财富公式-3

有一次，索普和汉德一起坐飞机。汉德随手翻阅一份《时代》杂志，忽然看到一条关于智利铜业大亨的女继承人再婚的消息，显得有些激动，他告诉索普自己曾经和这个女人相好过一段时间。关于基莫尔的事情索普知道得很少。基莫尔是当时纽约的头号庄家。艾迪·汉德在一次采访中曾这样描述基莫尔：“他都坐什么庄？什么庄都坐！拉斯维加斯、橄榄球、棒球、赛马。不管是谁，基莫尔都能劝他下注赌一把。他总能找到愿意赌钱的倒霉蛋。”从美国东海岸的赛马场到拉斯维加斯的兰蔻大饭店的体育赌场都有基莫尔的股份。汉德曾透露：“过去在萨拉托加的时候，他专门负责搞定骑师。”搞定骑师实际上就是操纵赛马结果。可以说，基莫尔一生的经历完全验证了约翰·凯利那篇名为《信息速率的新诠释》的论文中的观点。在1960年代，基莫尔的客户中曾经包括美国最大的赌徒之一，得克萨斯州的石油巨子亨特。亨特曾经在牌桌上赢到过一个油田。身为亿万富豪，亨特对赌博这种高风险活动的兴趣仍然非常浓厚，据说他经常为一场橄榄球赛就押上１００万美元。当时，美国的联邦调查局已经调查基莫尔很多年了。一份1965年的联邦调查局档案中这样写道：“基莫尔和几个国际闻名的犯罪头目一直都有来往。有证据证明，基莫尔长期参与赌博活动，而且和美国各地的很多知名赌徒都有长期往来。”另外，基莫尔对于数牌这项技术也非常精通，虽然他一直没有在索普面前表现出来。基莫尔有个赌伴，名叫乔·伯恩斯坦。两人是1960年在一家黑帮经营的赌场中认识的。当时乔·伯恩斯坦需要向庄家支付3000美元，但口袋里只剩了1500美元了，正不知如何是好，站在一张二十一点的牌桌旁边想主意。在看别人玩牌时，伯恩斯坦发现当时一副牌已经发出去３/４了，但是一个A都还没有发出来，于是当机立断下了两个５００美元的注，结果两注都赢了（其中一注果然是带A的二十一点），这样一来就凑够了赌资。伯恩斯坦对赌博很有天分，在这次经历之后，他感到自己发现了发财致富的秘诀。但是，没过多久，伯恩斯坦就发现那天遇到的一副牌发了３/４仍然没出A牌的情况发生的概率非常低。伯恩斯坦用了几天时间把自己的新发现在赌场里付诸实践，结果仍是时输时赢。于是，伯恩斯坦给基莫尔打了个电话，把自己的重大发现告诉了基莫尔。接着两人一起赶往拉斯维加斯，开始实地试验各种数牌策略。在之后不久，基莫尔就听说了索普的论文。要想设计一个具有可操作性的策略，数学家是再好不过的人选了。但是，这些事情基莫尔一点儿也没有向索普透露。在与索普见面之前，基莫尔已经派人暗中调查了索普夫妇的背景，以保证两人不是骗子。《财富公式》 第二章 二十一点 《财富公式》 赌城雷诺(1)基莫尔不打算去拉斯维加斯做这个试验。他私下对索普解释说拉斯维加斯很多人都认识自己。这样，在麻省理工学院春季假期期间，索普和基莫尔两人乘飞机来到赌城雷诺进行试验。基莫尔仍然随身带着两个年轻女人。大约在凌晨两点钟，一行人住进了美珀斯饭店。几天之后，艾迪·汉德也将赶到了美珀斯饭店。美国内华达州境内的旅社大多是简易的汽车旅馆，美珀斯饭店是当地第一家高级豪华酒店。基莫尔为自己和两个女随从订了一个大套间。经过一晚休息之后，索普和基莫尔就开车前往郊外的一家小赌场，打算先在这儿热热身。根据计划，正式试验要等到汉德赶到才能开始。在这家小赌场，爱德华·索普每次都下最小的注，不久就赢了一些钱。虽然数额不大，但索普逐渐对自己的数牌策略有了信心，于是开始增加下注金额，全力以赴。使用数牌策略的赌徒需要根据发牌员手中剩余纸牌的点数随时调整下注金额。大多数情况下，二十一点可以保证均等回报，也就是赔率为一。如果从凯利公式的角度来看，优势和赔率两个因素中只要考虑优势就可以了。随着发牌员手中剩余纸牌点数的变化，赌徒的优势也不断变化，可能为正，可能为负，也可能为零。根据凯利的策略，除非优势为正，永远不要下注。但是，索普担心自己坐在牌桌边光看着别人下注可能会引起怀疑，所以有时也下几注。经过一段时间的观察，他发现必须每手牌都要下注，如果形势不好的话，下注金额可以控制在最低。如果形势稍稍有利，利用数牌的策略就能有５１％的胜算。也就是说，如果每次下注１美元，１００次里可以赢５１次，连本带利收获102美元，优势相当于２％（用两美元利润除以１００美元本金）。如果剩余纸牌的点数能保证２％的优势，根据凯利公式，就应该把全部赌资的２％押上去。这种估算不是完全精确，因为在发牌过程中要时常把顺序重新打乱。只有在非常规情况下，追加赌注才对赌徒有利，因为这样可以降低最优下注金额。由于那天是星期五，索普和基莫尔做试验的这家郊外赌场根据惯例要停业３个小时。于是两人就驾车回到了酒店，一路上寻找小赌场，希望能够继续进行热身练习。由于各家赌场的规则不同，索普和基莫尔希望挑选一家规则对他们最有利的赌场。最后两人选中的那家赌场碰巧认识基莫尔，于是基莫尔把情况向索普解释了一下，说自己最好不要露面（两人一路行来，很多赌场老板都认识基莫尔，而且久别重逢，双方都丝毫没有高兴的意思）。于是，索普只好自己试验，结果是输多赢少。虽然由于每次下注金额很少，损失只有大约１００美元，但索普还是因此感到心情烦躁，决定不回去睡觉。一直玩到早上５点钟，牌桌上只剩下他一个人了，索普和发牌员口角了起来。“为什么我不能同时玩两手？”索普问道。答复是：“赌场的规矩。”“其他８个庄家都让我玩两手，赌场不可能有这个规定。”“我是怕你影响别的顾客。”《财富公式》 第二章 二十一点 《财富公式》 赌城雷诺(2)“现在没有别的顾客。你这么解释行不通。”于是，发牌员加快了发牌的速度，但索普数得也不慢。很快，剩下的点数开始对索普有利。看到这种情况，爱德华·索普先放过几注，然后开始每注押20美元。等到这副牌全部发完，爱德华·索普已经收回了损失的100美元。星期六下午，索普和基莫尔大吃了一顿。基莫尔带来了比索普获胜更令人激动的消息。使用数牌策略，基莫尔在一家大酒店的赌场赢了13000美元，但随后又输掉了20000美元。原因只有一个：发牌员作弊了。当时，赌场看到基莫尔一直赢钱，就换上了一个“老千发牌员”。这个专业的作弊高手是个４０多岁的女人，面色严峻，一头黑发中夹杂着一些白头发，当时基莫尔甚至看出了她作弊的路数。在给自己发牌时，那个女人会先偷偷看一眼最上面的牌，如果顶张不好，就把下面一张牌发给自己。基莫尔觉得自己的数牌策略足够严谨，所以就没把这种小把戏放在心上（结果证明他错了），就继续玩下去，结果把自己赢的钱又都输了回去，还赔上了７０００美元。事后，基莫尔要求面见赌场老板，指责发牌员作弊。赌场老板说，晚上早些时候有个得克萨斯来的阔佬已经赢了17000美元了，所以他们不能再继续赔下去了。吃过饭后，索普和基莫尔再次来到头一天两人去的那家郊外赌场。这次索普加大了赌注，几分钟时间就赢了几百美元。看到索普的战绩，基莫尔也坐不住了，到另外一张牌桌前也开始下注。两个小时后，两人一共赢了650美元。接着，发牌员开始提前洗牌，不等一副牌发完就开始新的一局。这下两人的数牌策略就不管用了。由于提前洗牌，通过数牌计算到的优势就无法利用。但对于这种做法两人也无可指责，于是只得离开赌场。当天晚上，艾迪·汉德到了。试验可以正式开始了。起初，基莫尔和汉德打算拿出十万美元作赌本。但索普劝他们把金额降到１万美元。因为如果总赌本为１０万的话，根据凯利的策略，即使在优势一般的情况下，每次下注的金额也会达到数千美元。每次押这么多钱，索普觉得不太习惯，另外，当时的赌场也不接受这么大的赌注。１万美元足够试验索普的数牌策略是否行得通了。为了计算方便，索普把最低下注金额定在５０美元。