逻辑学-21

ats等等应该意谓着什么，以后用直接求微分来处理这个方程式，从这个出发点来解释那种绝对运动的规律和规定：这些就恰恰相反，一定显得是很有兴趣的课题，解析在这种课题中会露出最可贵的光彩。所以微分计算对运动基本方程式的应用，就本身主，并没有提供什么实在的兴趣：至于形式的兴趣，那却是从针算的一般机械作用来的。但是就运动轨道的规定的关系来解析运动，这却包含另一种意义；假如这是一条曲线，并且它的方程式也包含了较高的方冪，那么，这就需要从作为乘方函数的直线函数到方冪本身的过渡；由于获得那些直线函数，须从原来包含时时因数的运动方程式去掉时间，所以这个因数也须同时降到较低的展开函数，从这些展开函数，可以得到直线规定的方程式。这个方面引起对微分计算另一部分的兴趣。以上所说的目的，在于强稠并明确微分计算简单的特殊规定，用一些粗浅的例子来说明这种规定。这种规定之所以产生，在于：从一个方幂函数的方程式，求出展开项的系数，所谓第一导数；这个函数是一个比率，它在具体对象的诸环节中得到证明；如此由这个函数得来的方程式，便在那两个比率之间规定了这些环节本身。同样也须要简短考察一下积分计算原理以及这原理应用于积分计算特殊具体规定所发生的东西。这种计算的观点之所以已经简化并得到更正确的规定，因为它已不再被认为像与求微分对立时被称为累加法（SumrnationsMethode）那样，在那时，增长还被当作是重要的成分，从而计算还好像与系列的形式有本质的联系。——这种计算的任务，起初也和微分针算的任务一样，是理论的，或者不如说是形式的；但是大家也都知道，它正是微分计算的反而；——这里是从一个函数出发，这个函数被认为是导数，并且是从一个还未知的方程式的展开而产生的次一项的系数，从这个导数应该找出原来的方冪函数；在展开的自然序列中必须被看作是原来的函数的，这里却是导出来的；而以前被认为是导出的函数的，这里却是已给与的，或一般开始的函数。但是这种运算的形式部分，似乎已经由微分计算实现了，因为一般由原来的函数到展开的函数的过渡及其间的比率，在那里已经确定了。假如一方面为了应用我们必须从那里出发的函数，另一方面又为了实现从这个函数到原来函数的过渡，在许多情况下，都必须采用系列形式作避难所，那么，首先便必须坚持这种形式本身与求积分的特殊原则并不直接相干。但是这种计算的另一部分任务，就形式运算的关系看来，现在就是这种运算的应用。现在这种应用本身就是任务，即是要认识 上面所指出的意义，一个特殊对象的已知的、被认为第一导数的原来函数所具有的意义。这种理论本来似乎也可以在微分计算中完全了结的；但是出现了另外一种情况，使得事情不这样简单。因为在这种计算中，发生了这样的事，即是由一个曲线方程式的第一导数得到一个是直线的比率，所以从而就知道求这个比率的积分，也便有了在纵横座标的比率中的曲线方程式；或者说，假如有了一个关于曲线平面的方程式，那么，微分计算便应该已经告诉人们关于这样方程式的第一导数的意义，即这种函数表示纵座标为横座标的函数，于是也就表示了曲线方程式。但是现在问题所在，是；对象的规定环节哪一个本身在方程式中是已知的，因为解析处理只能以已知的作出发点，并从那里过渡到对象其余的规定。例如已知的，既不足曲线的一个平面空间的方程式，也不是由曲线旋转而发生的某种立体，也不是曲线的一段弧，而只是在曲线本身的方程式中的纵横座标的比率。因此，从那些规定到这个方程式本身的过渡，是不能够在微分计算中已经得到处理的；求出这些比率是要留给积分计算来做的。