《学习像呼吸一样自然》第一章 阅读与写字阅读从身体接触开始当安娜平生第一次牢牢地抓住一本书，心里想着“这书是我的”的时候，图书的世界便第一次向她打开了大门，她成了这个神奇国度的公民。一次，我去拜访一个家庭，这家最小的孩子当时大约5岁，我有几年没见过她了。她远远地打量了我一阵，断定我看上去“还不错”，便接受了我，并问我愿不愿意“帮助她读书”。我其实并不大清楚她要我做什么, 不过还是说愿意。她取来自己的书，是苏斯博士的《老巴身上跳》(Hop on Pop)。她引我到沙发旁，然后，我坐下，她爬上沙发，依靠着我，自己开始慢慢地大声念起来。显然在这一阅读工作开始之前，她首先在自己和我之间建立起了一种温暖而舒适的身体接触。乔治•丹尼森在其著作《孩子们的生活》一书中描述了他以12岁的乔斯——一个顽劣的流浪儿童——为对象进行的试验，他表达了同样的观点。他与乔斯的合作只有在一个没有第三者在场的反锁起来的房间里才能进行。丹尼森这样写到：这个试验的基础是我们彼此之间的伙伴关系。因为乔斯对我信任在先，我才可以做这件听上去简单、实际上至关重要的事——我把我们关系中真正的更深层的部分变成了身体上的接触。我要么用胳膊搂着他的肩膀，要么挽着他的胳膊，或者靠近他坐着，如此一来我们的身体可以触碰……这种联系对于一个正经受着阅读障碍的孩子来说，重要性实在是无法估量。在此需要补充的是，在身体接触之前，必须首先建立起信任感。去抚摸或拥抱一个还没打算信任你的孩子，只会把他弄得更紧张。不管你是一个5岁的小“天才”，还是一个惊恐不安的12岁的小文盲，尝试着去读一本新书都是一次历险。你可能会犯错，会失败，会因而感觉到失望、丢脸、愤怒或厌恶。在踏上这样一条凶险的旅程之前，大多数人都渴望得到最大限度的舒适、保障和安全。传统的教室中，有着那些随时等着指出、纠正，甚至嘲笑你所犯的每一个错误的同学们，有着过于频繁地、有意无意地助长和怂恿这种行为的老师，这对于一个刚刚开始学习的孩子来说，真是个再糟糕不过的地方。我在《另类教育》中描述过一个名为“新小学”的学校，它靠近哥本哈根。这个学校根本不设置正规的阅读课程——没有课目，没有阅读小组，没有指导，没有考试，什么都没有。孩子们凭借自己的兴趣来决定要不要读、何时读、读什么、想和谁一起读，以及读多少，就像大人一样。但是所有孩子都知道这个规矩，它不是明文规定，而是那种在一个地方待得久了就会晓得的门道，那就是只要愿意，他们可以随时去找拉斯穆斯•汉森先生——一个高个儿、声音低沉、语速缓慢的老师(他在这个学校做了很多年的班主任)，问道：“你愿意和我一起读吗？” 他会说：“好的。”这个孩子便会挑一本书，跟着汉森老师来到一个小角落，不必是反锁的房间，只要舒服隐蔽就好，孩子挨着老师坐下，便开始大声念起书来。汉森老师几乎什么也不用做，除了间或温柔地说：“嗯，嗯。” 意思是说 “你读得对，请继续”。他一般不会指出或纠正孩子的错误，除非觉得孩子真的快要慌张起来。如果被问到一个字，他只是简单地说出答案。这么过了一阵子，一般是20分钟的样子，孩子就会停下来，合上书，站起来走到一边去了。你可能觉得很难把这称做教学。事实上，汉森老师是曾受过专门训练的阅读老师。他告诉我，他花了好多年的时间，才逐一克服了他的那些被培养出来的传统的教学习惯，最终学会了只给孩子提供这种小小的精神上的支持和帮助，而这些正是孩子所需要的，再多做什么都是画蛇添足。第一章 阅读与写字30小时学会阅读我问汉森老师，孩子们觉得自己有能力独自阅读以前，对这种精神支持的需要会持续多长时间。他说，从他对阅读情况的记录来看，那些和他一起读的孩子最长的大约累计读了30小时，这些孩子大多是每次读20～30分钟，如此持续几个月。不过，他补充到，还有许多孩子没有读那么久，不少孩子干脆就没有来找过他一起读。我要补充说明的是，几乎所有从新小学毕业的孩子后来都进入了高级中学学习，这种中学比起美国的绝大多数中学来，功课要艰涩繁重得多。而新小学的孩子们，不论是怎么学会、何时学会的，他们对付阅读类的功课都游刃有余。30小时。我也经历过这种情形。几年前，我曾在俄亥俄州克利夫兰市一个成年扫盲班的阅读课上做过顾问。绝大多数的学生在30～50岁之间；绝大多数都是穷人；约一半是黑人，另一半是白人；他们大多是从阿巴拉契亚或遥远的南部迁移而来。这门课办了3期，每期3周。学生们每周来5个晚上，每次2小时，这意味着一期便是30小时。教师给这些学生所使用的教材是凯莱布•盖特诺的《彩色的字》，这是一本编排精妙的教材(以我现在的眼光看，它甚至过于精妙了)。使用得当的话，这本教材的效果会非常显著，但同时它对老师的水平要求也相当高。这就意味着，它有时会被利用得很糟糕。在这个课程中担任老师的志愿者们很少有人以前使用过这本教材。他们为了教这个扫盲班，自己先在一个强化班中培训过。我观察了每一期的很多老师，他们大多数人把这本书中的教学法使用得不错，有1～2个老师格外突出，有几个则非常差劲。不同的班，不同的学生也是千差万别——有的班会积极配合，有的学生比其他人要勇敢和踊跃得多。我不知道有没有人对这门课进行过追踪研究、结果如何，以及学生们运用他们新学到的阅读技巧的效果怎么样。但我在这个为期3周的课程结束时形成了这样一个鲜明的印象：我所观察的大多数学生已经在这30小时里学到了足够多的阅读技巧，能够独立地继续进行他们的阅读探险，阅读技巧也将变得日益娴熟。几年后，我第一次听说了保罗•弗莱雷，一个巴西的教育家及改革者，在被军队驱逐出境之前，他一直致力于在一些非常穷困的村庄教目不识丁的成年农民读书和写字。或许有人会说，他的方法是那种激进的政治家式的，就仿佛是西尔维亚•爱什顿—沃纳在她的《老处女》以及《教师们》等书中描写过的那种方式的成人版。具体说来，他是这么做的：他从和这些农民谈论他们生活中的境况与问题开始入手(这便是军队不喜欢他的原因) ，然后教给他们读和写那些在谈话中出现得最频繁的字词。他时常发现，只需要30小时，就可以教会这些赤贫而愚昧的农民基本的阅读技能，使他们能够日后独自进行自己的阅读之旅。30小时，学校一周的课时。这就是任务量。第一章 阅读与写字游戏中发现字母通过一个孩子，我再次认识到孩子们探索周遭世界的方式有多么不同、多么精妙，又是多么的令人出乎意料，特别是当他们身处字母与数字的世界中时。这一回，我的老师是5岁的克里斯，一个快活的、精力充沛的小家伙，他跟着妈妈玛丽几乎每天都来我的办公室，他在我这里自在得像在自己家里似的。他爸爸开一辆很大的拖车，就是那种用来拖别的卡车的大车，难怪克里斯心爱的玩具里有很多都是小汽车和卡车，还有一些是拖车。他给这些车设计了某种特定的轨道，沿途有直路，也有弯道，他还用零散的积木搭成了高速路、高架桥、交叉路口等。他最爱玩的、能玩上几小时的游戏之一，就是让他的汽车卡车们沿着这种道路开出各种复杂路线，同时想出不同的情节，比如时不时地会让它们遭遇警车。在过去的几个月里他会利用这些车辆，偶尔加上一两块积木，形成某种形状，看上去像是字母。有时他会示意给我看这些形状，告诉我或问我这是个什么字母。不过他并不经常这么干，他更感兴趣的是卡车及道路本身。