如果优势为１％的话，就翻一倍增加到１００美元，优势为２％时，押２００美元，如果优势达到最高或者大于５％，就押５００美元（在1961年，赌场最高只接受一注５００美元）。基莫尔拿出厚厚一叠现金，数出1万美元交给索普。然后由索普和汉德两人一起去做试验，他去忙别的事情。索普和汉德两人先到了雷诺市中心的哈罗德俱乐部。这家赌场的老板同时经营歌舞表演，所以气氛很轻松，规矩也不多。发牌员有时还给初次赌博的新手提些建议，来这儿赌博的很多都是工人阶层。据说，有时如果有人输得太惨了，赌场老板会退回一成输掉的钱，还会建议那个运气不好的赌徒赶快离开雷诺。这家赌场外面的招牌上写着：“久赌无胜家。哈罗德俱乐部提醒您，别把用得着的钱拿来赌博。”来到哈罗德俱乐部，索普和汉德找了张最大下注金额为５００美元的桌子坐了下来。只用了１５分钟，两人就赢了５００美元，于是发牌员按动了地板上的秘密按钮。《财富公式》 第二章 二十一点 《财富公式》 幸运之轮(1)地板上秘密按钮的线路直接通到赌场老板哈罗德·史密斯办公室。办公室的门是加厚的，而且上双锁。办公室的电话直接通到赌场保安，而且赌场四周的镜子都是单向的，专门有人在后面监视，一旦发现反常情况就会立即通知老板。为了保持头脑敏锐，史密斯每天都要喝大量黑咖啡，有时要连续很多天不回家。只要出现有人在很短时间内赢了很多钱的情况，发牌员就必须立刻通知他。史密斯知道，越来越多的人开始用科技手段在赌场作弊。不久前，他的赌场揪出了一个作弊的顾客，那人用只有在红外线下才能看到的墨水给纸牌作记号，自己戴上特制的隐形眼镜来辨别记号。除了科技手段之外，史密斯还担心有人通过超能力来他的赌场赢钱。史密斯一辈子都在研究运气这个问题。他相信在世界上存在着一种神奇的力量，控制着运气的增减，这种神奇的力量他称之为“幸运女神”。事实上，史密斯之所以能发家也正是由于幸运之轮的眷顾。史密斯的父亲叫雷蒙德·史密斯，外号叫“巴皮”，很早就离开家乡佛蒙特去各地经营游乐场生意。雷蒙德在狂欢节和大型集会上经营转轮抽奖的游戏。顾客交了钱之后选一个号，由雷蒙德转动轮盘，如果指针指在选中的号码上，顾客就可以得到一把折叠水果刀作奖品。就这样，起早贪黑，省吃俭用，雷蒙德终于攒够了一笔做更大生意的启动资金。雷蒙德本人对赌博不感兴趣，于是把这笔钱全部投入到了股市之中，结果赶上了1929年的大崩盘，几乎血本无归。这时，由于转轮抽奖带有赌博性质，已经被政府取缔了。为了做生意，每天雷蒙德都要东躲西藏到处躲避执法人员，以免被罚款。后来内华达州开始把赌博合法化，雷蒙德决定在内华达州定居。当时哈罗德已经26岁了，虽然父子两人一直聚少离多，但还是合伙花了５００美元在雷诺买下了一家排五点游戏厅。起名叫哈罗德俱乐部，重新开张，那年是1936年。哈罗德俱乐部主打蛮荒西部的牌子，员工都身着牛仔服装，赌场里面展示着各种枪支，号称世界上最大的枪械展览，包括手枪、大口径短口手枪、步枪、机关枪以及小炮，几乎所有枪支都在实战中使用过。1937年一天的早上，这些枪支曾经派上过用场。那天雷蒙德听说黑帮打算打劫他的赌场（当时雷诺的卖淫业以及很多赌场都被黑帮控制），到了上午１０点钟，赌场就几乎空无一人了，首先进来的是７个黑帮打手，横冲直撞地把屋里的摆设推得东倒西歪。看到这种情况，雷蒙德从轮盘台下面抄起一条上了膛的38口径步枪，对那几个打手喊道：“今天不做生意，你们最好怎么来的怎么出去。”据雷蒙德说，当时那几个打手看到这个阵势就转身出去了，从那以后再也没来找麻烦。《财富公式》 第二章 二十一点 《财富公式》 幸运之轮(2)后来雷蒙德上了年纪，开始考虑继承人选的问题。虽然赌场是以儿子哈罗德命名的，但儿子哈罗德却是个酒鬼加赌棍，经常一个星期不回家在外玩乐，穿着牛仔的装束，骑马、打枪、赌博。当时雷蒙德的赌场经营得非常红火，其他赌场都很眼红，所以雷蒙德的竞争对手非常愿意让哈罗德赊账，希望找机会吞并雷蒙德的生意。雷蒙德非常担心儿子哈罗德会把自己在赌场中的股份抵押给别家赌场。雷蒙德在哈罗德俱乐部里没有一分钱的股份，只拿工资。哈罗德俱乐部的股东只有三个人：雷蒙德的小儿子哈罗德，哈罗德的前妻多萝茜，还有雷蒙德的大儿子小雷蒙德。哈罗德从小就和哥哥小雷蒙德不和，直到中年，他还对小时候哥哥逼他吃鸡屎的事情耿耿于怀。曾经有一段时间由于赌场缺少人手，哈罗德提出给哥哥１/３的股份，请他前来帮忙。后来，哈罗德对自己当初的这个决定一直很后悔，没想到凭借这１/３的股份，哥哥小雷蒙德竟然成了百万富翁。哈罗德只好安慰自己，毕竟自己的股份比哥哥要多出一倍。但不幸的是妻子多萝茜和他离了婚，因为她爱上了一个当兵的。当时由于正处于战争期间，雷诺镇上住着很多军人，镇上夫妻离异的情况也很普遍。在两人离婚之后，房子、孩子和哈罗德一半的股份都归了多萝茜。和老雷蒙德一样，多萝西和小雷蒙德也很担心哈罗德酗酒的问题。1949年，老雷蒙德终于想出了办法，决定用期权合同来解决这个问题。一家人强迫哈罗德签了一份协议，如果在接下来的５年间赌场的股份要出售的话，只能按照总价５０万美元全部卖给老雷蒙德。实际上，当时哈罗德俱乐部股份的价值要远远超过这个数目，大概在８００万美元左右。在签了这份合同之后，哈罗德就再也不会把赌场的股份卖掉，除非他头脑失常。即便哈罗德真的喝醉了酒打算卖掉自己的股份，也不能卖给外人。虽然这么做有些不择手段，但时间证明这种安排非常成功。哈罗德的股份没有在赌场上输掉。到了1954年，这个期权合同终于过期失效。但是，哈罗德非常不满，觉得父亲和哥哥都把自己当个不懂事的小孩子一样看待。后来，他开始大量服用一种叫米尔顿的安眠药，这种镇定剂是处方药，如果和酒精饮料一起服用对人危害很大。开始服药之后不久，哈罗德的行为逐渐变得不正常。1956年8月9日，哈罗德晚上躺在自己房间里，看到空中有一只飞蛾，一直围绕着灯光飞，但始终与灯光保持着一定的距离。这只飞蛾似乎在哈罗德身上产生了一种神奇的力量，使他浪子回头。哈罗德听从了医生的建议住进了圣玛丽医院。在医院里，直到护士来给他量体温时，哈罗德才知道自己住进的是精神病科的病房。在经过这次精神崩溃之后，哈罗德发誓今后４年再也不沾酒了。在接下来的４年，哈罗德遵守了自己的誓言，果然滴酒不沾。４年之后，他痛饮了３天以示庆祝，然后又起誓，接下来６年不喝酒。当索普和汉德来到他的赌场进行试验时，他的６年誓约还未到期。《财富公式》 第二章 二十一点 《财富公式》 哈维马车轮(1)很快，哈罗德和儿子小哈罗德一起出现在索普和汉德所在的牌桌前面。听完发牌员的介绍之后，双方礼貌地寒暄了几句。哈罗德解释道，有时碰巧一副牌中好牌都集中在最后，赌场中就会有顾客利用这种情况赢钱，只要发现有人在牌快要发完时突然加大下注金额，赌场就能知道出现了这种情况。曾经有一个叫乔·伯恩斯坦的人用“数A”的方法在拉斯维加斯的萨哈拉大饭店赢了７５０００美元。听说，伯恩斯坦的下一个目标就是哈罗德俱乐部，所以哈罗德已经事先提醒了赌场的伙计们留心这个人。但是，当哈罗德俱乐部的人发现伯恩斯坦时，伯恩斯坦已经赢了１４０００美元了。伯恩斯坦在一张牌桌上同时玩７手，把别人都挤出去，这样一来，每发出一张牌他都能知道是什么。加上发牌员手上的牌，一共有８手，这样算来，一副牌只能发两轮。第一轮发牌时，伯恩斯坦先每手下注5美元，在心里记下已经发出了几张A。如果觉得形势对自己有利，下一轮发牌时就把赌注加到每手５００美元。哈罗德告诉索普和汉德桌上的发牌员，在剩下１２至１５张牌的时候就重新洗牌，然后，和儿子一起坐在旁边观战。看到索普又赢了几手，哈罗德告诉发牌员在剩下２５张牌时就重新洗牌。