但是从前又曾经指出过的，有较多变量的方程式，求它的微分，所给予的展开方冪或微分系数，不是作为一个方程式，而是作为一个比率；于是任务就是要为这个是导出函数的比率，在对象的环节中，指出与它相等的第二个比率。另一方面，积分计算的对象，是原来的函数对导出的（这里应该是已知的）函数的比率本身，并且任务是在已知的第一导数的对象中，指出那种须要去求得的原来函数的意义；或者不如说，由于这种意义（例如一条曲线的平面，或要使其变直的、被想像为直线的曲线等），已经被宣布为间题，任务就是要指出这样的规定将由原来的函数找到，并且指出什么是对象环节，什么就在这里必须被当作是（导出）函数的开始函数。把差分观念当作无限小的观念来使用的那种普通方法，现在却把事情弄的很容易；对于求曲线的平方，它就把一个无限小的长方形，即纵座标和横座标的原素（即无限小）的乘积当作不等边的四边形，这个不等边的四边形以对着横座标无限小部分的那个无限小的弧为它的一边：于是乘积便在以下的意义有了积分，即积分给予了无限多的不等边四边形的总和，即平面，而这个平面所需要的规定，就是它的那种原素的有限的大小。同样，这个平面，由弧的无限小以及属于此种无限小的纵横座标，形成了一个直角三角形，在这个三角形中，那个弧的平方须等于其他两个无限小的平方之和，求后两者的积分所得的弧，是被当作一个有限的弧的。这种办法，以那种一般发现为前提，那种发现为解析的这一部门奠定了基础，它在这里的方式，就是：成了平方的曲线，变直了的弧等等，对曲线方程式所给予的某一函数，有着所谓原来函数对导出函数那样的比率。因此现在所要知道的，是：假如一个数学对象（例如一条曲线）的某一部分被认为是导出的函数，那么，它的哪一另外的部分是由相应的原来函数来表示呢？人们知道，假如由曲线方程式给予的纵座标函数被认为是导出的函数，那么，相对的原来函数就是这个纵座标所切的曲线面积大小的表现；假如某一切线规定被认为是导出的函数，那么，它的原来函数就表现为属于这个切线规定的弧之大小等等；现在这些比率构成一个比例，它们一个是原来函数对导出函数的比率，另一个是数学对象两个部分或两种情况的大小比率；但是使用无限小并以它作机械运算的那种方法，却省掉了对这一点的认识和证明。它特殊的聪明功绩，是从别处已经知道了的结果里，找出一个数学对象的某些和哪些方面，与原来函数和导出函数有比率。在这两个函数中，导出的函数（或说它既是已被规定的，那就是乘方的函数），它在这里的计算中，相对于原来函数而言，是已知的，而原来函数却应该通过求积分，从那个导出的山数找出来。但是这个导出的函数既不直接是已知的，而数学对象的哪一部分或规定，应孩被看作是导出的函数，以便把它还原为原来的导数，求出对象的另一部分或规定（它的大小就是问题所要求的），这个部分或大小，本身也不是已知的。普通的方法，如已经验过的，是立刻以导出函数的形式，把对象的某些部分想像为无限小；这些部分，一般可以从对象原来已经给予的方程式，通过求微分而规定（——正如无限小的纵横座标是为了使一条曲线变直）。这种方法为此便采用这样的部分，它们可以与同样被设想为无限小的问题对象（这在前一例中，就是弧）有联系，这种联系是初步数学中已经确定的；因此，假如这些部分是已知的，那么，问题所要求得的那一部分的大小，也就被规定了；所以为了求曲线的长，上述的三种无限小便与直角三角形的方程式速系起来；为了求曲线的平方，纵座标和无限小的横座标便联系在一个乘积之中，因为平面在算术上，一般被认为是直线的乘积。于是从平面。弧等等这样的所谓原素到平面、弧等等的大小之过渡，其本身只被当作是从无限多的原素的无限表达过渡到有限表现，或说是它们的总和；所求的大小，应该是山这些无限多的原素构成的。