘图形的边而把它们加以比较。天天读书网（www.book.d78i.com）整理