今天，他正趴在地板上玩着卡车，当我走过时，他给我看他的一块积木，那看上去是个字母J，另一块是个T，还有一块，加上点想像力则是I。他有好几块J，于是就用它们和别的积木组成“单词”，并问我它们是什么意思。我努力地识别它们并念出来，碰上有元音时便容易一些，没有的话就要费点劲，这种时候我便发出些嘶嘶的或是噼噼啪啪的怪音。过了一小会儿，再次从他身边经过时，我指出一段像是个大大的U的道路，于是他再次开始组“单词”，并问我它们的意思。不少都是他想像出来的发不出音的“单词”。随后我把J放在大大的U的一边，又把T放在U的另一边，告诉他说这样一个真正的单词就出现了，JUT(突起)。他瞥了一眼，没有表现出什么兴趣。又过了一会儿，他发现了一块S形的积木，用它组了一阵子没有真正意义的“单词”后，我看到字母J、T、I、S与大U凑到了一起，我组成了JITSU和JUJITSU(柔道)，他认出了这个单词，但没有要我再组出其他有实在意义的单词，我便也没有再做。他继续玩了一会儿这个游戏，然后停下来，转向他发明出来的其他千奇百怪的玩法去了，玩得津津有味。不久之后，他妈妈和我的同事史蒂夫开始把很多包装好的书籍放上一辆手推车，准备送到邮局去，克里斯赶紧跑去帮忙。不管什么时候只要有挪动大型物体的活儿时，他总是想当个帮手。像很多小孩一样，他热衷于跟自己举不起来也抱不动的东西较劲，那让他觉得自己力气大、能干、有用，更像个大人。经常是冷不丁地，克里斯又会玩起字母游戏来。除了知道了字母的名字和形状，他究竟从中学到了什么？字母有固定的形状，但并不是所有具有形状的都是字母；有些字母可以拼起来组合成单词，但并不是所有的组合都能变成能够发音的、有实际意义的单词；形状和物体有其本来的用途，又可能还有其他的非常不同的用途。所有这些都是那么有趣和让人兴奋，所有这些知识都来自于他自己随意弄出来的形状和数字。他真正地学会了，永远都忘不了。它们像他的胳膊和腿一样成为了他的一部分。他并不是为了讨好我，尽管他时不时地向我显示能认识这些东西也让他自己很开心。我怀着强烈而又克制的好奇心，在这个忙碌的办公室，在这个他能自由自在地探索和发现的地方，期待着他的下一次表演。第一章 阅读与写字自己探索单词《一起读吧》是伦纳德•布卢姆菲尔德和克拉伦斯•巴恩哈特合著的一本书，可以帮助很多孩子“自学”阅读。其实这不是作者的本意——他们本来是要父母用这本书教自己的孩子的。我认为这样的做法并无必要，甚至在很多时候有害处。学习阅读是很容易的，不用教，不用考试，只需在他们需要的时候提供帮助，大多数孩子都能自己做得更快、更好、更愉快。但这本书和其他同类书一样，对孩子自学能有帮助。在60页没用的指导之后，这本书有价值的部分就出现了。在这页的上端是所有以－an结尾的单音节英语单词，比如，can、Dan、fan、man、Nan、pan、ran、tan、an、ban、van。接着是一些短句，其中用到了这些单词。再下来是以－at结尾的单词，像bat、cat、fat、hat、mat、Nat、pat、sat、at、tat、vat，连带的短句中包含了以－an和－at结尾的词。下一页是－ad结尾的词，接下来依次为－ap、 －ag、－am、－ab、－al,然后是－ig、－in、－id,等等。我们当然能自己找出这些词，但把它们用大号字码在纸上印出来，使用的时候更方便。每一页上的短句都用到了那一页上新出现的词，以及所有前面出现过的词。这些词语和短句组成的故事说不上多么有趣，但是，正如作者所述，这个阶段的孩子只要能搞明白这些词在讲什么就已经兴奋莫名了。随后，等到会使用的词语多起来，故事便开始变得好看了。当孩子们学到第100页(甚至在此之前)，他们便对这个阅读游戏的规则了然于胸了，可以开始去探究真正的书、杂志、标识、麦片盒子等诸如此类的东西了。《一起读吧》这样的书是最利于孩子浏览的。当我的外甥女大约4岁的时候，我给了我姐姐这本书，想着她或许能用它教女儿。但是，我的外甥女，还有后来她的小弟弟都受不了被教——他们硬是拒绝配合。后来，我姐姐把这本书放在了小女孩看得到的地方，并鼓励她把这本书当做是自己的。随后，一些书页上有了小小的污痕，我猜那些是她的小手印。她想必是花了好几个月工夫端详着这些页面，思索着，直到后来她弄明白了这本书，并继而去端详别的书去了。她这样自学阅读的时候我不在场，她的大部分工作都是独自进行的，常常是关了门，几乎不向别人问什么问题，没人知道她到底在做什么。我猜想很多的小孩子都愿意浏览这样的书。它体积很大，像是大人看的正式的书，而不是那种“幼儿”图书。书里只有四页线描插图，其余全是文字。多数文字被印得大大的，小孩子很容易看清楚，还有很多的字虽小，但孩子仍然能够辨认出来。如果我有年纪小的孩子，我会愿意给他们这样的书，让他们自己决定是否读、怎么读。如果孩子要我大声朗读，我会的，或许还会边念边沿着那些字移动我的手指。但又一想，我怀疑这会不会被孩子们认为是我在教他们，并因此要我停下来。如果孩子们问这个字那个字怎么念，我会回答。除此以外，我会放手让他们自己与书籍为伴。第一章 阅读与写字接触大量铅字我们的专家们在教育阅读方面提出过许多愚蠢的主张，但最蠢的莫过于让孩子读大量内容空洞、充满插图的书，并问他们一大堆白痴级的问题。他们管这个叫做让孩子们“准备阅读”。同样的现象发生在孩子学习说话的过程中。我们还是孩子时，所取得的最伟大的智力成就便是在大人觉得他们可以“教”我们说话之前，我们就已经学会了。孩子们通过听周围人的谈话来学习说话，而绝大多数成年人并不是为了要给孩子做示范才说话的，他们之间互相交谈是因为他们有话要说。婴儿用直觉获得的关于讲话的第一印象是，这是件“正经事”。大人们通过说话来让事情发生。他们说了，事情便真的发生了。幼儿思考着、感觉着，断定说话是个相当严肃的行为，很值得一试。小的时候, 我也像很多孩子一样是自己教会自己阅读的。没有人教我，而且就我记忆所及,也没有谁经常帮助我,或是大声地给我念书。长大了一点以后,一个老奶奶来念书给我和我姐姐听，不过那时我们已经是熟练的读者了。她给我们念杜利特尔博士的书。她会坐在沙发上，我们一边一个地挨着她，那真是很温馨、快乐的场景，而且她念故事的时候是那么郑重其事，没有一丁点儿的装腔作势，没有丝毫的嗲声嗲气。还有一个让我愿意读书的原因是，我小时候(很久很久以前)的儿童书籍几乎没什么插图。即使有少数的几幅也是气派庄严，很多都是安德鲁•韦思的父亲——N•C•韦思画的。海盗、骑士、苏格兰高地的酋长——都是很棒的图画。但是因为每本书里的插图都不够多，你无法从画面上猜出故事里在讲什么，因此要想弄明白这些画面里的情节，就必须去阅读。于是我很快便学会了。要使孩子们进入阅读的预备状态，就要让他们接触大量的“铅字”。不是图画，而是文字。他们需要让自己的目光沉浸在这些铅字里，就像是再幼小一点的时候，他们让自己的耳朵沉浸在大人的交谈之中一样。一些时候之后，当他们看了越来越多的字，这些看上去奇怪的形状、弯曲的线条逐渐地变得顺眼、清晰，看上去面熟了。这时的孩子还不认识这些字母与单词，但端详了一页关于印第安人的文字后，开始发觉这个字母出现在“这里”，那组字母出现在“那里”还有“那里”。我小时候就是这样。