因此，说积分计算单纯是微分坟算倒倒过来的、但一般较为困难的问题，只能是肤浅的说法；积分计算的真实兴趣，倒不如说是唯在于具体对象中原来函数和导出函数的相互比率。拉格朗日既不用那些直接假定的便易方式来免除任何问题的困难，也不同意在这一针算部门那样做。用少许几个例子，来指出他的办法的细节，这同样有助于说明事物的本性，他的办法正是以这一点为自己的任务，即，要本身证明庄一个数学整体（例如一条曲线）的特殊规定之间，有着原来西数与导出函数的比率。但是，由于这种经率的本性，这一点在这个范围内，是不能用直接的方式来完成的；因为在数学对象中，这个比率把曲线和直线，把直糙的因次及其函数和平面的因次及其函数等不同质的东西联系起来了；所以其规定只可以看作是一较大和一较小的东西之间的中项。这里当然又出现了带着加减号（p1us uiid minus）的增长形式，而那个活泼有力的“展开”（Deve1oppons）也就在它的位置。上了；但是正如以前所说，这里的增长只有算术的、有限的意义。须要规定的大小，它比一个易于规定的极限大些，比另一极限又小些，假如展开这种条件，便将引导出这样的事：例如纵座标的函数，对面积的函数而言，就是导出的第一函数。拉格朗日对求曲线的长的说明，山于他从亚基米德原理出发，其饶有兴趣之处在于理解亚基米德方法之翻译为近代解析原理，这使我们对于用另一种方法去机械地搞的事业，可以洞见其内在的、真正的意义。这种办法的方式与方才所举的办法①，必然类似；亚基米德原理并没有给予直接的方程式，这个原理是说一条曲线的弧比包的弦我大，比在弧的终点反其交点间所做的两条切线之和较小。那种亚基米德的基本规定翻译成近代解析形式，就是发明一种表现法，其本身是一个简单的基本方程式，而那种亚基米德的形式却只是提出要求，要在每时每刻本身都是规定了的一个太大者和一个太小者之间无限进展，这种进展永远总是又有一个新的太大者和一个新的太小者，但它们的界限总是愈来愈紧密地接近。借助于无限小的形式主义，立刻便立下了dz2=dx2+dy2 这一方程式。拉格朗日的解歌，由上述基础出发，却相反地指出弧的大小，对一个导出的函数说来，是原来的函数，其特殊之项，本身就是一个函数，这个函数是由一个导出函数与纵座标的原来函数的比率构成的。因为在亚基米德的办法中，也像以后在克卜勒立体几何学对象的讨论中那样，都出现了无限小的观念，所以这一点常常被当作权威来引用，在微分计中便使用了这个观念，而不去强调特殊的和有区别的东西。无限小首先意谓着这样的定量的否定，即所谓有限表现或完成了的规定性之否定，这样的规定性即是定量本身。同样，在后继的伐勒里烏斯①、卡伐列里②等人的著名方法中，都是以对几何对象的比率之考察为基础，各种规定也首先是只从比率方面来考虑，因此之故，那些规定的定量本身这一基本规定被放在一边，从而那些规定就认为应该是非大小的东西。但是一方面在这里并没有认识和注意到潜藏在单纯否定规定后面的一般肯定的东西，这在前面曾抽象地表明为质的量规定性，而这种规定性在方冪比率中便更加确定；一一另一方面，因为这种几率自身叉包括一定数量的更确定的比率如方静的比率及方幕的展开函数等，所以它们又应该以那个无限小的一般的和否定的规定为基础，从那里引导出来。在方才举出的拉格朗日的解说中，找到了包含在亚基米德阐明问题的方式中的那种确定的肯定方面，因此对于那种受无界限的超越之累的办法，也就给了一个正确的界限。近代发明的本身伟大处，和它解决以前无法駕馭的问圈，以及用简单方式处理以前可解决的问题的能力，这些都完全是由于发现了原来的和所谓导出的事物间的比率，以及发现一个数学整体中具有这种比率的那些部分。