但索普还是接着赢，于是哈罗德让在还剩下４２张牌时就洗，相当于每次只用最上面的１０张牌。在这种情况下，索普和汉德的手段就无法施展了。两人只得离开了哈罗德俱乐部。离开哈罗德俱乐部后，索普提出想会会基莫尔碰到的那个作弊的发牌员。于是两人就去了那家赌场，索普买了１０００美元的筹码，每次下注３０美元，但是，那个发牌员一手牌还没发完，赌场经理就走了过来，让她把牌交给另一个发牌员。这个发牌员也是个女人，面相有些凶，头发灰白。索普发到了两张8。按照二十一点的规定，玩家可以分对，也就是把两张点数一样的牌亮出来，分做两手，然后再由发牌员牌面向下每手加一张牌。分对之后，玩家相当于同时玩两手牌，赌注也要相应加倍。于是，索普又押了30美元，把两个8分成两手，又摸了两张牌，结果两手的总点数分别是20和18，都很强。这时，发牌员亮着一张3，翻开扣着的牌后，发现是张10，加起来点数是13。索普和汉德心里很清楚下一步会发生什么。接着，发牌员把手中剩余的牌拿起来，用一个手指迅速把最上面的牌的一角掀开了一下，是张红心Q，如果这张牌发到她自己手中，就输定了。于是，发牌员耍了个小花招，把第二张牌发到了自己手中，结果是张8，这样一来，正好凑足了21点。看到这种情况，艾迪·汉德大喊起来，指责发牌员作弊，索普也跟着喊起来。发牌员只是脸上稍微红了一下，仍然不动声色。赌场经理走过来听两人把事情说完，告诉他们自己也无能为力，因为没有物证，发牌员不承认也没办法。每天赌完回到旅馆之后，索普都会到基莫尔那里，把所有的钱都倒在床上。两人把筹码和现金都数一遍，以便估计索普的战绩如何。索普回忆说：“他看我的时候眼睛像鹰一样，有天我有个口袋忘了掏，我也不知道怎么回事，可能是太累了，也可能是太兴奋了。他的脸色立即一变，说道：‘我们的钱好像少了。’我赶紧回答：‘我这儿还有一堆筹码。’在这之后，他的疑心更大了。”在赌场中，到处都是怀疑和不信任。在和那个作弊的发牌员较量过之后，索普、基莫尔和汉德三人开车来到了郊外的那家小赌场。索普去打了个电话，等他回来时伊曼纽尔·基莫尔和艾迪·汉德告诉他这家赌场拒绝接待他们。经理说爱德华·索普在这儿一直赢钱，所以他们怀疑这里面有鬼。于是，索普回到了美珀斯饭店的赌场，自己一个人玩，每次押５美元，逐渐加大赌注。但是，很快赌场经理就走了过来，告诉索普这家赌场今后拒绝接待他和他的那两个朋友，以及他的任何其他朋友。第二天下午，三个人一起开车去了塔霍湖南岸的一家赌场。这家赌场二十一点的赌桌不多，索普买了2000美元的筹码，一路从人群中挤过去，来到一张牌桌前面。一次购买2000美元的筹码在当时就算是大顾客了，所以赌场经理走过来，表示愿意免费提供一份晚餐，同时配有歌舞表演。索普问能不能叫上自己的两个朋友，赌场经理表示同意。只用了几分钟，索普就赢了1300美元，基莫尔赢了2000美元。到了晚餐时间三个人点了牛里脊肉加香槟酒，吃得很满意，觉得歌舞表演也不错。三人不好意思再赚这家赌场的钱，就转到了隔壁赌场。《财富公式》 第二章 二十一点 《财富公式》 哈维马车轮(2)这家赌场名叫“哈维马车轮”。索普又买了2000美元的筹码，然后找了张最低下注20美元的牌桌，开始赢钱，不久基莫尔也加入进来。根据事先安排，索普负责数牌，然后把信号传给基莫尔，只用了30分钟，牌桌上装筹码的盘子就空了。这种事在赌场中很少发生，通常的情况都是赌场装钱的盘子越来越满，从没出现过相反的情况。发牌员开始祷告上帝保佑。接着，赌场经理带着人走了过来。从索普身上看不出什么破绽，赌场经理认为自己的发牌员有问题，于是换了个人发牌。然而索普和基莫尔仍然继续赢钱。就这样，两个小时内换了５个发牌员，一整盘筹码还是被赢光了，爱德华·索普赢了6000美元，伊曼纽尔·基莫尔赢了11000美元。索普告诉基莫尔该收手了，他有些累。在兑换筹码时，一个漂亮女人从索普身边走了过去，冲他妩媚地笑了笑，索普当时没来得及细想为什么自己突然开始招女人喜欢了。接着又来了一个同样漂亮的女人，也冲他笑了笑。这时基莫尔还坐在牌桌前，他告诉索普说自己今天感觉非常好，想再多玩几把。索普想把他拉走，但基莫尔紧紧抓住桌子不起来，大声说：“我坚决不走。”不得已，索普只好重新坐下，继续数牌，然后通过信号把结果传给基莫尔。就这样，索普负责数牌，基莫尔负责下注。但很快两人开始输钱。４５分钟之后，索普不得不放弃，因为两人已经输掉了11000美元。在经过这次惨败之后，三人手里仍然有13000美元。第二天在市中心的一家赌场他们又输了2000美元。之后索普开始走好运，但不久就受到了赌场老板的注意。赌场老板告诉发牌员，只要索普调整下注金额就重新洗牌。重新洗牌是所有数牌策略的大克星。为了消除这个不利因素，索普一旦发现局势对自己有利，就提出要同时玩两手牌。但每次他提出要同时玩两手牌，发牌员就会重新洗牌。一次索普顺手摸了摸鼻子，结果发牌员就把牌重新洗了一遍，于是索普问他是不是他每摸一下鼻子，就必须重新洗牌。发牌员回答：是。索普就又挠了挠鼻子，发牌员果然随之把牌又洗了一遍。爱德华·索普问他是不是每次自己的有什么举动，都要重新洗牌。“不错。”发牌员回答。索普看到自己手中只有20美元的筹码，就要求买一些50或100美元的，但赌场老板拒绝继续卖给他筹码。发牌员又拿出了一副新扑克牌，先正后反摊在牌桌上面。这么做平常是为了让顾客确认纸牌上没做手脚，但这次仔细检查纸牌的却是赌场的人。发牌员说，赌场方面认为索普视力超常，可以记住纸牌背面的印刷瑕疵和沾的灰尘颗粒，从而辨别纸牌的点数。索普仍然坚持不离场。在５分钟之内，赌场老板换了５副新扑克牌，发牌员推测索普一定把发出的所有纸牌的点数都记在心里，这样就可以知道剩下的还有什么牌，然后根据情况下注。索普告诉他们，没有人能这样记住整副纸牌的点数。发牌员说赌场经理就做得到，索普不信，押上５美元说赌场经理做不到。赌场经理和发牌员都不说话。索普又问道：“50美元怎么样？”汉德又把赌注加到500美元。赌场的人仍然没有同意。于是两人只好离开。索普一行人又找了一家赌场，要求单找一张牌桌，赌场的招待叫他们去找经理。这位经理长得有些女里女气，对索普他们说：“我们了解你们的把戏，我们这儿不欢迎你们。”这样一来，试验就做不下去了。根据索普的估算，他们三个人平均每人玩了10个小时，把一万美元的本金变成了２１０００美元（如果不是因为基莫尔倒霉输掉了那一万多美元，本来应该是３２０００美元）。在赶往机场之前，几个人还有些时间。基莫尔提出去看望一个在当地开赌场的朋友。他嘱咐索普在这个朋友那里不要使用数牌策略，但索普仍然决定用口袋里的三美元零钱试试运气。碰巧形势比较有利，索普只花了５分来钟就赢了30美元。如果不是基莫尔事先嘱咐，他一定会每次押50美元，而不是一美元。《财富公式》 第二章 二十一点 《财富公式》 改头换面的凯利标准(1)一般情况下，无论是否存在赌场佣金，双倍下注以及其他下注策略都能适用，但凯利系统就不行了。如果优势为零或负值（在赌场中赌徒的优势几乎永远是零或负值），根据凯利系统，赌徒就应该停止下注。这也许就是理想和现实的差别所在。现实情况是，如果形势对自己不利，就不能指望赢钱。当然，我们都希望世界不是这个样子，可现实终究是残酷无情的。在赌局有利的条件下，根据凯利系统操作就可以在免于破产的情况下获得最大额度的利润。尽管收益最大化和免于破产这两个目标看起来似乎风马牛不相及，但事实上却有着内在的联系。下面，我们来分析一下凯利公式在赌场里的实地应用。凯利公式是通过“按比例”分散下注的方法来避免破产的。也就是说，必须把当前可以运用的所有资本按比例分成很多份，分别下注。