猜想与反驳-9

这一节将进一步讨论和发展第十章第x和xi节的思想(这里假定读者已经读过它们)。在塔尔斯基的真理理论中，“真理”是陈述的一个性质。我们可以用“T”标示某种人工的语言(对象语言；参见下面第5节)的所有真陈述的类。我们可以用a∈T表达(某种元语言的)断定：陈述a是真陈述类的一个成员，换句话说，a是真的。我们在这里的首要任务是定义一个陈述。的真内容的观念，我们用“CtT(a)”标示它。这定义必须使得一个假陈述和一个真陈述都有真内容。如果a是真的，那么a的真内容CtT(a)(或更确切地说，它的度量)将仅仅是。的内容的度量；也即(1) a ∈T—> CtT(a)=Ct(a)式中我们可以像第2节的(1)一样，建立(2) Ct(a)=1-p(a)。假如a是假的，则正如已经提到过的那样，它仍然可以有真内容。因为，假定今天是星期一，那么陈述“今天是星期二”将是假的。但是，这个假陈述将蕴含一些真陈述，例如“今天不是星期三”或“今天或者是星期一或者是星期二”；它所蕴含的所有真陈述的类将是它的(逻辑的)真内容。换句话说，每个假陈述都蕴含一个真陈述类这个事实是把一个真内容赋予每个假陈述的基础。所以，我们将把陈述a的(逻辑的)真内容定义为既属于G的(逻辑的)内容又属于T的那些陈述的类；因而我们也解释了它的真内容的度量CtT(a)。为了在理论Ct或p(这里Ct(a)=1-p(a))的内部给CtT(a)观念下定义，我们可以应用各种方法。最简单的方法或许是同意，在像p(a)或p(a,b)这样的表达式内，字母“a”、“b”等等不仅可以是陈述的名字(因而也是，例如，有限个陈述的合取的名字)，而且也可以是陈述的类的名称(或者属于这些类的所有陈述的有限或无限的合取的名字)，因此，我们也就同意用符号“t”[11](在像p(t)、P(a,t)或P(t,b)这样的语境之中)代替“T”，并把它看作是所考虑的语言系统(或陈述系统)的一切真陈述的(有限或无限的)合取。换句话说，我们把符号“t”用作变项“a”、“b”等等可能取的常值之一，并且同意以下述方式使用它：(3) t的推论类或逻辑内容是T。然后我们定义一个新符号“aT”如下：(4) aT「”标示“蕴含”即“从……推出……”」(5) a 「aT从而还得出(6) p(aaT)=p(a)，(7) p(a,aT)p(aT)=p(aaT)=p(a)。我们还得出(8) aT「x，当且仅当a「x&x∈T，式中“a「b”还是读做“b可从a推出(或者由a蕴含)”。因此，(8)的意思是：aT是a所蕴含的逻辑上最强的真陈述(或演绎系统)。因此，我们现在可以把a的真内容定义为aT的真内容，而它的度量CtT(a)现在可以定义如下：(9) CtT(a)=Ct(aT)=1-p(aT)从(9)和(5)得出(10) CtT(a)≤Ct(a)和(11) 如果a∈T，那么aTT(a)=Ct(a)为了定义“Vs(a)”——即a的逼真性(的度量)——我们不仅需要a的真内容，而且还需要它的假内容——或者它的度量——因为我们希望把vs(a)定义为a的真内容和假内容之差异这类东西。但是，a的假内容或它的某种替代物的定义不是很简单的，因为存在这样的基本事实：了可以说是构成了一个推论类或内容(t的内容，参见上面的(3))，而我们系统的所有假陈述的类F却不是推论类。因为，虽则T包含T的一切逻辑推论——因为任何真东西的逻辑推论必定也是真的——但F并不包含所有它的逻辑推论：从一个真陈述只能推出真陈述，而从一个假陈述不仅能推出假陈述，而且也总能推出真陈述。因此，按类似于“真内容”的方式来定义“假内容”，看来是行不通的。为了得出a的假内容的度量CtF(a)的一个令人满意的定义，规定一些必需的定理是有益的：(i) a ∈T—>CtF(a)=0(ii) a∈F—>CtF(a)≤Ct(a)(iii) 0≤CtF(a)≤Ct(a)≤1(iv) CtF(contrad)=Ct(contrad)=1式中“contrad"是自相矛盾的陈述的名字。