学会“认出”字母与单词之后，然后开始思忖这些东西的意思。没有前面的过程，这些是不会发生的。就好比我要学习一门外语，在我的耳朵变得敏锐到足以从别人的谈话中分辨出某个特定的词之前，光是告诉我它的意思是于事无补的。从这些可以得出一个具体的建议。我建议所有希望孩子能更容易地“找到”阅读诀窍的人们，你们应当把大字号版的《纽约时报》作为让孩子们进入“预备阅读”阶段的读物之一。它的字体够大，孩子们易于辨认；它是成人世界的一部分，因此看上去更有吸引力；它是严肃的；它包含真正的信息；它可以挂在墙上，但又不是什么贵重的东西，不用担心被撕破或涂抹。另外我还要建议，不管是在校内还是校外，不仅仅是在预备阅读的阶段，而且还要在其后的一段时间，应当在小孩子们的视野范围之内放置所有来自于成人世界的带文字的东西，诸如时刻表、地图、票据存根、信件副本、政治海报、账单、各种各样的办公表格、各种设备的使用说明、合同副本、保修单，以及在银行之类的地方找得到的所有那些随手丢掉的小纸片——一句话，就是许许多多来自于神秘而又有趣的成人世界的东西。哦，最重要的，就是旧电话簿，尤其是电话簿的分类广告手册。说到社会研究，翻看一下黄页便知道社会中的人们都在做什么以及将要做什么，这比任何一本教科书都来得更有效。第一章 阅读与写字发明轮子格伦达•白塞克斯所著的《工作中的人们》(Gnys at wrk1)是一本读起来让人很愉快并能受到启迪的书。它详细记录了作者的儿子保罗的有趣故事。保罗像西摩•帕佩特在《意识风暴》中提到的那样，即自己独立学习。保罗给自己创建了书面英语的范文，当然起初是很粗糙幼稚的，但他持续不断地修改，直到它们最终符合了社会通行的书面英语的规范。《工作中的人们》同时也是一本极好的范例，它显示了富有同情心并对孩子充满信任的老师对于学生的帮助，这种帮助并不在于替孩子决定学什么，而是鼓励和帮助他们去继续他们正在进行的学习。《意识风暴》给那些试图应对学校制度的父母以及那些试图改变学校制度的老师和其他人提供了强有力的武器。保罗•白塞克斯从5岁开始写字，第一个字条是写给他妈妈的控诉信。当时他妈妈正忙着和朋友们聊天，没注意到孩子想跟她说话。保罗试了几次，都不能把妈妈的注意力转移过来，便走开了，很快带着一张字条回来，上面写着：RUDF。幸运的是，他有个聪明的妈妈，她破解了密码，知道保罗的意思是：“Are you deaf ？” (你聋了吗？)领会到这件事情的重要性，妈妈迅速给予了孩子所需要的关注。当这个孩子开始学习书面英语时，妈妈从始至终地观察着他的学习方式。在书的序言里，白塞克斯夫人写到：当我从儿子的婴儿期开始记录他的成长情况时，并没意识到我是在搜集“研究数据”。我只不过是个有记录癖好的母亲……当保罗开始学拼写时，我对这一过程惊奇不已，而且被深深地吸引住了。直到后来我听说了查尔斯•里德关于儿童自己发明拼写方法的研究，并为他的工作成果所激励时，我这才想到我的记录也可以成为“研究数据”……我希望这个研究结果有助于鼓励我们去关注处于学习行动中的每一个个体的特殊性，这种结果不会笼统地适用于所有孩子。而且我的确把学习称为“行动”，就像戏剧与运动一样…………如果我不是一个母亲，一个像这样的具体而漫长的个案研究可能是无法操作的。在序言里，白塞克斯夫人描述了保罗是怎样对待她的研究的：起初，保罗没有察觉，也不知道我的录音机和笔记本的作用。当他开始明白一点儿的时候，大约是6岁的样子，他很得意于我对他的兴趣和关注。7岁时，他已经开始观察他自己的进步了。当我把保罗早期写的东西在桌子上摊开时，他喜欢和我一起观看并试图读出来……保罗观察到我把他问的一个关于拼写的问题记录了下来，我问他觉得我这样记录怎么样。“等我长大了我还能看到我小时候问过的问题呢。”他这样说。8岁起，他的自我意识已经发展到要抗拒这种明显的观察与记录，于是我便停止了……他仍然把他的书写作业拿来给我看，和我一起分享它们的重大意义。9岁的时候，他开始参与研究，琢磨起来自己为什么曾经写出那样的东西，或是会那样去阅读一本书……这项研究成为了我们之间的一个特殊纽带，一种让我们分享彼此的工作成果的乐趣，一个可以让我们共同去欣赏保罗的幼年生活及其成长过程的机会。 我逐渐学会欣赏儿子身上的某些特质，如果不是借着这个研究，我或许没有机会发现。在我和比尔•赫尔一起教五年级的日子里，我开始细心留意孩子们在课堂上的言谈举止，并用他们不容易看清楚的很细小的字体记录下来。他们知道我在写关于他们的事情，起初曾带点怀疑地问道：“你在写什么？”但慢慢地，他们开始懂得我并没有把他们当成怪异的实验室动物，而是喜爱和尊重他们，并在努力地通过他们的眼睛来观察学校这个小世界，于是，他们对我的记录感觉自在些了，如果能知道我究竟想要从他们的学习中了解什么，可能就更好了。换句话说，我本应把他们变为我的研究的自觉参与者。很多孩子，究竟有多少我也不清楚，似乎是从写字开始学习阅读的。《工作中的人们》绝非我读过的第一部关于孩子们用自己发明的拼写法来写字的著作。多年以前，我看过卡罗尔•乔姆斯基写的同样主题的文章，她在这个领域作了很多有意思的研究。她的文章中有一处至今令我记忆犹新。她说，不少孩子拼写以字母tr开始的单词时,如tree、train,等等，都会把t写成ch或h。一开始这让我困惑不解，但如今我学着去发现让孩子们犯“错误”的原因。我试探着念tree, train等词，仔细听自己的发音，结果惊奇地发现，那听上去的确非常像是chree和chrain。值得注意的是，不管是格伦达•白塞克斯还是其他许多用自创拼写法写字的孩子的父母，他们都没有教孩子“发音学”或教他们学写字，甚至并没有格外鼓励他们写字，可能顶多是自己写字的时候，孩子在旁边看着。孩子们只是曾被告知字母的名字，之后这些孩子便自己弄明白什么样的辅音发什么声音。像保罗•白塞克斯一样，孩子们起初把元音都漏掉了，这种自创的拼写方式非常像日后许多成年人花钱费力学习的“速记法”。正如白塞克斯夫人在一个又一个例子中所清楚表明的，保罗并没有“学写字”，即学并运用那些被学校称为拼写技巧的东西。从一开始，他写字是因为他有事情要对自己或是别人表达。和他的父母一样，写字(以及阅读和谈话)对保罗来说，具有个人的和文化层面的意义。我们人类是要让自己的行为富有意义的动物。而语言，无论是口头的还是书面的，都是创造和分享意义的重要手段。在白塞克斯夫人对保罗所做的研究中，她问了他许多学习上的问题，做了许多类似测试那样的考查。但这些考查的目的，不同于大多数学校考试的目的是发现他“不知道”，也不是证明他没学会他本应该掌握的东西。白塞克斯夫人知道保罗正在学习。她想知道的是，保罗是怎么学的。保罗也知道她的目的。她对保罗的学习方式非常感兴趣，就像是一个科学家(她的确是)对另一个科学家(保罗也的确是)所进行的研究感兴趣那样。这里一个很重要的意义是，他们是平等的。她或许懂得更多的英语，但他比她更了解他自己懂得多少英语，也更清楚他将怎么继续学习更多的英语，他的这些知识对于他妈妈来说，比起他妈妈的知识之于他，起码具有同等的重要性。在给自己设置学习任务的时候，保罗能把任务的难度保持在具有挑战性的水平上。