由于每次下注用的资金只有全部资本的一部分，所以手里的钱永远不会全部用完，这样就可以避免把钱全部输光了。在任何赌博性质的活动中都会发生连续输钱的情况。一旦发生这种情况，每次用于下注的资金随着资本总额的减少也会相应减少。赌场和赛马场都设置了最低下注额度。所以，凯利系统的一个潜在问题就是，如果连续输钱，可能会导致全部赌本总额之中按照公式可以用于下注的那部分资金小于赌场规定的最低下注额度的情况。但在实际操作中很少出现这种情况。通常用于赌博的原始本金与最低下注额度相比都会高出很多，所以发生上面所说的问题的概率很小，可以忽略不计。按照凯利系统操作，财富值可以按照几何级数增长，这也是按比例下注的结果。随着本金的扩大，下注的金额也就随之增加。如果你在赌局中占有优势的话，长远看来，赢的钱自然要比输的钱多，原因在于每次赢的钱都算入本金中，再次用于下注。例如，我们打赌猜扔硬币，均等赔率。你事先知道硬币做了手脚，有５５％的概率人头那面朝上，自然你会每次都把钱押在人头那面。但这样做并不能保证能够从中获利。下面的图表分别列出了采用四种财务管理系统得到的结果。全部以扔500次硬币为准。图：四种资金管理系统的比较上面最简单的“下注系统”是固定金额下注，也就是第一次把总本金的１０％用于下注，之后下注金额不变。图中按照固定金额下注操作所得到的回报曲线上升的趋势非常缓慢。虽然这种策略有赢钱的机会，但是一旦运气不好，连续十几次输钱，就有可能血本无归。在另外三种下注系统中，下注金额都是随着总本金的增加而增长的。其中最极端的例子就是孤注一掷，第一次就把全部赌本押上，如果赢了，再把利润和本金一起再全部押上，这样押下去，直到把钱输光为止。2004年，英国伦敦有个叫阿什利·勒维尔的人，卖掉了自己所有家当，包括身上的衣服。勒维尔穿着一身租来的礼服，来到拉斯维加斯普拉泽饭店的赌场，押了135300美元玩轮盘赌。勒维尔决定始终把钱全部押在红色上面，结果赢了钱。赢钱之后他见好就收，立刻放弃了这种孤注一掷的策略。事实上，勒维尔选择的轮盘赌这种方式对他不利。如果选择一种对自己有利的赌博方式，勒维尔的做法还是多少有些道理的。只要不输，孤注一掷的策略就总是有效。在上面的图中，描述孤注一掷收益的那条曲线只是在紧靠左边的地方有一个不大的上扬趋势。开始的两次都是人头，所以采取孤注一掷策略的赌徒得以两次把手中的钱翻番。当第三次全押在人头上时，赶上了硬币反面，结果赔光老本，只好出局。在此之后，他的财富值一直为零。乍看起来，双倍下注的成绩似乎不错。开始的时候，双倍下注的收益曲线始终领先于其他几种策略数十美元。但是，接着情况突然急转直下，想来是赌徒赶上了坏运气。由于每次下注的金额必须相当于前一次的两倍，所以，如果不能尽快转运的话，后面的损失可能更加惨重。与之相比，其他的收益曲线就不像这样大起大落了。对于双倍下注的赌徒来说，坏运气可能导致致命后果。在上面的模拟实验中，采用双倍下注策略的赌徒在第十九轮就把钱输光出局了，这时候，之后的收益走势曲线就无关紧要了。《财富公式》 第二章 二十一点 《财富公式》 改头换面的凯利标准(2)代表凯利系统的收益趋势曲线有两个特征。请注意，固定金额下注策略和双倍下注策略的走势曲线都大致呈直线形态，但凯利系统的曲线呈现上升的形态。另外，与其他几条曲线相比，凯利系统的曲线表现出更多波动。固定金额下注策略和双倍下注策略的走势曲线都是以算术级别增长的，相当于利用这两种策略下注的赌徒挣的是固定的计时工资。虽然自己的财富不断增加，但他们拒绝把新增的财富投入到赌本中去，没有把闲置资金充分运用起来。相比之下，我们可以看到采用凯利系统的赌徒的财富是以几何级数增长的，原因在于他充分利用了手中的资本。采用凯利系统下注开始可能看不出什么回报，但坚持一段时间就会看到明显的效果。在上图的左半边，也就是从第1轮到第250轮的阶段，采取凯利系统下注的收益曲线与固定金额下注的收益曲线始终不相上下。甚至在大多数时间，固定金额下注的收益曲线都会略高一些。但在此之后，采取凯利系统下注的曲线开始一飞冲天，把其他两个下注策略远远抛在下面。在这次模拟实验中，采取凯利系统下注的赌徒在500轮中把本金增加了74倍之多。除了凯利系统以外，还有无数其他的按比例下注策略。你可以每次都把全部资金的1%，或者10%，或者90%用于下注；也可以采用乘方的形式用优势值与上一个数字的三次方二者之间的比值作为比例，从全部资金中取出一部分用于下注。但是，与其他的众多按比例下注系统相比，凯利系统有什么与众不同之处呢？最简单的答案就是，使用凯利系统可以保证财富能以最快的速度增值。下图把凯利系统和另外两种按比例下注策略进行了比较。采用的实验模型与上面相同，也是猜硬币，次数为500轮。可以看到，500轮之后，使用凯利系统下注的收益曲线从1美元涨到了74.46美元。图：几种类似凯利系统的下注策略的比较标有“准凯利系统”的曲线描述的是另一种按比例下注策略的收益变化。根据准凯利系统，每次下注的金额相当于凯利系统下注金额的一半。可以看到，准凯利系统的收益增长相比之下更加稳定，稳定的收益大多数情况下是件好事，但采取准凯利系统下注的赌徒最后的财富总额却远远低于采取凯利系统的赌徒，只有16.07美元。标有“超凯利系统”的曲线描述的是每次下注的金额相当于凯利系统下注金额的两倍的投注策略。本次实验中采取超凯利系统下注的赌徒最后的财富总额是35.88美元。这种“双倍凯利”系统非常不稳定，如果运气好的话收益可能非常丰厚，但一旦出现变故，就有可能损失巨大。请注意，在上面图中的开始阶段，三条曲线中表现最好的是超凯利系统，但是好景不长（图左靠下出现了一个火山形状的起伏）。之后，超凯利系统的财富曲线几乎下降到零，而且很长时间都维持在非常低的水平。如果我们把实验无限延长，就会看到采用双倍凯利系统的财富曲线会一再跌到1美元的初始资本甚至更低。有时结果会更严重。虽然超凯利系统采取的也是按比例下注的策略，但仍然有可能导致破产。如果按照四倍凯利系统下注（每次下注金额相当于总资本的40%），相应的收益曲线几乎与上图中横向的坐标轴平行，在上图中可能根本无法看到。这样，按照四倍凯利系统下注500轮将会使1美元的初始资金降低到0.00000038美元。如果继续下注，那么总资本将无限减少，但从理论上讲，在货币单位可以无限减小且没有最低下注金额要求的条件下按照四倍凯利系统下注不会导致血本无归，虽然剩下的本金金额会少得无法计算。《财富公式》 第二章 二十一点 《财富公式》 改头换面的凯利标准(3)凯利系统所依据的基础是所谓的“大数法则”。早在1713年，瑞士的数学家雅各布·伯努利就在一篇论文中提出了这个法则，但一直都被赌徒和投资者误解。雅各布·伯努利提出的法则是针对期望值这个非常棘手的概念的。在美国赌场的轮盘赌中，如果轮盘保持百分之百水平放置，把赌注押在红色上面就有18∶38的胜算。是不是这就可以保证每转38次轮盘就能有18次指针指在红色上面呢？答案当然是否定的。（赌场里的事情谁能“保证”呢？）是不是如果过去一段时间指针总是指在黑色上面，所以接下来就会“轮到”红色呢？答案仍然是否定的。（虽然很多赌徒相信这种风水轮流转的说法。）那么期望值和这又有什么关系呢？如果要把这条数学定理翻译成浅显易懂的语言，很多人都会使用“从长期看”这个词。人们经常会说这样的话，“从长期看，指针指向红色的概率是18∶36。”但“从长期看”这句话不过是个口头语罢了，没有什么实际意义。不论你把轮盘转多少次，也无法保证指针指向红色区域与总数的比值与期望值相等。如果把转盘一连转上380亿次，会不会有180亿次指针指在红色上面呢？