所需要的定理(iv)应该和定理CtT(tautol)=Ct(tautol)=0加以比较和对照。式中“tautol"是一个重言陈述的名字。(v) CtT(a)=0—>CtF(a)=Ct(a)(vi) CtF(a)=0—>CtT(a)=Ct(a)(vii) CtT(a)+CtF(a)≥Ct(a)(如果取“a”为，例如“contrad"，则可看出这里用“≥”而不是“=”的理由；因为在这种情况下，我们根据(iv)和CtT(a)=Ct(t)得到CtF(a)=Ct(a)=1，但是，Ct(t)是最大真内容，它通常区别于零。在一个无限域里，Ct(t)=1-p(t)通常将等于1。)(Viii) CtF和CtT在下述意义上关于Ct是对称的：存在两种函数，f1和f2，以致(a) CtT(a)+CtF(a)=Ct(a)+f1(CtT(a)，CtF(a)) =Ct(a)+f1(CtF (a)，CtT(a))就是说，f1关于CtT和CtF是对称的；因此，结果我们便得到(b)CtT (a)=f2(Ct(a)，CtF(a))(c) CtF(a)=f2(Ct(a)，CtT(a))。在按这些方式定义“CtF(a)”的各种可能性中，以下定义是可取的，这里就采用这个定义：(12)CtF (a)=1-p(a,aT)=Ct(a, aT)这个定义满足我们的需要。对于所要求的定理(i)和(ii)来说，这是显而易见的；如果我们考虑以下定理，那么这对于其他所要求的定理来说，也变得很清楚：(13) CtF(a)p(aT)=p(aT)-(p(a, aT)p(aT))=p(aT)-p(a)参见(7)T (a)因此(14) CtT(a)=Ct(a)-( CtF (a)p(aT))≤Ct(a)。(15) CtF(a)=(Ct(a)- CtT (a))/P(aT)=(Ct(a)- CtT(a))/(1- CtT (a))(16) CtT(a)p(a, aT)=p(a, aT)-(p(aT)p(a, aT))=p(a,aT)-p(a)=Ct(a)- CtF (a)于是，我们就得到(17) CtF(a)=Ct(a)-( CtT (a)p(a, aT))≤Cta(18) CtT(a)=(Ct(a)- CtF (a))/P(a，aT)参见(iii)F (a))/(1- CtF (a))见(15)我们从(15)还得到(19)CtF (a)- CtT (a) CtF(a)=Ct(a)- CtT (a)从而还有(20) CtT (a)+ CtF (a)=Ct(a)+ CtT(a) CtF (a)所以，(17)表明(iii)得到满足，而(20)表明(v)、(vi)、(vii)和(viii)也都得到满足。(iv)的满足可以从p(contrad，t)=0得出。这表明，对CtF (a)所提出的定义(12)满足一切我们所需要的定理。但是，我们所需要的定理之一(vii)可能显得不可满足：或许可以看到——尽管我们对(vii)作了评论——我们应该假定(一) CtT(a)+ CtF (a)=Ct(a)可以表明，方程(一)实际上决定了CtF：它将导致定义(我们不接受这个定义)CtF (a)=Ct(aT—>a)=1—p(aT—>a)，式中“aT—>a”(或者，我们还可以写作“aCt(a)的情形。从这一切可以看到，我们所需要的定理(iv)可由下面两条高度直观的定理代替：(iv，a)CtF (contrad)=常数，(iv，b) CtF(contrad)≥CtT (contrad)。附带指出，事实上我们每每得到(21)CtF (a)-Ct(a、CtT（a）－CtF（a）CtT（b）- CtF （b）；（ii） -1≤VS（a）≤ VS（t）≤1；（iii） VS（tautol）＝0；（iv） Vs（contrad）＝-1；因此，我们得到(v) －1＝Vs（contrad）≤b（a）≤＋1；（vi）在一个Ct（t）可以成为1的无限域中，Vs（t）应该也能成为1。