他并不满足于重复自己的成绩，而是自发地进入下一个更难的阶段……像许多孩子主动会做的那样，他为自己设定了一个在难度上循序渐进的计划。所有的孩子在长大到进入学校之前都会这样做。非常常见的情形是，孩子们会把学校的功课要求视为威胁，因为一旦无法完成学校的课业要求，孩子们就很有可能产生深深的羞耻感，甚至有被体罚的危险。这种威胁感让孩子们从天生的挑战自我的习惯中脱离出来，甚至在学校以外也变得一蹶不振。“自创拼写的孩子们之所以能这么做，是因为他们觉得自己能搞明白许多东西。这可能也是很多孩子在接受正规教育之前就自己学会了阅读的原因”。这就是我不接受那些“教孩子这个”和“教孩子那个”的书的原因。它们很有可能会摧毁孩子们自主学习的信心，并让他们相信他们只有通过别人才能够学习。正如肯尼斯•古德曼、查尔斯•里德和皮亚杰所持的观点，孩子们的错误并非偶然，而是他们所具有的知识体系的体现。如果老师能够把这些错误看做是自己传授知识的方法或是方式上的失误，而不是孩子应该被谴责并根除的过错，学生们倒有可能会认为这是一个更有建设性的观点。以上是西摩•帕佩特在《意识风暴》中的观点。孩子们在操作电脑时，如果机器出了“错误”，也就是说，电脑没有按指令给出想要的结果，那些从学校回来的孩子就会说：“全搞错了。”而且他们会从头开始再来一遍。帕佩特会教给孩子，并不是“全”错了，只不过是一个特定的步骤出了问题。在电脑术语中，是程序中出现了“臭虫”，他们的任务只是要“挑出臭虫”，找到出错的那一步并纠正它。我在教那个五年级班的时候，很多学生填表格常常会把她们的性别填成“grils”(烤肉)。我总是被这个错误逗得笑起来，觉得这不过是她们粗心造成的。直到多年以后，我才明白孩子们管她们自己叫“烤肉”，是理性思考的结果，是绝对按照老师教的方法做的。老师要她们按照单词的发音边念边拼写。她们学到了字母gr在一起时发“gurr”的音，于是她们写下了gr。接下来要对付的是发“ul”，她们学到应该把l放在结尾,又知道词里有个i, 于是当然就只能拼成gril。无数的大人都毫不犹豫地指出gril是错的,我也没有例外。但这没有用，下一次她们想要写girl(女孩)的时候，还是会继续按照老师教的发音规律拼成gril。如果我那时懂这个道理，就应该说：“你们的大方向是对的，只是在这种情况下，英语用字母g－i－r来发出“gurr”的发音。”学生们便会说：“哦，知道了。”而且从此不会再错。第一章 阅读与写字最伟大的知识技能是“猜”孩子们在津津有味地阅读的时候很少会停下来问单词的意思。他们想一鼓作气地读故事。如果这个单词很重要，他们往往能猜出来它是什么意思。“他从quiver里抽出箭。”很简单，这个quiver(箭囊)是一种存放箭的东西。他们能联系上下文，猜出更复杂些的单词。人们从书本的故事中而不是字典里学到优秀的阅读技巧并掌握大量的词汇。我小时候的阅读能力相对于我的年龄是超前的，但我从来不查字典，我甚至都没有字典。我这一辈子查过的单词相信不超过50个。大多数熟练的阅读者也是如此。人们大多不知道字典是怎么编纂出来的。每一本新字典都是从零开始。编字典的出版公司聘请成百上千个编辑，发给每个人一个词条单。编辑的工作是搜集尽可能多的包含这个词的例句。他们在小说、杂志、报纸等里面搜索这个词，每找到一个，就把这个例句剪贴或抄写下来，做成一个剪报夹。然后从这些剪报夹的例句中来决定在什么样的“语境”中，这个词是什么意思。之后据此给出单词的定义。一本字典，换句话说，就是人们使用这些词汇时所赋予它们的各种意思的集合体。如果我碰到一个生词，无法根据其上下文猜出它的意思，并不是说我什么也没有学到。我会像字典编辑那样，得到了这个词的一个例句。下次再遇到这个词，我就又有了一个例句，如此持续。当我第10或第20次碰到这个词的时候，几乎就可以非常确切地知道它的意思了。对于学习阅读的孩子(还有成年人)来说，最重要的并不是他们必须理解读到的所有内容。没人能如此。事实上，我们理解一篇东西很大程度上是依据已有的经验。重要的是孩子们要能享受到阅读的乐趣，从而想继续读下去。更重要的一点是，他们应当越来越善于根据上下文的“语境”猜出单词的意思，这是成为一个阅读高手的最高技巧。告诉孩子单词的意思，或让他们查字典，这种做法的缺陷在于让孩子们失去了自己去猜的机会。通过推理而弄清楚自己不知道或不确定的东西是一项最伟大的知识技能。第一章 阅读与写字发音没有那么复杂几年前，我的一个叫罗伯特•凯的心理学家朋友，告诉了我一种非常有意思的教阅读的方法，叫做“合唱阅读”。它基本上就像过去的《和米治一起唱》那样的电视节目。老师在黑板上写出要读的内容，字母写得大大的，所有孩子都能看见。然后老师用教鞭指着单词下边，孩子们便念出这个单词。认得这个单词的孩子会大声念出来，那些不大有把握的孩子会轻声念，那些完全不知道怎么念的会跟着会念的孩子念。没有谁被叫起来或是被奚落，所有的孩子都会卖力地念，所有的孩子都在进步。也是在多年前，我的父母还住在墨西哥的巴亚尔塔港，那时这个地方还没有变得像现在这样富裕和时髦。他们间或会去拜访住所附近的一间小小的学校。老师用教唱歌的方式来教学生认识单词、学习发音和阅读。学校很贫困，不过现在它大概比当初富了五倍，有了最新的阅读教材，也有了超过当初五倍的学习发音和阅读上的问题。老师把歌词写在黑板上——可能是一首每个孩子都会唱的歌，也可能是一首她刚刚教过的新歌，当她指向那些单词，孩子们就唱出来，他们就是通过这样的方式学习阅读的。不少父母都告诉过我类似的故事：他们给小孩子大声地读某一个他们心爱的故事，读了一遍又一遍。某天他们发现孩子在随着他们一起读，或者干脆自己就会读了。这个孩子边看着单词边听父母读，就这么学会了读。虽然用这种方法学习的孩子不一定能说出其所以然，但他们的确学到了大量的发音规律。没人教他们读，他们自己也并没有刻意去学。他们听着故事的时候并没有想着是在学习读，而只是因为这个故事有趣，他们喜欢舒舒服服地坐在大人的腿上听他们大声地读给自己听。在许多一年级、二年级和三年级的教室里，我会在墙上看到这样的标语，据说它们现在还挂在那儿，上面写道：“两个元音手拉手，第一个元音念出口。”(When two vowels go out walking,the first one does the talking,这是学校模仿幼儿的典型口吻。)这句标语的意思当然是说，当有一对一对的元音出现在单词里时，比如bAIt、bEAt、bOAt, 等等，按两个元音里前面的那个发音。这么说也可以，但更好的办法其实是举足够多的例子。但问题是，在这个被学校大张旗鼓隆重推出的俏皮口号里，含两个元音的单词(out)恰恰违反了刚提到的这条规则。有些孩子或许没觉得什么，大概是他们早就知道了这个发音规律，或者更有可能的是他们根本没有去思考在学校里听到的东西。而那些会去思考所见所闻的孩子(也往往是更聪明的孩子)，倒很有可能被墙上的这个愚蠢句子给彻底弄糊涂了。所谓的发音教学带来的另一个困惑是对长、短元音的讲述。那些单词中的元音字母所发的音，如果和这个元音字母自身发音相同就被学校叫做长元音，如bAke、bEEt、rOse中的元音。相反，他们管bAck、bEt、bIt这样的词里含的元音字母所发的音叫做短元音。