答案仍然是否定的。那么，会不会指向红色的次数接近于180亿次呢？这就要看你说的“接近”是怎样定义的了。如果你说的“接近”上下只差十次，答案几乎肯定是否定的。事实上，实际值和期望值会随着转轮盘次数的增加而提高。根据雅各布·伯努利的大数法则，我们（只能）知道，随着转动轮盘次数的增加，指针指向红色的次数会不断倾向于接近期望的概率。在轮盘转动数亿次之后，指针指向红色的概率会非常接近18∶38，也就是47.37％。过去几个世纪以来，无数的赌徒通过实践都得出了下面的结论：大数法则对于赌场中的实际操作没有他们期望的现实意义。也就是说人们对大数法则的期望值是个负数，所以谁也别指望利用大数法则赚钱发财。你也许会想，如果能找到一个期望值为正数的下注机会，也许可以通过长期应用大数法则来获得收益。但这也不一定。正如我们上面看到的，现实生活中存在着在短期内就破产出局的风险。即使采用按比例下注的方法，仍然有可能破产出局。在信息论中，申农多次引用了大数法则。如果通信渠道中充满了噪音干扰，每个比特的值都无法确定，那么就只能利用百分比这个概念了。凯利是通过模拟手段从期望值为正数的下注或者说投资机会中赚钱的。凯利系统管理资金的原理就是保证赌徒在赌局中坚持足够长的时间，直到大数法则开始起作用，从而带来赢利。《财富公式》 第二章 二十一点 《财富公式》 拉斯维加斯在雷诺进行试验期间，索普特意实地观察了轮盘赌的情况。他发现赌场中用的轮盘和申农地下室里的那个轮盘区别不大，而且大多数都是倾斜放置。1961年春夏之交，申农和索普终于完成了轮盘赌计算机的设计制作。申农和索普先在家进行了一次虚拟测试，只用了几个小时，两人几百美元的初始投资就增加到24000美元。接着两人又在申农的工作室进行了一次正式试验，为了隐藏通信装置，他们选用只有发丝粗细的电线连接耳机和藏在口袋中的接收装置，把电线用演员化妆用的阿拉伯胶粘在身上，再在上面涂上和皮肤一样的颜色。这年６月，索普夫妇两人先行来到拉斯维加斯，不久之后申农夫妇也赶到了。索普回忆道：“当时除我以外大家都很紧张。”在1961年，利用工具计算预测轮盘赌的结果完全可以构成违法行为。但四人相信赌场绝不会发现他们的试验。和二十一点的数牌策略不同，轮盘赌的计算预测需要使用专业工具，一旦被发现，就无可抵赖。于是，四个人决定住在普通的汽车旅馆，以免住在大酒店会招人注意。索普回忆当时的情况时这样说：“我们担心的是赌场可能会在我们的房间安装窃听装置或者派人检查我们的行李，如果你住在赌场开的酒店里，一定更容易受到监视。”四个人进行了分工，首先要到赌场中去“踩点儿”，观察各家赌场安放轮盘的倾斜角度。一旦发现摆放角度对自己有利的轮盘，就由申农负责上前假装准备下注，站在轮盘前面把每次的号码记在纸上。实际上，手中的纸笔只是掩人耳目，申农暗中用脚趾操纵计算机已经记录下了小球和转子的速度，然后计算机再利用音符密码把信息传到真正的下注人（索普或者是申农的妻子贝蒂）的耳朵里。同时，负责下注的人要假装不认识申农。大多时候都选择由贝蒂下注，因为她看上去显得很单纯，而且留的是长发，很容易就可以把电线遮住。索普的妻子维维安负责望风。由于开始有些紧张，所以他们每次只押一个一角钱的筹码，这样，如果数码押中，就能赢3.6美元。但是，由于电线太细，总是折断，每次断线都要回到旅馆房间去维修。他们事先考虑到了这个问题，所以随身带了电烙铁。由于电线问题，几个人一直没能放开手脚大干一场。在拉斯维加斯期间，索普向申农演示了自己的二十一点数牌策略。虽然索普的表现完美无缺，但斩获不多，似乎他的数牌策略已经失效，也许是因为幸运女神抛弃了他。在离开拉斯维加斯的时候，一行人又制订了几个新计划：回去之后把轮盘赌计算机的电线换成粗一点儿的（索普或者申农可以把头发留起来）；再设计一台计算机来为二十一点数牌（他们怀疑索普数错了牌，但索普坚信自己没出错，认为没必要专为二十一点设计计算机）；还要设计一台计算机来预测幸运轮盘。索普和申农在赌场中发现预测幸运轮盘比预测轮盘赌要容易很多。因为幸运轮盘没有小球，所以只需要计算轮盘的转动速度就可以了，而且不用考虑扇叶之类装置导致的偶然因素。回忆到当时的情景，索普说：“当时我就意识到我们大家恐怕再也不会一起来拉斯维加斯了。《财富公式》 第二章 二十一点 《财富公式》 百战百胜的策略(1)在这次拉斯维加斯之行后，申农和索普的合作就结束了。就在他们回来的当月，索普收到了新墨西哥州州立大学的邀请，希望他前去任教。由于当时麻省理工学院有可能不和索普续约，而且新墨西哥州州立大学开出的条件十分优厚，工资比索普在麻省理工学院的收入高出５０％，同时在新墨西哥州生活成本也更低，此外，索普夫妇由于刚生了孩子，也需要增加收入，所以就接受了邀请，两人一起搬到了新墨西哥州，在拉斯库希斯的一所房子安了家。长期没有论文面世对一个数学家来说就意味着学术生涯的结束。索普的研究领域是函数分析，他曾经发表过多篇学术论著，包括《紧线性算子与其关联共轭值的关系》。但是，真正给索普带来广泛声誉的著作却是他本来无心出版的。1961年春天，麻省理工学院来了一个图书推销员。在谈话过程中，索普说起自己关于二十一点的策略系统，觉得这可以写成一本书。于是那个图书推销员就提议让索普写一个大纲。大纲写成之后，纽约有家名叫布雷斯代的小出版公司看中了这本书并在1962年把这本书推上市场，书名叫《战胜赌场》。一经面世，《战胜赌场》马上成为了关于赌博的经典读物。不久兰登书屋吞并了布雷斯代公司。虽然《战胜赌场》这本书的名字起得很有吸引力，但兰登书屋的决策层认为这本书的内容偏重数学研究，所以不愿意大力推广宣传。尽管缺少市场推广，《战胜赌场》一书仍然荣登当时的畅销书榜单。在对《战胜赌场》进行推广宣传的过程中，索普也获得了一些名气。有一次，他和我们前面提到的开赌场的哈罗德·史密斯一起参加一个电视脱口秀节目。据说，听到这个消息时，哈罗德·史密斯当时说道：“策略致胜！咱们应该叫辆出租车去机场接他们。”当时，史密斯以为索普的数牌系统和（包括双倍下注策略在内的）过去那些毫无实用价值的策略一样乏善可陈，他完全不相信这种事情。早在索普在哈罗德俱乐部小试身手之前，史密斯家族就开始抵制使用数牌策略的顾客了。和其他经营赌场的家族一样，史密斯家族也很担心数牌策略会影响自己的利润。当时的很多赌场都开始采取各种措施，尽量使数牌策略无法得逞。哈罗德·史密斯曾经有一段时间到处浪荡逍遥，几乎在内华达州所有的主要赌场都欠下过赌债，同时也结识了很多人。内华达州的所有重要人物史密斯几乎全都认识。在索普与哈罗德·史密斯会面仅仅几个小时之后，就传出风声，说有个留平头带宽边眼镜的人和艾迪·汉德已经决定合作，共同试验一套数牌策略系统。在1962年冬天的一次赌场之行中，索普带上了一个精通扑克牌作弊的专家——迈克尔·麦克道格尔。麦克道格尔曾经在内华达州赌博控制委员会工作，从他身上索普学到了很多赌博作弊的手法，远远比从伊曼纽尔·基莫尔身上学到的要多。索普和麦克道格尔一起在拉斯维加斯呆了６天，之后又在雷诺逗留了两天。通过这次赌城之行，麦克道格尔相信了索普的说法。的确，所有认识索普的人都在想法抵制他，很多发牌员在和索普玩牌时都使用基莫尔在雷诺赌场识破过的那种骗术。1966年，经过一些修订，《战胜赌场》再次出版，在书中爱德华·索普描述了比原来的数牌策略更先进的“算点数”策略。直到今天，这种算点数的策略仍被普遍使用，通常称为“高低数牌法”。根据这种新策略，赌徒每看到发出一张低牌（包括2、3、4、5、6）就计正一，每看到发出一张高牌（包括点数为10的牌和A）就计负一。