① 即规定所要求的大小，是在一较大者和一较小者之中。——译者① 伐勒里鳥斯（ValertusI, Lucas），1618 年死于罗马，伽利略称他为当时的亚基米德，著有《从简单的错误论求抛物线平面法》。——原编者注② 卡伐列里（Cavalieri，BonaventuraFrancesco，1598-1647），意大利的数学家，著有《几何学》《几何习题》等书。——译者大小比率的特殊方面，是现在所谈论的特种计算的对象，对于须要强调这一点的目的，以上引证大概可以满足了。这些引证曾经能够限于简单的问题及其解决方式；要着手检察微积分计算所谓应用的全部范围，并且以所发现的原理为应用的基础，将一切应用的问题及其解决都还原到原理那里来完成归纳：这对于此处唯一有关的概念规定既不适宜，也非著者能力所及。但是以上的论述，也足够指出每一特殊的计算方式，都以大小的一种特殊的规定性或比率为对象，而这样的比率便构成了加、乘、乘方、开方根、计算对数、系列等等，和这一样，微积分计算也是如此；就属于这种计算的东西而言，方冪函数及其展开或乘方的函数的比率这个名词，或许是最合适的，因为这个名词对事物的本性含有最确切的见解。不过，既然依据其他大小比率的运算如加法等，一般都在这种计算中使用，于是对数、圆、系列等比率也同样应用了，这特别是为了使那些从展开函数导出原来因数所必须的运算有更加可以駕馭的表达。微积分计算固然共同具有较确切的兴趣，要用系列形式来规定展开的函数，这些函数在系列中叫做各项的系数；但是因为这种 计算的兴趣仅仅涉及原来函数和它的展开的最近的系数，于是系列便想要依照具有那些系数的方冪而排列的众多的项，表现为一个总和。在无限系列中出现的无限物，就是一般定量的否定物的不确定的表现，它与包含在这种计算的无限物中的肯定规定，毫无共同之处。同样，无限小作为增长，展开借助于它才变为系列的形式，它对于展开，只是一种外在的手段；而它的所谓无限性，除了作为那种手段的意义而外，并没有任何其他的意义：因为所要求的东西，事实上并不是系列，所以系列引出的东西太多，要费多余的努力再把它去掉。拉格朗日虽然由于他的方法，在所谓应用中突出了真正的特殊性，因为它无须将dx，dy 等强加于对象，直接指出了属于对象的导出（展开的）函数规定的那一部分，从而表现出系列形式与此处所讨论的问题无关；但他却又喜欢采用系列的形式，所以他的方法也就同样遭到上述的麻烦。①① 在以前所引的批评中（《科学评论年鉴》第二卷，1827 年，第155—156 号以下），有一个精通本业的学者史泊尔先生*的很有趣的说法，这是从他的《流量计算的新原理》（布朗施栓格，1826 年）引来的，这些说法涉及一种情况，微分计算的晦涩而不科学，主要须水溯因于它，这也很符合于我们以前关于这种计算的理论的一般情况所说的。他说：“纯算术的研究当然比一切类似的研究，都更与微分计算有关，人们不曾将它与真正的微分计算分开，甚至像拉格朗日那样，把它认为是事物本身，而人们却把这种研究仅仅看作是微分计算的应用，这种算术研究包括求微分的规则，泰勒定理的导数等，甚至各种求积分的方法也在内，情况完全相反，那些应用才正是构成真正微分计算的对象，从解析出发的微分计算是以一切那些算术的展开和运算为前提。”——我们曾经指出，在拉格朗日那里，将所谓应用与从系列出发的那种一般部分的办法分开，怎样恰恰提供了突出微分计算本身特性之用。上述的那位著老说，正是所谓应用构成真正微分计算的对象，但是可惊异的，是他有了这种镁有兴趣的见解，怎样会让自己进入（见上引的书）那种连续大小、变、流动等等形式的形而上学，想在那些废物之上再添上斩的废物：那些规定之所以是形式的，因为它们只圣是一般的范畴，没有举出事物的特点，而事物却是要从具体学说，从应用去认识和加以抽象的。