这里应该指出，Ct（t）＝1－p（t）将取决于我们论域的选择。甚至在一个潜在无限的论域里，它也可能小于1，就如下述例子所表明的那样：设我们的论域包含互斥可能的一个可数无限集a1，a2，……，并设p（a1）=1/2，p（a2）=1/4，p（a3）＝1／8，p（an)=1/2n；此外，再设这些可能性中只有一个得到实现：t=a1；那么， Ct（t）＝ 1/2。因此，为了作数值计算，最好是用一个正规化的形式去代替P（a,aT）－ P（aT）；我们选取正规化因子1/（P（a, aT）＋ P（aT））；就是说，如上所述，我们定义：（23） Vs（a）＝（p（a,aT）－p（aT））/（p（a, aT）＋p（aT））。我们现在得到：（24）如果a ∈T，那么Vs（a）＝ CtT（a）/（1＋p（aT））＝ Ct（a）/（1＋p（a）），（25） Vs（tautol）=0，和（26）Vs（coytrad）＝－l。还存在其他各种可能的定义。例如，我们可以引人其他正规化因子，如CtT（a）、Ct（a）或者 CtT（a）＋CtF（a）。我认为，这些不会导致Vs（a）的恰当定义，倒是会导致像“真值度”这类观念的定义。4．数值的例子在讨论一些数值例子——这些例子必须取自于那些把概率运用于靠碰运气取胜的游戏的理论或者统计理论——之前，我希望先对纯粹容度和概率理论中的数值作些一般的论述。除了那些我们能用一般方式（或者借助在投骰子时的等概率假定，或者借助统计假说）度量概率的概率论应用而外，我看不出有把数值（除了0和1）赋予我们的概率或容度的量度的可能。就此而言，纯粹概率论和纯粹容度理论很像欧几里得几何：欧几里得几何里没有加以定义的实际单位。（巴黎单位米的定义无疑是超几何学的。）我们不必因为纯粹概率论或客度理论不提供实际的数值（除了0和1）而担心。因此，我们的地位在许多方面更像拓扑学，而不是度量几何。[12]现在来谈数值例子。我将区分两种类型。（l）普通掷骰子型的例子。这里，如果比如说4朝上，而我们猜的是5朝上，那么，我们认为，这不比猜6朝上更好，也不更坏。（这里是在离真实更近或更远的意义上使用更好或更坏的。）（n）我们的猜测离开真实之距离有一种度量的例子。我们能够用下述假设来表示这一例子：如果事实上4朝上，则5将朝上（或3将朝上）这个猜测或命题就把6将朝上（或2将朝上）这个命题同真理隔开了；由于这个缘故，因此如果a＝6，则aT就将是 6v5v4，而不是 6v4（或者 aT＝2v3v4）。[13]这里和下面，“a=6”或“a＝6v4’都用于表达“a＝6将朝上”或“a＝6v4将朝上”，等等。我们取几颗同类的骰子。我首先计算类型（i）的三个例子。（1）a＝6； b＝4；b＝t我们有：aT＝ 6v4；p（a，aT）＝ 1/2；p（aT）=1/3Vs（a）＝ 1/5（2） a＝5；b＝4； b＝t我们有aT＝5v4。这计算和结果同。情形（1）相同。（3)a＝6v5； b＝4； b＝t我们有aT＝6v5v4；P（a，aT）＝2/3；P（aT）＝1/2VS（a）＝ 1／7我们现在可以把这些和类型（ii）的三个相应的例子加以比较。差别在于aT的计算。(1’) a＝6；b＝4； b＝ t我们有：aT =6v5v4；p（a, aT）＝1/3；p（aT）＝1/2Vs（a）＝-1/5（2’）a＝5；b＝4； b=t我们有：aT＝ 5v4；p(a，aT)＝1/2；p（aT）＝1/3Vs（a）＝ 1／5（3’）a=6v5； b＝4； b＝t我们有：aT＝6v5v4； p（a，aT）＝2/3；p（aT）＝ 1/2Vs（a） ＝1/7 。我现在再增加两个准确猜测的例子：（1”）a＝6； b＝6； b＝t；Vs（a）=5/7（2”） a=6v5；b=6； b=t；Vs（a）＝1/2 。