现在的麻烦是，bAke中的元音发得并不比bAck中元音发得长。我们可以随意地把哪个词中的元音发得或长或短，这全看我们的心情。把这些元音称为“长元音”，那些叫做“短元音”，其实没有道理——就像你管这种颜色叫做“蓝”，那种叫做“绿”，对某些孩子来说(比如当初的我)都无所谓，反正只要鹦鹉学舌地跟老师重复读听到耳朵里的一切就行，不管它是什么意义，或者究竟有没有意义。但对另外一种孩子，包括很多真正聪明的孩子来说，这一切都是一本糊涂账，简直让人望而生畏。退一步说，把这些bAck、bEt、bIt中的元音称做短元音也无妨，只要我们解释清楚，它们的发音并没有真正的“长”“短”之分，之所以这么叫不过是因为我们必须得起个名字，而且人们都这么用了很久了，所以我们也不妨这么叫。毕竟狗之叫做“狗”，并没有特别的道理可讲，就是一直这么叫而已。但要是把本来没有道理的东西对孩子讲得“煞有介事”，还一副特别有道理的模样，就很愚蠢了，而且肯定会给一些孩子造成巨大的不必要的混乱。上面讲了两个小小的、或许算不上具有重大毁灭性的关于废话的例子，接下来我要讲到更严重的问题。这些问题并不来自于也永远不会来自于那些自己教孩子的父母。它们来自于那些致力于把本来是轻松、自然的日常行为变成“科学”乃至玄学的人们。现在让我们从宏观的角度来看一下关于“读”的教学，具体地说，就是大多数人称之为“发音学”的东西。据报道，芝加哥的一家教育机构的阅读专家列了一个单子，上面列举了500种之多的发音和阅读技巧(后来被删减成了273种)，这些技巧都是小孩子应当在小学里学会的。这个单子上都提到了些什么，我想像不出来，也不想知道。一句话，这都是些无稽之谈。事实上，要想学会音读文字的发音和阅读，如英语(或法语、德语、意大利语等，与之相反的是中文)，一个人只需要掌握两个基本要素：(1)所写即所念；(2)从左念到右，字随音节走。没有必要教孩子“说出”这两条规律，不是只有这样孩子们才能明白和掌握它们。也不要给孩子灌输和解释这些规律，这样效果并不好。教孩子的正确方法是，我的意思是，如果你一定坚持要“教”的话，就举一些简单而清楚的例子。除此之外，孩子们还需要学会约45个组成口头英语的音节组合，以及380个左右的构成书面英语的字母组合。这不是个难度很大的工作。但是像对待其他事情一样，学校把它搞得难上加难。他们犯的第一个错是教孩子每一个独立字母的发音。对辅音而言，这种教法就会导致教给孩子的东西并不正确。比如辅音中，只有六七个按自身的字母发音，像s(或niCe中的c)、z(或riSe中的s)、m、n、v、f、j(或George中的g)，再加上sh。而像l、r、w, 以及y，情况就复杂些，聪明的办法是让孩子们在音节与词汇中接触到这些发音。至于剩下的，如b、d、k、p、t等。我们没法说这些字母在单词中发它们本来的音。B不念“buh”, d也不念“duh”。Big不念“buh－ig”，rub也不念“ruhbuh”。这些字母基本并不念出声，除非它们与元音结合，出现在单词或某个音节里。所以，按单个字母的方式去教给孩子，是有误导性的，同时也是荒谬和错误的。教孩子念单独的元音字母同样也是愚蠢和错误的。因为每个元音字母在不同的单词中的发音，取决于与其组合的辅音字母是什么。因此我们无法决定字母a到底发什么音，要等到看清楚它是和哪个辅音字母连在一起，联系其前后的音节，这样才可以得出a(或其他任一元音) 的发音。因此我们需要做的是，告诉孩子两个发音学的基本点：所写即所念，字随音节走。第一条，我们可以很容易地通过大声朗读书里的字词等来解释清楚。第二条，可以通过边写边念单词的方式，这些单词要含有上面提到的六七个能单独发音的辅音，这样在写每个字母时，我们可以及时地念出了它们的发音。比如我们来写Sam, 写s时发s的音, 写a发a的音, 写m发m的音。同理去写man、fan、van、mis、us、if。把这两点过分强调既没必要也不明智。这不是一下两下就可以学会和消化的内容。这样的做法也不符合孩子们学习的特点。他们需要和一个观点或主意相处上一阵子，一点一点地把它们转化成自己的思想，然后才能发现其奥秘，并在一种很诚实的情况下说出“我懂了”，这样才能真正拥有这个思想，使它成为自己的一部分。除非是遵循这个过程，否则这些东西会永远停留在表面，孩子们除了会鹦鹉学舌以外，永远无法真正应用学到的知识。当孩子们慢慢地拥有了这些关于发音的知识以后，我们可以引导他们认识更多的单词，发出更多的音，以及掌握更多的单词与发音之间的关系。像《一起读吧》这本我在前面提过的书，它列举了所有的由不同的元音字母和辅音字母组合而成的单音节词，如bat、fat、cat、rat，等等。有了这样的书，父母们就不用再花大量时间自己去列出同样的单词表了。这种表不必完备无缺，只要长到足够让孩子们发现看上去很像的词发音可能也会很相近，就可以了。在任何情况下，孩子们都很难对那种纯粹的教材发生兴趣。他们想正儿八经地读(和写)真正的词汇，接触那些存在于活生生的生活情景中的词汇及其意义。不必在此谈论如何能够让他们这样做，此刻正读着这本书的人们肯定各自有各自的办法。如果我们自己读和写，我们的孩子们也会想这么做；如果我们不想，他们也不会想。学校常犯的另一个错误是让孩子们记住哪些是元音，哪些是辅音。学校经常采用的是提供元音和辅音的定义这种手段。这些定义几乎总是前后不一致和自相矛盾的，比如“元音即能按着这个自己本身的名字发出来的音”。如我前面所述，这条定义同样适用于一些辅音。我曾经想了又想，从来不曾想出来一条关于元音和辅音的又清楚、又容易区分，而且不存在例外情况的定义。在任何情况下，这是一种很坏的教孩子的方法。当孩子们(或许包括所有人)能够从对特殊现象的认识和总结过渡到普遍规律时，学习的效果最好。另外，没有什么道理非要孩子们学习所谓的“元音”、“辅音”。知不知道这些名称对孩子们的学习阅读没有一丁点儿的影响。我在其他的书里写到过我曾和孩子们玩的一个游戏。他们要我写一个单词，我写下了。再要我写的时候，我就用一种颜色的笔写辅音字母，另一种颜色的笔写元音字母。虽然我能想像出有些孩子会怀疑我在偷偷地试图进行教学，并有可能拒绝我继续下去。这个游戏的一个更高明的变种可以是这样的。我们可以在每一张卡片上，或是一小片纸上写一个字母，元音字母用一种颜色，辅音字母用另一种颜色。然后就可以对孩子说，“把任意的两个、三个或四个(或更多) 卡片放在一起，我再告诉你们它们是什么意思。” 如果孩子给了一组bsrx, 我们可以尽最大努力把它们发出声音。孩子们可能过一会儿就会注意到，只有某些特定的字母组合所发出来的声音听上去像是他经常听到的单词，这些组合中两种颜色都有，而且最常出现的形式是“代表辅音字母的颜色＋代表元音字母的颜色＋代表辅音字母的颜色”。如果他问：“你管这个颜色的字母叫什么？管那种颜色的又叫什么？” (尽管我不知道是不是真的有小孩会这么问) ，我就说：“我们把这种颜色的叫做‘元音字母’ ，那种叫做‘辅音字母’ 。” (如果他问为什么，我会说我不知道。)所有这些小伎俩或者游戏其实都不必要，也不能真正帮孩子们读得更快更好。