——黑格尔原注*史泊尔（Speht，Friedrich Wilhelm，1799—1833），布朗施维格的数学家，著有《纯组全论的讲义大全》。——原编者注注释三 其他与质的大小规定性有关的形式微分计算的无限小，就它的肯定意义说，就是质的大小规定性，对于这种规定性，我们曾较详细地指出它在这种计算中，不仅出现为一般的方冪规定性，而且是一方冪函数与展开方冪的比率那种特殊的方冪规定性。但是这种质的规定性所呈现的形式，还更为广泛，也可以说更为微弱；这种形式以及与此有关的无限小的使用和无限小在这种使用中的意义，还应该在这个注释中加以考察。因为我们从以上所说的出发，在这方面便须首先记住，从解析方面看来，各种方冪规定之所以出现为仅仅是形式的，并且完全是同质的，那是因为它们意谓着数的大小，本身没有彼此间质的不同。但是解析的比率应用于空间对象时，就完全显出了它的质的规定性，那就是从线到面、从直线到曲线等等规定的过渡。这种应用自身又带来这样的事情，即：空固的对象，就其本性说，是以连续大小的形式给予的，现在却要用分立的方式来把握它。所以面就是一定数量的线，线就是一定数量的点等等。这种解决唯一有兴趣之点，在于它本身规定了线分解为点，面分解为线等等，以便从这种规定出发，能够以解析的方式进展，真正税来，即是以算术的方式进展；对于须要找出来的大小规定而言，这些出发点就是原素；具体物（即连续大小）的函数和方程式应当从那些原素导引出来。对使用这种办法显得极有兴趣的问题，要求在这些原素中有一个自为地规定的东西作出发点；这与那种间接过程相反，因为那种过程只能相反地以极限开始：那个自为地规定的东西就处在极限之间，是那种过程所趋向的目标。纵使可以找到的，只是继续向前规定的规律，而不能够达到所要求的完全的规定、即所谓有限的规定，然而两种方法所得的结果是一样的。第一个想到那种倒转过来的过程，而将分立的东西作为出发点，这项荣誉应归于克卜勒。当他说明他对亚基米德测量圆的第一定理如何了解时，他以很简单的方式表达了这一点。亚基米德的这第一定理是大家都知道的，那就是：假如一个直角三角形的勾等于一个圆的半经，股等于圆的圆周，那么这个圆便等于这个直角三角形。因为克卜勒把这一定理的意义当作是圆周所有的部分和它所有的点同样多，即无限多，而每一部分都可以看作是一个等腰三角形的底线等等，所以他就把连续物的分解表现，一分立物的形式。这里出现的无限这一名词，与它在微分计算中应该有的规定，还离得很远。——假如现在为这些分立物已痤找到了一种规定性或函数，那么，以后还又应该把它们总括起来，本质上作为连续物的原素。但是既然点的总和不能给予线，线的总和不能给予面，那么，这就是点立刻已经被认为有线的性质，线也有面的性质了。但是那些有线的性质的东西还不就是线（假如它们被当作定量，那就会是线了），所以它们被想像为无限小。分立物只能够是一个外在的总括，在总括中的环节，保持着分立的一的意味；从这些一所出现的解析的过渡，只是到它们的总和，同时，这种过渡并不是由点到线或由线到面等几何的过渡：所以对于那些以点或线为其规定的原素，同时也就给予了（对以点为规定的原素）以线或（对以线为规定的原素）以面的性质，从而像是由细小的线的总和便成了一条线，由细小的面的总和便成了一个面。需要取得质的过渡这一环节并为此而以无限小作避难所，这一点必须看作是一切想要消除上述困难而本身却成了最大困难的观念的来源。要避免这种救急的应付，那就必须能够指出似乎是单纯加法的解析法，事实上本身已经含有乘法。