于是，我们看到，逼真度可能随着a的容度而增加，随着a的概率而减少。5．人造语言和形式化语言人们常说，塔尔斯基的真理理论只适用于形式化语言系统。我认为这种说法不正确。众所周知，塔尔斯基的真理理论需要一种带某种程度人为性的语言——一种对象语言；它还需要区分对象语言和无语言，而这种区分有一定程度的人为性。然而，虽然通过把某种谨慎引人日常语言，我们使它丧失了“自然”性，带上了人为性，但是，我们不一定使它形式化：虽然每种形式化语言都是人造的，但并非每种服从某些规定的规则，或者建基于多少清楚地表述的规则的（所以是“人工的”）语言都一定是完全形式化的语言。在我看来，承认存在一整套不同程度上人为的但不是形式化的语言，是相当重要的，对于真理论的哲学评价尤为重要。6．对逼真性的一个历史注释(1964年)这里要对逼真性和概率之间的混淆的早期史作些评论(作为对第十章第xiv节的补充)。(1)简言之，我的命题如下所述。我们所掌握的最早的说法明确地运用类真或逼真的观念。后来，“类真”变得模棱两可了：它获得了附加的意义诸如“像真的”或“或然的”或“可能的”，因此，在有些场合就不清楚是指哪种意思了。在柏拉图那里，由于他的极关重要的模仿或模拟理论，这种模棱两可变得很明显：正如经验世界模仿理念的(真)世界一样，经验世界的说明或理论或神话也(似乎)“模仿”真理，因而只是“类似真理”；或者，把同样这些词句按它们的其他意思来译，这些理论不是可证明的、必然的或者真实的，而只是或然的、可能的或者(一定程度上)是似乎真实的。这样，柏拉图的模拟理论便为(那时已流行的)错误的和引人人歧途的“类真的”等于“或然的”的等式提供了类似哲学基础的东西。亚里士多德使一个附加的意义变得相当突出：“或然的”=“频繁地出现的”。(2)为了提供一点细节，我们先看看《奥德赛》的19，203这段：足智多谋的俄底修斯告诉珀涅罗珀(她没有认出他来)一个包含了一点儿真实因素的虚假故事；或者像荷马所说的那样，“他使得许多谎言像真理一样”(“etumoisinhomoia")。在《神谱》的27f中重复了这句话：奥林匹斯的缪斯，这些宙斯的女儿们，对赫希俄德说：“我们懂得怎样撒许多谎，说得像真理一样；但是，我们也懂得怎样说真理(aletheia)，如果我们愿意的话。”这段话也很有意思，因为这段话里，etumos和alethes都作为“真实”的同义词出现。包含短语“etumolsin homoia"的第三段是《神谱》的713，这里狡猾受到赞扬(就像在《奥德赛》里一样)，把谎言说得像真的一样的能力被说成是神授的(也许暗中指《神谱》中的缪斯)：“你应该用神一般的内斯特的如簧巧舌把谎言说得像真话一样。”和这些段落有关的一件事是，它们全都和我们今天所称的“文学批评”有关。因为，这是个“讲故事”的问题，而这些故事是(和听起来是)像真的似的。在色诺芬那里可以看到非常相似的一段话，色诺芬本人就是个诗人，也许还是第一个文学批评家。他引入了(DKB35)术语“eoikota”来代替“homia”。也许在提到他自己的神学理论时，他说：“我们可以猜想，这些东西同真理相似”(eoikomtoisetu—moisi；亦见前面第217页)。这里我们又获得了一个短语，这个短语同一个术语一起明确地表达了逼真性(不是概率)的观念，这个术语(我已把它译成“我们可以猜想”)源出于doxa(“意见”)，而doxa这个术语在巴门尼德那里和巴门尼德以后起了十分重要的作用。(这个术语也出现在色诺芬的最后一行即B34中，这一行前面已在第37和217页上引过，用于同“saphes”即“确实真理”相对比。)接下去的一步是重要的。巴门尼德的B8，60使用了eoikota(“相似的”或“类似的”)，而没有明确地提到“真理”。