但对于那些无论如何觉得自己非要干点什么的人来说，我想上面提到的这些做法可能会有些意思(对大人和孩子来说都是这样) ，而且只要它们做起来有意思，它们就可能有些用处。第一章 阅读与写字如何拒绝学习阅读列昂是我几年前在一东部城市认识的一个17岁左右的黑人少年，在某学校的暑期班上学。他是那种绝对的差等生，所有功课都差。经过了考试、评分，他被宣布处于差不多算是文盲的水平。在我出席过的一个会议上，学生们被邀请来对暑期班老师讲讲他们的学习心得和感想。学生中有黑人，也有白人，他们都来自穷人家庭。那天晚上列昂到了很晚也没有发言。最后他说话了，虽然没有说太多，但他所说的我永远都不会忘记。他站起来，手里拿着一本平装书，是马丁•路德•金的《只争朝夕》(Why We Cant Wait)，他在这个暑期班期间差不多读完了。他手里拿着这本书，从一个一个大人面前走过，为了强调其重要性，他不时地晃动着手中的书，声音因为气愤而颤抖，他用尽全身的力气高声喊道：“为什么从来没有人告诉过我这本书？为什么从来没有人告诉过我这本书？” 其实他是想说，在他整个的学校生涯里，从来没有人要他阅读一本书，或者曾向他展示、提及任何一本书，一本他也有可能想去读的书。值得注意的是，这本《只争朝夕》中充满了复杂的长句和艰涩的词汇。在列昂的班上和其他高中班里不大容易找出几个能轻松读下来的学生。但列昂，这个正规阅读考试成绩显示他只有小学二年级水平的列昂，一路自己挣扎着、努力着，用大约一个月的时间读了这本书。他的故事有两重意义：首先，年轻人想要、需要，而且喜欢读他们看来有意义的书；其次，当这样的书被放到他们容易取到的地方时，他们不用谁教，即使用，也不过是一点点有限的帮助，或迟或早便会弄明白怎么读。在布鲁诺•贝特尔海姆和卡伦•齐兰合著的《边学边读》这本书中，他们很清晰透彻地论述了前述的第一重意义，但没有提及第二重。他们论证了教学方法的改进，但漏过了更重要的一点，即给予学生不想要的教育，很有可能会阻碍他的学习欲望。这里我或许有误会他们的地方。贝特尔海姆是个机灵而实际的人，可能出于这个原因，他知道学校就是那些对传统做法哪怕有一点点更改都不情不愿的地方，尤其是当这点更改有可能需要学校放弃一种幻想，即他们能够创造和掌控所有学生的所有学习方式的时候。因此贝特尔海姆和他的伙伴调整了战术，即几乎全盘接受了学校的指导思想、组织形式和教学实践，只把自己的注意力锁定于两个事实：一是优质的基础读物在学校中的匮乏，另外一个是教师在学生高声朗读时犯下错误后的习惯性反应所带来的消极影响。的确，优质的基础读物在学校中严重匮乏。大多数孩子被强迫去学、去读的书简直都是令人难以置信的枯燥、愚蠢、肤浅、片面和虚假。下面的几个数字可以给你一个大致印象：1920年左右出版的第一批初级读物包含645个不同的单词。到了30年代……大约460个单词。在40和50年代，大约350个。在1960～1963年陆续出版的7种基础读物系列中，初级词汇从113个上升到173个。在1920年平均每个故事所使用的词汇为333个，到了1962年缩减为230个……作者质疑出版社为何持续减少书中的词汇量时提到：一个可能的解释是，当读物变得枯燥乏味时，孩子们就会读得越发的差。但这个现象却没有引导出显而易见的结论，即当教材对孩子和老师来说越没有意思，孩子们就会越发丧失学习阅读的兴趣。相反，人们却因此得出了这么一个结论：教材难度太大，要想让孩子们阅读，就要让他们少学些单词！于是后来的初级教材的词汇持续减少，词汇重复率上升，结果比前一版本更没意思……当这一循环往复持续到今天，情形每况愈下。这种初级读物的坏处确实值得抨击。真希望贝特尔海姆和齐兰的这本书能把这一论点说得更加透彻，这样它才值得一读。不过，如果他们的书能够成功地改变上面提到的这种出版读物的恶性循环，把它们变得更有挑战性、多样化、有趣而且真实，那么这本书才真正值得一写。《边学边读》一书用了很大篇幅来论述孩子的错误所蕴含的意义。作者主张不应认为这些错误只是疏忽和粗心大意的结果，教师也不应一边批评或责罚孩子，一边飞快地纠正它们。贝特尔海姆和齐兰辩论道，这些错误对孩子们来说，几乎总是具有重要的意义。他们认为老师应该理解这一点，还应该让孩子们知道老师理解这一点。另外，老师应该随时随地找出错误的根源，并向孩子揭示出来，这一过程近似于一次小型的心理分析。身为经验丰富的心理分析家，贝特尔海姆和齐兰在搜索和发现那些被隐藏的意义方面技艺高超、身手不凡。他们从来没有错过吗？从他们所讲述的例子中看，他们对孩子犯错误的理解的确帮助孩子们纠正了错误，消除了焦虑，更好地理解了课文，进而使孩子们在阅读上取得进步。但是，贝特尔海姆和齐兰要求“所有”教阅读的老师照着他们的示范，遵循他们的做法。对这一拯救阅读教学的行动方案，我却不能苟同。对于阅读上的错误，花费如此大的精力的确会有效果，但有些舍本逐末，而且在操作过程中难度很大，最后甚至会无法进行。这些错误本身如果不是被学校制造出来，它们压根都不会存在。几乎没有老师在对待孩子们的错误时，能做到耐心、尊重、体贴，就像贝特尔海姆和齐兰建议的那样。他们没有时间，没经过训练，也没这个兴趣，更不具备这种操作所要求的对于孩子的真正同情与尊重。说实话，我害怕出现这种情形，即万一有哪个学校真的严肃地采纳了这个建议，其结果会弊大于利。如今的学校，已经充斥了太多对孩子进行的冒牌心理分析和假心理诊断。不管怎样，这本书所建议解决的问题是完全不必要的。只要老师们能不再要求孩子们在班上大声朗读，他们就不必发愁去如何回应孩子们的错误。而且更重要的是，如果可以被允许自己独自随心所欲地阅读，孩子们很快会发现并改正自己所犯的绝大多数错误。第一章 阅读与写字写字是讲话的延伸我看过《芝麻街》1十多次，但从教育、学习、指导的角度来衡量，我觉得它的大部分内容都称得上是拙劣的、有误导性的，而且简直就是错误的，是学校所能犯的最典型最糟糕的错误。这真是太可惜了。举例来说，《芝麻街》过分强调教字母表和计数，从1数到10，最近则发展到20。教阅读的要点是清楚地向学生表明书写是讲话的延伸。每个写下来的字都有一个发音来支持它。阅读就是来发现这些声音在说什么的一种方式。《芝麻街》和学校一样，往往把这个真相隐藏起来，这甚至更让人觉得遗憾，因为电视本来能够借助其特殊手段，把这一真相比教室中的老师更清晰生动地表达出来。比如，孩子们听到一个声音的同时，看到这个字出现了，好像这个字自己在说话；卡通形象和玩具木偶可以在头顶上冒出气球状的圈圈，里面是他们说的字，就像孩子们平常看的连环漫画中那样的手段；甚至当电视上的人在说话时，电视屏幕可以分隔出两个画面，一边是说话的人，另一边是他们正在说的话，就像播音员用的提词机器的功能。此处是一个化神奇为腐朽的例子。大鸟站在墙边，它把OVEL这几个字母挂在了墙上。一个大人走过来，大鸟开始狂热地炫耀它挂出来的词，它想说这是LOVE(爱)。大人告诉它说墙上这个不是LOVE，还说大鸟的OVEL“什么也拼不出来”。这个论断错得无以伦比，非常误导人，甚至具有破坏性。OVEL当然可以拼出来，只是偶然地没有真正的意思，但这是另外一回事。当然我们接受了《迪克和珍》1的说法，即如果你不知道这个字的意思，就无法读。