实战过程中，这种新策略比上面解释的还要容易，如果在计下一张低牌后又计下一张高牌，二者就可以抵销。对于估算剩余纸牌的点数，这种新策略比常用的算十策略更加有效。索普在书中还提到了一项通过计算机运算得出的惊人结论：根据鲍德温等人的计算，二十一点的赌场佣金为0.62％，对赌场方面有利；但事实上，赌场佣金为百分之0.10％，对赌徒有利。而且，这个数字还是在没有使用数牌策略的情况下计算的。此外，鲍德温等人提供的基本策略也不完全正确。在经过几番改进提高之后，索普的策略可以在赌徒不数牌的情况下把佣金提高到0.13。直到这时，大家才知道，赌场多年以来一直经营的这个赌博项目竟然对顾客有利。在《战胜赌场》这本书中，索普隐去了当事人的名字，把为自己提供资助的两个人分别称为“甲先生”和“乙先生”（书中只是简短提到了申农，称之为“某著名科学家”）。在《战胜赌场》获得成功后，伊曼纽尔·基莫尔开始告诉朋友们自己就是试验数牌策略的真正策划人。有一次，一个叫杰克·牛顿的赌徒说基莫尔吹牛，问他为什么自己不写这本书，却把出名的机会让给了索普，基莫尔的回答是：“杰克，当时我以为这本书值不了几个钱，我以为索普只打算写本小册子，成不了什么气候，所以就同意由索普写这本书，没想到会有这么多人会拿这书当回事儿，书中有些说法还是我帮他想出来的呢。”《财富公式》 第二章 二十一点 《财富公式》 百战百胜的策略(2)但索普拒绝承认基莫尔的这些说法。在接受专门报道赌博行业的记者彼得·鲁西曼的采访时，索普对基莫尔的定义是：“一个投机钻营之徒，他会编造各种谎言来利用别人为自己的利益服务。你从他的出身背景中就可以看出这点，不用这些伎俩就根本无法在那个圈子里生存下去，更不用提把生意做大了。”索普还说如果自己当时知道基莫尔和黑社会有联系，就不会“和甲乙两位先生一起去内华达州了”。在索普和《战胜赌场》一书的影响下，美国社会上出现了一种新的亚文化英雄。想不劳而获挣大钱吗？喜欢乔装改扮、霓虹闪烁、光鲜体面的生活吗？职业赌徒就是你的答案。一时间数以千计的美国人开始梦想着使用数牌策略在赌场中发家致富。但是，现实生活中职业赌徒的生活是非常孤独的，不但不能以真实身份与人接触，而且这种钱赚得也十分辛苦。一个记者在报道中这样写道：“大多数赌场认为，职业赌徒通常都是青年男子，性格内向，不苟言笑。”职业赌徒阿诺德·施奈德这样写道：“作为一个职业赌徒，你拥有战胜赌场的锦囊妙计，同时也清楚地知道赌场把自己视做眼中钉，为了除掉自己可以不择手段，这给人一种007式间谍战的印象。但这种感觉和小时候与邻居的孩子们玩捉迷藏和‘警察捉小偷’完全不同，在赌场里挣钱绝不是那么有趣的事。”索普自己就做了几年这样的职业赌徒。在1964年，美国《生活》杂志中的一篇专题文章中就把索普描写成这样一个可以把自己打扮得和芸芸众生毫无二致的年轻人。他留着深色短发，戴一副宽边眼镜，身穿深色西装，说话语速很快，略带一些不自信的样子。但这些都仅仅是表层现象，你可能会把他当做推销员、年轻的公司高管或者电视维修员。为了生存，他永远不能暴露自己的真实身份。他在内华达州当地登记用的是化名，戴着隐形眼镜，穿戴像个从洛杉矶来内华达观光的理发师。有一年夏天，索普留起了胡子。他在拉斯维加斯呆了两天，大有斩获。但不知怎么走漏了风声，结果，赌场中所有留胡子的客人都成了嫌疑人。于是，索普决定转移到塔霍湖，结果发现那里的赌场也开始防范留胡子的客人了。在实战中，索普逐渐学会把目光盯在发牌员身上，只用眼角的余光来数牌。为了防备隔墙有耳，每次到内华达州，索普都不敢大手大脚花钱，吃最便宜的饭菜，住最便宜的汽车旅馆。渐渐索普也了解了赌场作弊的门道，一看到形势不妙，抬腿就走。通过这些措施，索普成功地隐藏了自己的行迹。到1966年为止，索普到内华达州前后去了十几趟，赢的钱达到25000美元。按照拉斯维加斯的标准，区区25000美元不过是豪赌中一两局的筹码罢了。所以，在某种程度上，凭借数牌策略根本无法指望战胜赌场。并不是任何人读了索普的书之后都能领会书中所讲的数牌策略并在实战中运用自如，为我所用。真正能够学会运用数牌策略的人一百个里也很难找出一个。与深奥抽象的凯利公式相比，数牌策略受到的关注自然广泛得多。1966年，美国《生活》杂志刊载了一篇关于索普的文章，这大概是索普首次在公众媒体中提到凯利系统，文章中这样写道：爱德华·索普的数牌策略最具创见的特点就是对凯利系统的巧妙应用。凯利系统是一种关于资本管理的数学理论，由贝尔实验室的一位科学家提出创立。正是由于应用了凯利系统的原理，索普的数牌策略才能避免出现破产出局的情况（如果下注金额始终高于凯利系统计算的标准，即使在赌徒或投资人占有优势的情况下，也难免破产出局），凯利系统保证了索普的数牌策略能够百战百胜，这也是开天辟地第一遭。尽管如此，绝大多数读者在翻看《战胜赌场》这本书时都不会意识到按比例控制下注金额的重要性。在局势对自己非常有利的情况下，大多数人都自然会产生加大赌注的冲动，很多人的损失都是源于这种错误的冲动。《财富公式》 第二章 二十一点 《财富公式》 两点多蒂(1)“我怎么知道他是怎么成功的？没准他就是脑子好使，有数学天分，记忆力像照相机一样。”上面这句话评价的对象是爱德华·索普。说这句话的人名叫塞西尔·西蒙斯，沙漠饭店赌场的老板。西蒙斯是在和自己的竞争对手沙滩赌场的老板卡尔·科恩通电话时说的这句话，后面他又说道：“他写了本书，教人玩二十一点只赢不输的方法，我只知道这些。这个混蛋写的那本书把咱们的生意都毁了。”塞西尔·西蒙斯认为以后赌场“再也别想做二十一点的生意了”。还有一个拉斯维加斯的赌场老板声称索普的书是自基福弗听证会以来对美国赌博业最大的打击。西蒙斯把一些赌场老板和美国东部的一些黑帮家族聚到一起开了个会。会议地点就在他的沙漠饭店赌场后面的房间，非常隐蔽。据赌场经理维克·维克利回忆，当时会上有个人对这个问题的反应简单明了：“找几个来闹事儿的把他们的腿打断了，他们就知道在咱们的赌场耍这种数牌的把戏不会有好果子吃了，想吃好果子咱们把他们的腿就送他们到医院去吃。”这个建议被会议主席否决了，毕竟当时已经不是无法无天的年月了，而且大家的赌场都是合法生意，所以必须通过合法的办法解决这个问题。还有个建议，就是把“两点多蒂”请来坐镇（两点多蒂是美国赌场中发牌作弊的高手）。但大家冷静考虑之后仍然觉得不可行，因为来赌场数牌的人太多，根本应付不过来。最后，会议决定所有赌场集体修改二十一点的规则。这次规则修改主要针对二十一点中“加倍”的情况，“加倍”对玩家非常有利，但是偶尔进来赌两把的观光客很少听说过这种方法。根据修改后的规则，只有在遇到包括10和11的“硬双张”时才能加倍（“硬双张”指两张牌中不能有A）。另外，在分牌之后禁止加倍。通过对规则进行以上的修改，一般的策略玩家在赌场里就占不到优势了，即使运用数牌策略也很难占到便宜。1964年4月，拉斯维加斯度假饭店协会正式宣布了二十一点的新规则。新规则一经公布，等于通知赌场的顾客二十一点难度加大，很多本来无意运用数牌策略的客人也开始放弃二十一点了。这样一来，赌场中二十一点的生意越来越惨淡，发牌员收到的小费大打折扣，经常向经理抱怨。各家赌场仅仅坚持了几个星期就重新改回原先的规则了。《财富公式》 第二章 二十一点 《财富公式》 两点多蒂(2)虽然修改规则的办法未能如愿，各家赌场仍然继续试验各种对付数牌的办法。很多赌场都采用了当时称为“教授克星”的办法，所谓的教授克星当然是针对索普而言的。采用教授克星这个方法，发牌员可以把几副纸牌洗在一起，最少两副，最多八副，相当于把几副纸牌一起发，而且一旦同样点数的牌第二次发出，就重新洗牌。