我认为，还是像在色诺芬那里一样，意思是“像真理似的”，我前已按此翻译了这段话(“完全像真理”；参见前面第16页)。我的主要论据是它和色诺芬B35相似。这两段话都是说凡人的意见或猜想(doxa)，两段话都说了一些相当赞同它的话；两段话都显然意味着，这种相当“好的”意见实际上并非真实叙述。尽管有这些相似性，巴门尼德的话常常还是被译成“或然的和可能的”(参见前面第338页上的注①)。这一段是很有意义的，因为它和柏拉图的《蒂迈欧篇》中的一段重要的话(27e-30c)密切相关。在这一段里，·柏拉图从巴门尼德区分“始终现存和从不生成的东西”与“始终生成着和从不现存的东西”开始(27e-28a)；他附和巴门尼德说，第一种东西能被理性认识，而第二种“是意见和非理性感觉的一个对象”(亦比较前面的第235页)。从这出发，他继续解释道，变化和生成着的世界(ouranos或cosmos：28b)是由造物主创造的一个摹本或类似物(eikon)，它的原型或范型是永恒不变的现存的存在。在巴门尼德那里，从范型到摹本的过渡相当于从“真理之路”到“似然之路”的过渡。我前面已引用过后一种过渡(第16页)，它包含术语“eoikota”，而后者和柏拉图的“eikon”，即和“类似真实”或“类似现存东西”相关；从中我们或许可以得出结论：柏拉图把“eoikota”读作“类似(真实)的”而不是“或然的”或“可能的”。然而，柏拉图还说过：在作为类似真实的东西时，摹本不可能确实地被知道，对它我们只能有意见，而这种意见是不确实的、“可能的”或者“或然的”。因为他说，对范型的说明是“经久不变的、不可动摇的、不可反驳的和战无不胜的”(29b-c)，而“对(仅仅是)范型摹本的类似性的东西的说明将……(只)具有类似性；因为，像现存相对生成一样，真理相对(纯粹)信念也是这样。”正是这一段引入了在不完全确实信念或部分信念的意义上的相似性或或然性(eikota)，而同时又把它和逼真性联系起来。这一段结束时，这种向“似然之路”的过渡又发出了一个回响：正像女神允诺巴门尼德给出一个“完全像真理”的说明，以致再不能提供更好的说明一样(前面第16页)，我们在《蒂迈欧篇》(29d)中读到：“如果我们能提供一个说明，它在相似性(eikota)上比其他说明都好，记住[我们]……是人类这种创造物，接受一种似真的说法(eikotamuthon)是与我们相称的……那么，我们应该满足”。(对这一点，“苏格拉底”回答道：“妙极了，蒂迈欧!”)应当指出，饶有兴味的是，这个关于“类真性”和“相似性”(即“或然性”)之间非偶然的含糊解释的介绍并没有使柏拉图后来在《克力锡亚斯篇》(107e)中避免在“类真说明”的意义上使用这个术语。因为，鉴于前文，这段话应读为：“就天上的和神性的事物而言，我们应当满足于一种类真度很低的说明，但是，我们仍应仔细地检验凡人的说明的精确性。．”(3)除了柏拉图使用"eikota"(和类似性质的术语)时这种系统的和无疑故意的含糊之外，除了范围广泛的形形色色意思明确的用法之外，还存在着广泛的意思根本不明确的用法。在柏拉图(和亚里土多德)那里，不同用法的例子是：它用于同“可证明的”和“必然的”相反的意思；宦用于表达“仅次于确实性”。它也常用作“肯定”、“当然”或者“这在我看来似乎完全正确”的同义语，尤其用作对话中的插人语。它在“或许”的意义上使用；它甚至在“频繁出现”的意义上使用；例如，在亚里士多德的《修辞学》的2，25，8里：“……或然的东西(eikos)不是不可避免地会出现，而只是在大多数场合下会出现的东西……”(4)我打算用另一段文字批判作为结束，这段话在亚里士多德的《诗学》(1456a，18，18，和1461b，25，29)中出现了两次，在第一次出现时，他把它归诸诗人安喀松。“也许不可能的事情要发生了。”或者更明确些说，虽然略欠文采：“不可能的事情要发生了，这像是真的。”补充注释 自从1960年写这篇(现已扩大了的)第五章的附录以来，我已读过了查尔斯．