但接下来的事更糟了。大人开始说话，用的是那种老师的居高临下的声调，总有种“你怎么这么笨啊”的潜台词。他说：“但是大鸟，你不该把L放在最后面，你应该把它放在前面。”他把这句话说了好几遍，好像重复本身就足以说清楚“前面”表示“在左边”，“后面”就是“在右边”，好像他想做的就是无数次地重复这句话，以求能够说清楚。事实上，这事本身根本没法说得清楚、自然且合理。孩子们总是在学校里听大人说这些事情是多么简单、多么明了、多么自然、多么合乎逻辑，而事实恰恰相反，它们是那么的反复无常、自相矛盾、奇怪，甚至荒谬，它们公然挑战了一个孩子的常识，在这种时候，学校就变成了一个莫名其妙、没有意义，让人困惑而且让人害怕的地方。怎么做才能把这般腐朽化为神奇呢？这里是一个可能的情景。大人大声地念出OVEL，“Ohvell, ohvell,”他说道，“大鸟，这是什么意思呢？”大鸟说这是LOVE(爱)。大人坚持它念“Ohvell”，其他人过来了，大鸟一个一个地问他们。他们都读“Ohvell”。借这一段我们可以表达一个重要事实，即书写下来的单词对每个人都一样，念出来的都是同样的发音。总之，问过了好几个人后，有大人也有孩子，大家都告诉大鸟这个字念“Ohvell”，大鸟伤心地说它想让它念“LOVE”。然后有一个人，最好是个孩子，告诉它说：“如果你想让它念‘LOVE’，只要把L放在这里。”不要劳神说什么“前面”、“后面”，只要挪动字母就行。接下来孩子可以慢慢地念LOVE这个字，边念边沿着一个一个的字母挪动他的手指。大鸟就会说：“哦，我懂了，字母应该这么放啊。”要知道大鸟的错误总是可以犯得比孩子们更离谱一些，所以甚至可以让他把EVOL而不是OVEL挂在墙上。此处重要的是——而且在所有的阅读学习中都是——清楚发音的顺序和书写顺序之间的联系，它们是相同的。之所以这么多的孩子都没有发现这个规则，是因为我们在绝大多数情况下的阅读教学中竭力掩盖了这一点，就像《芝麻街》中只会大做文章地教“这个单词开头的字母是什么”。有一天，一个节目中教字母“x”，又一个机会被错过了。一个动画卡通形象在想哪些词是以x结尾的。先是一只狐狸走过，卡通的声音在说“fox”，但是字母FOX并没有出现在屏幕上。然后box、ox、ax出现了，配以适当的、漂亮的图像，但就是没有字母出现。其实我们应当借此机会引出卡莱伯•加特诺的“变音”之说，即当改变字母位置时，单词的发音也随之而变。优秀的读者在碰到不认识的单词时，不需一个一个字母地拼读也能念出这个词的发音。因此，从FOX开始,我们可以将f拿掉，把b放上，变成BOX，再把b拿掉，只剩下OX，再把它变成AX，然后变成TAX。然后或许将o换上，变成TOX。这时，卡通人表情变得困惑，他说：“Tox? Tox? 我觉得没有tox这个词，这是个没意义的词。有些词你能发音，能写下来，但不表示什么意思。” 也许再来几个没意义的词。也许还在字典上查找一番，看究竟有没有意思。接着或许再回到FOX，然后把它变成FIX。和“大写字母”相对的，是“小写字母”。节目里面按照学校的办法谈论起了“小”字母。这又是无稽之谈。字母的大小写是形状上的区别，和它们的尺寸毫无关系。事实上，应该说明白这个道理，即一个字母，不管是大写还是小写，它们的尺寸大小是随我们的意思而定的。我们可以通过让孩子们看针头大小的字体、黑板上的大个儿字体，以及空中文字等，来说明这个道理。一个大写的A出现了。一个声音说它看上去像是个倒着的V加上一横。到此为止还没出什么错。但是为什么不趁此表现一下A的千变万化又不离其宗的书写形式？把它写长、写扁、写胖、写瘦、向左或向右歪倒，等等。为什么不借助电视画面，给孩子们看实际生活中A的各种不同的形状？为什么要灌输错误而荒谬的观点给孩子说A只有一种写法？为什么不向孩子们展示A的所有不同形状？我们可以告诉孩子们，所有的书写都是从说话开始的。在短短的时间里，我们就可以向他们生动地展示从发出声音的字到书写在标志或海报上的字的转换，许许多多的人都可以看见这一转换过程。可以给孩子们介绍一系列的书写方式，铅笔、钢笔、自动铅笔、打字机、油印机、印刷体、电子手段，以及空中文字等。我们可以介绍给孩子们种种小窍门，以使他们自己教会自己书写。还有其他的方式能清楚地向孩子们表明，书写是一种他们已经具备的能力——说话的能力的延伸，他们完全可以自己学会。我们应该时常提醒孩子们，他们已经学会了怎么像周围的大人一样去理解和谈话的本领，因此书写和阅读会是件容易的事情。书写是一种神奇的或者可以说是一种凝固了的说话，写字的人可以持续地向每一个能够看到的人通过文字讲述他想讲的一切。它是声音的延伸，而且由于孩子们感觉着他们自身的幼小，渴望着成为更有影响力的大人，通过书写，他们可以让自己的声音传递到更加遥远的地方，这个主意本身就会让孩子们兴奋无比。第一章 阅读与写字学习拼写的最佳方法学习拼写的最佳方式是大量阅读、大量书写。这会让你的眼睛充分接触字词的形状，让你的手指体会书写字词的感觉。擅长拼写的人并不会经常翻看字典、背诵拼写规则。当不能确定这个字怎么拼时，他们会尝试好几种拼写，然后挑出那个看上去最顺眼的。结果几乎总是正确。拼写糟糕的人——我教过很多这样的人——从规则和练习中并没有获益很多。在我的教师生涯中，对待拼写差的学生的最有效的帮助，就是几乎什么也不做，只要告诉他们别担心，同时要他们开始进行大量的阅读与书写。在拼写方面已经落后的人们通常会通过打字而自行改进拼写技能。学习打字会让他们更仔细地注视单词，而且，当他们集中精力去击中正确的键时，可以这么说，他们就能将字词的正确拼写的触觉融入指尖。通常，将正确的习惯纳入我们的神经肌肉系统会比驱除错误的积习要来得容易。不过很多人可能会不同意这个观点，而且还坚持认为，人们可以通过某些形式的实践、练习、测试来改进自己或自己的孩子的拼写技巧。对这些人，下面我将讲一种拼写的自我测试，它能让学生记录下认识和不认识的字词，并专门练习那些不认识的字词。在卡片的一面，我们可以写下这个单词。然后在另一面写下单词的含义作为提示。但这会偏离测试的本意。我建议在卡片的这一面写单词，另一面可以是关于这个词的画面，或者是一两句包含这个词的句子，不过要把词空出来。还是举一个简单的例子吧，让孩子在卡片的一面写下HORSE(可以把大写小写都分别写上)，在另一面画一匹马，或者贴上从杂志上剪下的图片。还可以写一句关于马的话，像“I want to ride a”(我想骑)，或“Myeats hay”(我的吃干草)，或“A colt is a young”(马驹是小)，等等。重要的是让学生自己画图或是造句子，这样，更容易记住。然后等到自我测试的时候，学生可以把卡片写着单词的一面朝下，图画那面朝上，抽出其中一张，看着图并念出句子，想出那个单词是什么，在另一张纸上拼写出来，再把卡片翻转过来看是否拼对了。拼对的卡片放在一起，错的另外放在一起。这样可能会有助于让他们在测试后回过来重温拼错过的单词。让他们自己决定要练习多少个字词。对于自己的拼写感到焦虑的学生可以每次练习的时间短一些。每当拼错的卡片达到五张时，比较明智的做法是在开始下一个拼写之前让学生们重新拼这些错了的字词。