但是在这方面，又出现了一个新的假定，它构成把算术比率应用于几何形状的基础：那就是算术的乘法对于几何规定，也是一种到较高因次的过渡，——一些大小，按照其空间的规定而言，是线；它们算术的乘法，同时就是线成了面的规定那样一个乘积；3 乘4（直线的）尺，是12（直线的）尺，但3（直线的）尺乘4（直线的）尺却是12（平面的）尺，而且当然是平方尺，因为两者既是作为分立的大小，共单位是同一的。直线与直线相乘，起初显得似乎有些荒谬，因为乘法只涉及数，是数的变化，这些数与其由过渡而成的东西，或说乘积，是完全同质的，不过大小变化了而已。另一方面，所谓线本身与线之相乘——这被称为积诸线为线（ductus lineae inlineam），就像积诸面为面（plani in planum）那样，积诸点为线（ductuspunctiin lineam）也是如此——这不单纯是大小的变化，而是线作为空间的性质的规定性、作为一维（Dimension）的变化；必须把线过位为面理解作线超出自身之外，正如点超出自身之外为线，面超出自身之外为立体那样。说点的运动就是线等等，其所想像的，与上面所说，是同一的东西；但是运动包括时间规定，并且在那种观念中，更像仅仅是情况的偶然的、或外在的变化；而须要采取的，却是表现为自身超出的概念规定性，——即是质的变化，并且在算术方面，它就是（如点等等）单位与（线等等）数目的相乘。这里还可以注意到在面超出自身时，便会出现面与面相乘，而发生算术乘积与几何乘积有区别的假象，因为面的超出自身，作为积诸面为一面（ductus planiinplanum），在算术方面，会得出两个二维规定的相乘，从而会得出一个有四维的乘积，但这乘积却由几何的规定而降低到三维。假如说在一方面，数因为以一为根本，所以对外在的量的事物给予了固定的规定，——那么，它的相乘也同样是很形式的：把3?3 当作数的规定，其自乘便是3.3x3?3；但是同一的大小，作为面的规定，其自乘却在3.3.3 那里便被遏止住了，因为空间虽然被想像为从点，这个仅仅是抽象界限出发前进，但它却以第三维为它的真实界限，即从线出发的具体规定性。上述区别，对于自由运动，可以证明是很有效果的；在自由运动中，其空间的一方面是受几何规定（s3:t2的克卜勒定律）支配的，其时间的另一方面，是受算术规定支配的。这里所考察的质的方面，如何与前一注释中的对象不同，可以无须更加解说便自然明了。在前一注释中，质的方面包含在方幕规定性之内；在这里，它却像无限小那样，仅仅在算术方面对乘积而言是因数，或者对线而言是点，对面而言是徒等等。那个必须从分立物（连续大小被想像分解为这种分立物）到连续物的质的过渡，现在将作为加法来完成。但是这个似乎单纯的加法，事实上自身却包含着乘法，即包含从线的规定到面的规定之过渡，例如一个等边四边形的面积等于两条相互平行线之和与其高之半的乘积，就最简单地表现了这一点。这个高被想像为一些应该加在一起的一定数量的分立的大小的数目。这些大小是线，它们是在那两条作为界限的平行线之间并与其平行；它们的数量是无限多的，因为它们应该构成面，但又是线，为了成为有面的性质的东西，便必须随着否定而建立。为了避免从线的总和须得出面这样的困难，便立刻把线当作面，但同时却当作是无限细窄的面，因为它们只是以不等边四边形平行界限的带有线的性质的东西为其规定。它们是平行的，并且以不等边四边形另外两条直线的边为界限，于是它们就可以被想像为是一个算术极数的诸项：各项的差分，一般是相同的，但并不需要规定，而级数的首项和未项就是不等边四边形的那两条平行线：这个极数的总和，就是大家知道的那两条平行线与全项数日之半的乘积。