通常发牌员在剩５０多张牌的时候就要重新洗牌。在同时使用多副纸牌的情况下，永远不会轮到发后面剩下的牌。即使碰巧对玩家有利的牌都集中起来，玩家仍然很难占到便宜。所以运用数牌策略难度加大，赚钱的概率也大大降低。通过计算索普曾经得出结论，在理想情况下他玩二十一点每年可以挣到30万美元。所谓理想情况，指每星期可以玩40个小时，随意调整下注金额，不受赌场方面的干涉。但在现实生活中，赌场的干涉无处不在。有一次在拉斯维加斯的一家脱衣舞赌场玩二十一点时，索普要了杯饮料，咖啡加牛奶和糖。结果喝下去之后，索普发现自己难以集中注意力，眼睛什么也看不清楚，只好摇摇晃晃地从牌桌边起身回到旅馆房间，过了８个小时才恢复正常视力。第二天，索普又来到这家赌场，这次只要了白水，而且每次只喝一小口。“那水味道很怪，好像里面放了一大包发面用的苏打粉，只用几滴就能让我昏睡一整夜。我要是再多喝一点肯定会在牌桌前昏过去。”索普回忆起那段岁月时曾说过：“我知道三起赌场打人的事情。有一次，一个颇有名气的数牌高手被打得看不出模样。还有个我认识的人，他被人架起胳臂打，稍一喘息，他们就狠狠打在他心口上。”索普提到的第二个人在挨打之前受到了赌场的警告，但却置之不理，结果吃了大亏。索普总结出一条规律，赌场的打手在动手之前总会先给人一次“警告”，如果对方不听才会大打出手。艾德·雷得和奥维德·得玛利斯两个合著的《绿丛林》这本书是在《战胜赌场》面世之后第二年出版的，里面披露了很多赌场中的丑恶现象。根据《绿丛林》中的说法，直到1960年代中后期，赌场还经常雇用黑帮来解决麻烦，打人的地方通常会选在会计室，会计室由于隔音效果好，所以“非常适于打人”。艾德·雷得和奥维德·得玛利斯在书中还提到了一个里维埃拉赌场发牌员作弊的故事。这个发牌员作弊被发现之后，两个赌场打手让他把手握起来放在桌子上，另外一个人用裹了橡胶的球棒狠狠地打下去。然后在众多顾客面前把他拖了出去，由黑帮找来的医生给他包扎了伤口，但手上却没做任何处理。他们开车把那人带到郊外，扒下他脚上的鞋子，推下车去，恶狠狠地说：“王八蛋，走着到巴斯托去，路上不许搭便车，我们从后面看着你。”《财富公式》 第二章 二十一点 《财富公式》 双人自行车在提出凯利系统之后，约翰·凯利再也没有发表任何与赌博相关的文章。而且从来没有人听说过他曾经利用自己提出的凯利公式去挣钱，据他的好朋友本·洛根说，约翰·凯利似乎从未用自己设计的那个电路装置去下注赌橄榄球。当时，凯利已经成了贝尔实验室的重要人物，负责主持信息编码与计算机编程部门的工作。凯利曾经应用申农的理论解决过卫星传输中的回声效应问题。此外，他还设计过一台模块图表编译器用来编制密码，编制过一个教计算机唱歌的程序。这台会唱歌的计算机是IBM公司的704型计算机，索普开始研究二十一点的时候使用的就是这种型号的计算机。1961年，凯利和卡罗尔·洛克鲍姆两人决定把计算机朗读的“哈姆莱特”选段以及演唱的“戴茜贝尔”（又称“双人自行车”）录制下来，用来演示他们人声合成技术的成果。长期研究人声合成技术会引起一种被称为“鹦鹉效应”的职业病。由于常年和计算机打交道，研究人员的听觉会逐渐适应计算机模拟的语音，反而对真正的人声不那么敏感了。曼弗雷德·施罗德在回忆起在1950年代为贝尔实验室的两位高管演示人声合成技术时的情景时非常自豪：“他们表现得很礼貌，但看得出来，计算机说的话他们一句也听不懂。”同时，由于计算机“演唱”的那首歌人们都耳熟能详，只要听到伴奏就能想到歌词，所以这种演示形式稍有作弊之嫌。事实上，对歌曲演唱进行合成模拟要比人声谈话容易得多。但当时的新闻媒体没有注意到这点，一致对会唱歌的计算机大肆褒扬。当时，约翰·皮尔斯和英国科幻小说作家阿瑟·克拉克私交不错。1960年代中期，阿瑟·克拉克曾拜访过贝尔实验室，希望与AT＆T公司合作拍摄一部电影，这部电影就是后来由斯坦利·库布里克执导的《2001：太空漫游》。当时根据克拉克与库布里克两人的设想，电影中所有的未来科技产品上面都要带有当代著名企业的标志，如AT＆T公司的可视电话系统。但由于AT＆T公司的高管人员过于谨慎保守，担心电影中表现的科技产品未必能研制成功，从而损害公司声誉，最终双方未能合作。后来，克拉克在写电影剧本时想起了凯利用计算机合成模拟人声的录音，从而引发了灵感，在电影临近结束的部分设计了一个情节。代号为“HAL”的太空计算机由于恶意威胁宇航员的生命安全被拔掉了电源之后，智力立刻开始下降，当下降到儿童的水平时，就唱起了约翰·凯利在演示人声合成技术时用的那首“双人自行车”。当时，克拉克与库布里克都认为，通过多年研究试验，约翰·凯利这样的科学家到2001年一定能够达到目标，设计出能够完美模拟人声的计算机技术。所以他们在电影里用自然的人声来为计算机“HAL”的配音，而不是像其他电影那样处理成生硬的机械人声。在电影中负责给计算机“HAL”配音的是道格拉斯·瑞恩，同时他还演唱了最后的那段“双人自行车”。到了2001年，计算机、电话以及互联网上到处都可以听到数字合成的人声，这都要归功于约翰·凯利这位杰出的物理学家当年的不懈努力。事实上，当年AT＆T公司高管的顾虑也不无道理，过去几十年来计算机合成人声技术的研究进展一直非常缓慢，直到今天，利用数字技术合成的人声与真正的人声也相距甚远。在电影《2001：太空漫游》中，那台太空计算机的代号是“HAL”。据说克拉克选择了这个名字是暗指美国计算机公司IBM，HAL就是由IBM这三个字母各自在英文字母表中的前一个字母组合构成的。而在现实生活中，IBM公司碰巧也是约翰·凯利生命的终点。1964年3月18日，约翰·凯利和几位同事坐着贝尔实验室的轿车来到曼哈顿参加IBM公司的会议。在街上散步时凯利一直用手捂着脑袋，忽然他向同事们喊道：“等一会儿！”紧接着就瘫倒在地上。就这样，约翰·凯利由于突发脑溢血离开了这个世界，当时只有41岁。后来，人们知道凯利这个名字大多是因为一部凯利本人从未看过的电影和他设计并以他命名的赌博公式。《财富公式》 第三章 套利 《财富公式》 保罗·萨缪尔森(1)保罗·萨缪尔森是热爱哈佛的，但这种热爱并没有完全得到回报。当萨缪尔森年满25岁时，他在报章杂志上发表的文章数量已超过了他的年龄。可是这个突出的成绩在哈佛大学似乎并不被看中，他只是一名普通的哈佛大学经济学课教员，收入微薄。在他看来，获得哈佛大学的终身职位只是一个遥远的梦。他的一位同事由于某种“缺陷”的原因已经获得了哈佛大学的终身职位，而这“缺陷”是他来自于堪萨斯州。萨缪尔森来自于印第安纳州的加雷。那位来自堪萨斯州的同事不是犹太人，萨缪尔森是犹太人。1940年，萨缪尔森获得了麻省理工学院的一份工作，因此搬到了三英里外的剑桥市的另一端。在有些人看来，萨缪尔森由哈佛大学转到麻省理工学院任教是降级了，因为麻省理工学院是一所科技工程类学校，其经济系并不为人所知。美国经济及政治界领袖中很少有人出自这所学院。当时，常青藤盟校内部反犹太主义风潮盛行，但麻省理工学院却并不参与其中，而是愿意雇用萨缪尔森这样思维敏捷的犹太人执教。麻省理工学院对技术的关注与萨缪尔森的天赋极为吻合。萨缪尔森将经济学看作是一门数学，这在当时是一个非传统的全新视角。从亚当·斯密到约翰·梅纳德·凯恩斯，经济学大多以文字来表述。在哈佛大学，经济学也只是停留在文字层面的探讨，而在麻省理工学院，萨缪尔森使经济学成为了一门数学。萨缪尔森将微分方程运用得游刃有余，如同物理学家一样。他的论文中写满了各种命题。他在讲课及发表的论文中所流露出的睿智使他更加卓尔不群，与传统的经济院派形成了鲜明的对比。