H．卡恩的最令人敬佩的书《阿那克西曼德和希腊宇宙论的起源》(1960年)。卡恩正确地强调了关于自然的早期思辨的“本质上的统一性”(第5页)，并指出阿那克西曼德思想的框架至少直到柏拉图的《蒂迈欧篇》为止始终统治着后继者的宇宙论。我认为他的强调是重要的，因为它矫正了我本人对这些后继理论新奇性的强调。但是，在我看来，我的论点，即新奇性是批判性论争的结果，似乎把这两种观点都包括了进去：显然既有统一性又有新奇性。这里，对卡恩和我都感到非常重要的阿那克西曼德的地球自由悬浮理论，或许我可以再补充一点。我提出过，这个理论很可能是阿那克西曼德批判泰勒斯的结果。但是，我觉得很清楚，它也是对《神谱》中的一段话(720-725)的一个批判的反响。这段话明确提出，地球和围绕着它的宇宙各部分是等距离的：因为这里说在地球下面的地狱跟地球的距离与地球上方的天堂跟地球的距离一样远。(亦比较《伊利亚特》8，13—16；《伊尼特》vi577。)这段话还强烈地使人感到，我们能够画一幅图，在这幅图中，如果天体被设想为一种球，那么，地球就将占据阿那克西曼德指定的位置。[14][1] 这些附录中讨论的各个技术性问题特别和本书第10章有关。它们以前没有发表过。[2] 参见《科学发现的逻辑》第31、34节。卡尔纳普接受了这个思想：尤见他的《概率的逻辑基础》一文，1950年，第406页，以及他的《符号逻辑》[SymbolischeLogik]，第2版，1960年。第21页。[3] 尤见我的(科学发现的逻辑)的第30节最后一段。[4] 《科学发现的逻辑》，第25节，第95页；新附录*x，(1)到(4)，第422-426页。亦见例如本书第1章(第iv、v节)和第3章(第6节最后6段)。[5] 关于“创造性的”和“非创造性的”定义的讨论，可参见例如P．萨珀斯的《逻辑导论》[Introductionto Logic]1957年，第153页，还有我的论文《概率演算中的创造性和非创造性定义》[Creativeand Non-Creative Definitions in the Calculus of Probsbility]载《综合》[Synthese]，1963年，第2期，第167页以后。[6] 试比较例如W．费勒的《概率论及其应用导论》[AnIntroduction to ProbabilityTheory and its Applications]第1卷，第2版，1957年，第117页。顺便指出，我们可以把空子集等同于其惟一元素为-(a，-a)的单元子集，因为这个元素是(相对于b)绝对地独立的，即相对于任何集An独立的。因此，我们得到了2n个方程，它们的n+1涉及单元类，并且是很平常的。[7] 参见《科学发现的逻辑》第83节注。②(第270页)[8] 参见《科学发现的逻辑》第404页。[9] 同上书，第402-406页。[10] 同上书，第400-402页。[11] 注意，“t”现在不是用来标示“重言式”；对重言式，我们后面还将引入符号“tautol”。(因为了很可能是不可公理化的，所以这种使用“t”的方法可以说等于把a,b,…，t，…解释为演绎体系(而不是解释为陈述)；参见塔尔斯基：《逻辑，语义学，元数学》第342页及以后，和第382页上谈到S.马祖凯维茨的地方)。[12] 这里假定的概率论在《科学发现的逻辑》的附录*iv和v中阐发了；亦见本附录上面的第2节。[13] “6v5v4”，和“6v4”在这里是“或6或5或4朝上”和“6或4朝上”的缩写。[14] 卡恩引了《伊利亚特》8，13—16。虽然他提到了《神谱》，但并没有涉及《神谱》的720—5(也许因为在某些稿本中第721-725行缺失抑或由于其他疑问?)，这可以解释为什么他这样(第82页)说到《神谱》727ff等：“想画一幅图来配这样一种描述，是没有希望的。”