后一定量只是完全对无限多的线这一观念而言，才被叫做数目；它是一个连续物，即高的一般大小规定性。很明显，所谓总和，同时就是积诸线为一线（ductus lineae in lineam），即线与线相乘，按照上面的规定，就是带有面的性质之物的发生。在长方形这种最简单的情况下，a，b 两因数中每一个都是一个单纯的大小：但是以后即使在不等边四边形这样最初步的例子中，便已经只有一个因数是其高之半这样单纯的东西，而另一个因数，则相反地是由一个级数来规定的；后一因数也同样有线的性质，但是它的大小规定性较为复杂；因为这种规定性只能由一个系列来表示，这就是说要解析地、即算术地把这个系列总加起来；其中几何的因素是乘法，是从线维到面的过渡的质；前一因数只是为了后一因数的算术规定才被认为是分立的，就本身而言，它也和后一因数一样，是一个有线的性质的东西的大小。把面想像为线之总和这样的办法，当乘法本身与结果的目的无关时，也常常被使用。假如所从事的，是耍指出在一方程式内的大小不是定量，而是一个比例，上面所说的情况便出现了。这是人所共知的证明方式，例如一个圆的面积与一个以此圆的直径为大轴的椭圆面积之比，正如大轴与小轴之比，因为这两种面积，每一个都被认为是与它有关的纵座标的总和；椭圆的每一纵座标与圆的相应的纵座标之比，也正如小轴与大轴之比：所以得出结论说，纵座标的总和（即面积）的比例也是一样的。那些想耍避免面为线之总和这一观念的人，使这些纵座标成为宽度无限小的不等边四边形，这种救急的应付是很普通而完全多余的：因为方程式只是一个比例，所似乎面的两个线的原素，只有一个得到比较。另一原素、即横座标轴，在椭圆和圆里被认为是相等的，是算术的大小规定的因数，即是等于1，因此，这个比例完全只依靠一个进行规定的因素的比率。对于面的观念必须要有两维；但是在这个比例中所应指出的大小规定，却仅仅只涉及一个因素。对这一因素加上总和的观念，使其顺从或帮助这观念，真正说来，这是误解了此处问题所在的数学规定性。这里所讨论的，也包含了前面提到过卡伐列里不可分方法的理由根据，所以它也同样得到论证，无需逃难到无限小那里。当他考虑到面时，不可分的东西就是线，当他考虑到梭锥体或圆锥体时，不可分的东西就是平方或圆面等等；他称那些被认为已确定的底线或底面为准尺（Regel）；这是一个常数，对一个系列的关系说，那就是系列的首项和未项：有了常数，那些不可分的东西就将被认为是平行的，即从形状看来，它们是有同一规定的。现在，卡伐列里的一般原理是（《几何习题》第六卷；后来的著作《习题》第一卷，第6 页）：“一切形状，无能平面的或立体的，都与它们的一切不可分的东西成比例，并集体地（kollective）加以比较，假如王这些不可分的东西中有一共同的比率，就分配地（distributive）加以比较。”为此目的，他只有同底同高的形状，来比较那些与底线平行并与底线有同等距离这样作出的诸线的比率；一个形状的一切这样的线，都有一个同一的规定，并构成形状的全部内容。例如他以这样的方式，也证明了诸同高的平行四边形与其底线成比例这一基本的命题；在两个形状中所作出的每两条与底线有同等距离并与底线平行的线，是有两底线的同一比率的，所以那两个形状全部也如此。事实上，这些线不是构成作为连续的形状的内容，而是构成在算术上应该被规定了的内容：有线的性质的东西是这种内容的原素，必须通过这种原素，内容的规定性才可以掌握。这里我们便被引导去思索一种区别，这种区别之发生，是关于一个形状的规定性究竟在哪里，即：规定性的情况或者是像这里的形状之高那样，或者是外在的界限。