萨缪尔森是一位出色的教师。在他所在的年代，可以说，没有哪位经济学家曾像他一样培育出如此众多的杰出的追随者。他的影响力也远远超出了剑桥小城，波及到了更广的范围。1948年，萨缪尔森凭借其广博的学识和出色的文采推出了一本题为《经济学101》的教科书。尽管书名很简单，但很长时间以来一直位于最佳畅销书行列。萨缪尔森曾经这样说：“如果我可以为一个国家撰写教科书，那么就让那些有意愿的人们去制定它的法律吧。”萨缪尔森是民主党人。他曾为美国总统候选人艾德莱·史蒂文森和美国总统约翰·菲茨杰拉德·肯尼迪教授过经济学课程。在整个卡米洛特时代，他始终是一位备受尊崇的经济顾问。20世纪60年代中期，萨缪尔森在经济学界的影响力仍无人能敌，麻省理工学院经济系也因他而声名远播，享誉整个经济学界。大约在1950年，萨缪尔森特对认股权证产生了浓厚的兴趣。认股权证是由上市公司发行的股票认购授权证。一些人认为，购买认股权证比购买股票更容易赢利。萨米尔森花125美元购买了一年的RHM权证和低价股票调查信息。据说，RHM权证和低价股票调查为人们提供有助于赢利的市场指南。萨缪尔森表示，即便他每年只发一小笔横财，他都会很知足了。而实践证明，RHM权证和低价股票调查所提供的信息并不能成为懒人致富的捷径。萨缪尔森的致富梦并没有成真，但他却从中有所收获。他推断说，如果RHM权证和低价股票调查所提供的情报准确的话，那么就不只值125美元了。那么，为什么这些情报有用处呢？为什么认股权证的所有者会以低于权证价值的价格卖给你呢？1953年，一位叫做莫里斯·肯德尔的英国统计学家在伦敦皇家统计学会发表了一次演说，演说的主题是“芝加哥商品市场上每周的小麦价格（1883～1934年间，不包括1915～1920年）”，这个题目即使对于统计界人士来说都是枯燥乏味的。肯德尔想探讨的是，人们能够在多大程度上根据历史数据来准确地预测未来的小麦价格。肯德尔得出了一个让人意想不到的结论。他表示，人们根本不可能预测到小麦的价格，小麦的价格总处于毫无目的的变化中，“就像‘机会之魔’每周随意抽出一个数字，然后将这个数字加到当前的价格中，由此来确定下周的价格。”肯德尔表示，这个原则也许同样适用于对股票价格的预测。有些人认为他们能够对股票市场做出预测（他们可能是经纪人、顾问或资金经理），而在肯德尔看来，他们都在自欺欺人。《财富公式》 第三章 套利 《财富公式》 保罗·萨缪尔森(2)肯德尔的言论被外界冠以“虚无主义”的名号，有人认为他的言论“给经济学带来了致命一击”。因为经济学本身就是一门研究事物可预测性的科学，万物都应是可预测的。萨缪尔森是从一个朋友口中得知肯德尔的这个观点的，这个朋友听了肯德尔那场演说。怀着天生的批判心理，萨缪尔森对肯德尔的观点产生了浓厚的兴趣，并决定对“股票和商品价格的不可预测性”假设进行研究，看这种说法到底能走多远。后来，他收到了一张莱昂纳得·“吉米”·萨维奇寄来的明信片，没想到正是这张小小的卡片给他的研究提供了巨大帮助。萨维奇是一位美国的统计学家，他总带着可乐桶一样厚的眼镜，很喜欢系领结。他当时在芝加哥大学任教，在他的出版物中经常使用“莱昂纳得”这个称呼，而人们都习惯地称他为“吉米”。此外，他的生活态度如同他的名字“Savage（粗野）”一样，名副其实。那些与他的意见有原则性分歧的人往往被他定义为“愚蠢”。据传，萨维奇四处浪荡的生活与他喜欢指出别人愚蠢之处的习惯有一些关系。1954年，当萨维奇在一家图书馆的书架上找一本书的时候，偶然间一本路易斯·巴切里亚的作品引起了他的注意，作品要阐明的是股票价格的变化是完全无规律可循的。随后，萨维奇给那些他认为可能对这个主题感兴趣的人每人寄了一张明信片。他在明信片上写道：“有没有听说过这个家伙？”答案是否定的。路易斯·巴切里亚已经被世界所遗忘了。他在1900年出版的论文《投机理论》中指出，股票价格每天的变化基本上是无法预测的。当一种股票的价格反映了一家公司所有已知信息及全部合理预测的时候，那么未来的价格变化应被认为是不可预测的。股票不会只为了满足人们的期望而走高，股票走高是因为其表现超出了人们的预期，而股票走低是因为其表现低于人们的预期。因此，股票的价格变化是随意的，无规律可循的，总是受到不可预知的新闻事件的影响，无论它们是好消息还是坏消息。这就意味着，买完股票后马上卖出的做法输赢的概率是一样的。巴切里亚在论文中这样写道：“这个投机者的数学期望值为零。”巴切里亚的这篇论文得到的反响一般。之后，他一直默默无闻，外界对他的了解也仅限于他出生于1870年，去世于1946年等。巴切里亚去世１０年后，萨维奇与萨缪尔森重新发现了他的观点，并将他推崇为20世纪经济学思想家中最具影响力的人物。《财富公式》 第三章 套利 《财富公式》 保罗·萨缪尔森(3)颇具讽刺意味的是，股票价格的不可预测性恰恰使其本身从某种程度上以统计学的角度变成可以预测起来。这就是统计学中一个经典的规律。一个醉鬼在一路灯下睡着，他时不时会醒来，晃晃悠悠地挪动几步，方向不定，随后又睡着。这个过程无限重复下去。在这样多次无定向的运动之后，这个醉鬼最后距原来的路灯有多远？你可能会认为根本无法回答这个问题。当然，我们无法找到准确的答案。但是，我们可以计算出这个醉鬼最后距离路灯的平均值。想象一下，一群醉鬼从同一路灯处出发，都朝着不定的方向游走（忽略彼此间的碰撞）。这群醉鬼则是围绕这个路灯分布开来的，因为不存在推动这群醉鬼朝某个特定方向运动的力。对于这群醉鬼来讲，任何方向都是一样的。随着时间的推移，他们向不同方向分散开来，就如同我们所熟知的一点，当你迷路了，漫无目的地游走，结果你会离出发点越来越远。如果你追寻某个或某几个醉鬼的游走路线，你会发现，他们会走很多回头路，甚至画圈。有些醉鬼最后离路灯很远，这是因为他们在许多运动的阶段所走的方向大致相同，所以从整体上来看，他们在沿着接近直线的路径运动。但由于任何阶段运动的方向都是随意选择的，因此，上述这种情况不太可能发生，就如同赌博中轮盘不可能总指示同一个数字一样。这群醉鬼离路灯的平均距离随着时间的推移不断增加。更为准确地讲，平均距离以时间的平方根速度增长。如果一个醉鬼走一个街区的距离所用的时间平均为1小时，那么他走两个街区的距离所需要的时间为4小时，运动三个街区所需要的时间为9小时。随机游走在很多情况下都会发生。就像我们已经看到的，在一场赌博中，一个赌徒手中钞票数额的变化就是一种无规则的运动。这是一种一维的无规则运动，因为财富的变化只有两个方向，要么增加，要么减少。随着时间的推移，这个赌徒的财富会与他原有的财富总量的距离越来越大，也就是说，他的财富将越来越少，最终完全丧失。当巴切里亚写下这些文字的时候，阿尔伯特·爱因斯坦正就布朗运动迷惑不解。布朗运动是悬浮在液体中的微观粒子所做的不规则运动也就是随机游走。爱因斯坦推测，可能是由于粒子受到不可见的分子来自各个方向的冲撞力而形成了布朗运动。这些不规则运动中的碰撞导致了可见的运动。爱因斯坦在1905年发表的对于布朗运动的解析与巴切里亚所描述的股票价格运动非常相似，但却没有后者先进。像其他人一样，爱因斯坦从未听说过巴切里亚这个人。《财富公式》 第三章 套利 《财富公式》 “随机游走派”(1)萨缪尔森将巴切里亚的观点融入了自己的思想中。他总是习惯性地尽其所能，让更多的人了解巴切里亚的思想与睿智，而同时，他也习惯性地将巴切里亚的观点称作“荒谬”。为什么呢？原因是萨缪尔森发现了巴切里亚结论中的一个错误：巴切里亚的模型并没有考虑到股票价格不可能低于零这一基本事实。