假如它是外在的界限，那么，就须承认形状的连续性，可以说是随着界限之相等或比率而来的；例如相互重合的形状之相等，是依靠作界限的诸线相互重合。但是在同高同底的平行四边形那里，只有底这一规定性才是外在的界限；至于引出对外在界限作规定的第二原则的却是高，而不是一般的平行性，形状的第二主要规定，即它的比率，就依靠高。欧几里得关于平行四边形有同高同底者相等之证明，便是把它们还原为三角形，即外在被界限的连续物；在卡伐列里的证明中，首先是关于平行四边形的比例性之证明中，界限一般地是大小规定性本身，它被解说为可以应用到每两条以相等距离在两个形状中作出的线。这些与底线相等或有相等的比率之线，集体地看来，便给予了有相等比率的形状。线的堆集观念与形状的连续性相抵触：但是仅仅对线的考察，已经完全穷尽了问题所在的规定性。不可分这种观念是否会引到须要依照数目来比较无限的徒或无限的平面，对于这种困难，卡伐列里也常常给了答案（《几何学》第二卷，第一命题，注释）；他作了正确的区别，他不比较我们所不知道的无限的线或平面的数目（如已经提到过的，那不如说是被当作辅助手段的空洞观念），而是只比较大小，即等于那些线所包括的空间那种量的规定性本身：因为这空间被封闭在界限里，所以它的大小也就封闭在同一界限之内：他说，连续物不是别的，正是不可分之物本身；假如连续物在不可分之物以外，那么，它就是不可比较的了；但是要说有了界限的连续物不能相互比较，那是不合情理的。可见卡伐列里想把属于连续物外在存在的东西，与其中含有连续物的规定性并单单为了比较和为了关于连续物的定理的缘故而必须强调的东两区别开。他为此而使用的范畴，如连续物由不可分之物综合而成或由其拘成之类，当然是不够满意的，因为这同时需要连续物的直观，或如上面所说，需要连续物的外在存在；假如不说“连续物不是别的，正是不可分之物本身”，而说：连续物的大小规定性不是别的，正是不可分之物本身的大小规定性，那倒会是更正确，从而也会立刻更明白些。有些学派从不可分之物构成连续物这一观念，得出有更大和更小的无限物这样坏的结论，卡伐列里却并不这样做，他在以后还表现更明确地意识到（《几何学》第七卷前言）他并不由于他的证明方式而被迫要有连续物由不可分之物综合而成这样的观念；连续物只是随不可分之物的比例而来的。他之采用不可分之物的堆集，并不是说它们似乎为了无限数运的线或平面的缘故而陷入无限规定之中，而是由于它们自身有了划出界限的明确状态和本性。但是为了搬走这块绊脚石，他到底不辞辛苦，还在专门为此而增加的第七卷中，用不杂有无限性的方式，来证明他的几何的主要命题。这种方式把证明归结到以前引过的普通的形状重合形式，即以前说过的作为外在空间界限这种规定性的观念。关于这种重合形式，首先还要加上一个说语，即它对于感性的直观，简直可以说是一种很幼稚的帮助。在关于三角形的基本命题中，设想有两个三角形并列着，它们每一个都有六个部分，假定一三角形有三部分与另一三角形相应的三部分相等， 那么， 就将证明这两个三角形是彼此相合的（kongruent），即这一三角形的其余三部分也与另一三角形的那三部分的大小相等，——因为它们借前三部分相等便彼此重合。假如更抽象地来把握事物，那么，正是因为在两形中每一对彼此相应部分之相等，现存的才只有一个三角形①；在这个三角形中，有三部分是被假定为已经规定的，于是其余三部分的规定性也随之而来。规定性以这种方式将被证明往这三部分中已经完全了，所以对规定性本身说来，其余三部分是多余的，是感性存在，即连续性的直观的多余。用这种形式来说，质的规定性便与直观中所呈现的东西，