很多词没办法画出图来。比如很多人都会拼错的“necessary”(需要，必不可少)这个词。这时在卡片的背面，就可以写“That's ney;I really need it.”这样就足以让你知道这是哪个词，又没有泄露出来难拼的部分。还有像“separate”(分开)，你可以写：“Don't put them together,keep them se.”(别把它们放在一起，把它们 。)在此，关键是让学生们自己掌控测试并检查进度。比如最好是让他们自己画图，让他们自己定义或解释这个词的意思。他们自己做的，自然便会记住。不管这个自我测试如何管用，我恳求、劝告甚至乞求你们不要向刚刚开始读写的孩子们进行这个测试。我前面说过，如果他们自得其乐地做了足够多的阅读与书写，头脑中建立足够多的词语形象，他们的拼写自然会改进。我只会对那些拼写技巧已经变得相当糟糕的学生使用这个方法。另外一个问题：从哪里找用来做卡片的字词？只有一个地方，从孩子们拼错的词中来找。没有什么比让他们练习根本用不着的词更浪费时间的了。这个方法同样适用于成年人。第一章 阅读与写字快捷轻松地书写我小时候学的书写形式是草书体，我发现它很容易学而且很有意思，于是我就很快形成了一种细小的、比较整洁的字体，直到今天，只要我写字时稍加留意，我的这种字体都没有什么改变。我教五年级的时候，看到很多学生很慢地写那种别扭的、弯弯曲曲变化不定的所谓的草书体字。我开始奇怪为什么学校会坚持教草书体字。我当时还相信学校对其所倡导的每件事都必有道理，所以断定这回一定是草书体字比手写印刷体要快得多的缘故。我自己的手写草书体，因为常用，就形成了那种很细小、写起来很快的字体，所以我便很容易地这么相信。私下里我觉得可能没有什么人能写得比我快呢。一天在一个五年级的班上，我教给学生们“The quick brown fox jumps over the lazy dog”(敏捷的棕色狐狸跃过那只懒狗)这个句子，这是句著名的练习打字的句子，其中含有所有的26个字母(我后来知道，这样的句子还有很多)。我让他们试试看在半分钟里能把这句话写几遍，我用一只秒表记录。每测完一次，学生们数写下来的单词数目，看看有多大进步。我们在课上做了不少这样的练习，学生们不是彼此竞赛而是和自己竞赛，努力地去突破自己的记录。学生们非常喜欢这种游戏，因为每个人都会进步，每个人都会是赢家。他们沉浸在这个“棕色狐狸”的游戏中，我也一样，坐在自己的书桌前，用我的细小字体做着赛跑。当我在教室间穿行并检视学生们的进展的时候，孩子们会热切地把他们的纸举过来，几乎碰到我的脸，迫不及待地向我展示他们的进步。我看过以后吃了一惊，他们中有三个写得明显比我快，即使他们用的是手写印刷体，其中一个写得潦草，但另两个相当整齐。我想：“这不可能，肯定什么地方出错了，我可能数错了，这些10岁的孩子们写着胖胖的手写印刷体，不可能比我的无比流利的小草书体字快。” 我建议我们再写几遍那句话。他们高兴地答应了。回到我的书桌前，我下笔如飞。这次我们就知道了！哈！结果还是一样——我是班里写得第四快的。(我当时坦白这一点了吗？我不记得了。)那么为什么学校要教并要求学生们写草书体字呢？我猜这纯粹是习惯。就像老歌里唱的：“做，做，去做事；事，事，老事情。”后来我了解到，学校提倡的草书体字，当时叫做“帕尔默体”，是从一种精心铭刻于铜器上的装饰性字体发展而来的，写起来十分缓慢费力，完全谈不上速度。真不知是谁、在什么时候决定孩子们应该学会这种铜器上刻的字体。至于其他的，就是所谓的历史原因了。又有一天，我决定自己在办公室测试一下这两种字体的书写速度，看到底是我的草书体字快，还是改良意大利体1快。出乎意料的是，尽管我一辈子都在写草书体字，直到测试那天，我写过的草书体字要大大多于手写印刷体，但是，我的手写印刷体仍然比草体字写得快。区别虽然不大，但很稳定。无论我如何练习我的草书体字，我也无法把它写得和手写印刷体一样快。于是，在我57岁的时候，我决定抛弃草书体字(签名除外)，我的所有钢笔与铅笔的书写都将转向改良印刷体。因为这种字体写起来又快又清楚，为什么不呢？总体上说，为什么手写印刷体会比草书体字容易辨认？或者稍微换句话说，为什么不连在一起的字母比连在一起的好读？这是因为，在手写印刷体中，没有字母连接时的笔画(一本意大利语书把这叫“缝合线”)与字母本身的混淆。而这正是绝大多数笔画难认的字体的一个通病，因为你很难把纸上的这个符号当做是“缝合线”还是字母。所以，我们现在有了两个具体和有说服力的理由——手写印刷体更好认，而且明显地写起来更快——去抵制学校让孩子们学草书体字的要求，如果我们想要抵制的话。当然了，如果孩子们想学草书体字，出于喜欢它们的原因，或者他们看到大人这么写，他们可以去学，但是没有理由去强迫他们这样做。写字母只需要一些基本的形状和笔画，而且所有这些笔画都是用手快捷而轻松地写下来的。总体而言，我看不出有什么必要去要求孩子浪费时间练习这些形状。如果把写字看做和说话一样，是为了说想说的话，说给想让他听到的人听，如果有适当的手写体供他们观摩，那么他们便会像提高说话技巧一样地改进书法。一个可能的例外是，已经养成了难看的、别扭的、不好认的草书体字书写习惯的孩子需要多做一些书法练习，主要目的是让手部放松，去体会书写手写印刷体的流畅感觉。但是如果孩子不愿意，我不会强迫他。毕竟他想做的不过是真正的书写，只要能够让别人阅读就可以了。第一章 阅读与写字开启图书世界之门此刻，当我写着这段的时候，海伦(10个月大)正坐在我办公室门前的过道上，手里拿着一本平装书——《臭氧世界》。她和这本书玩得很起劲。对她来说，这差不多是个闪闪发亮的正方体，厚度刚好够她用手抓住挥来挥去，只不过那个亮亮的封面容易让书从她手里滑脱，掉在地板上，发出“砰”的一声。她时不时地会只拎着封面把书提起来，但大多数时候她并没有发现，一本书是由许多单独的薄薄的纸页组成，可以翻，可以撕破、揉皱、端详，等等。就在昨天，她姐姐安娜(3岁)拿着一本A•J•温特沃思的作品，坐在一个大扶手椅上。她正在给坐在身边的妈妈玛丽念这本书。安娜正在讲述的听起来非常像是在朗读，她的声音里带着“朗读腔”。但所讲的内容，不是A•J•温特沃思的书，而全部是关于她想像中的朋友们的历险记。瞟见我从过道一头看着她，安娜停下来说“我在给妈妈念这本书，我在念书上的字”。我说：“是啊，我都听见了。” 听了一阵子，我便回去继续工作。后来玛丽告诉我，安娜经常会在她的故事中的一句话讲到一半的时候停下来，翻过一页，然后再继续，就像是真的在朗读一本书那样。注视着、倾听着安娜，今天又看到了她的小妹妹和书玩耍的情形，我明白了，向孩子开启通往图书世界的大门有两种截然不同的方式。一种是从认每一个字母的发音开始，然后是短小的单词，然后是由短小的单词组成的词组，然后是由这些词组所组成的句子，然后是薄薄的小书，再然后是更多的书，每一个进程都比上一个难一点，直到孩子们最终学到所有该学的阅读技巧，可以去读所有想读的书了。 这种方式的麻烦在于，直到最后一步，孩子们大多并不在乎生活里有没有书。获得进入图书世界的通行令就意味着要克服一系列的困难，穿越长长的障碍之旅，而且每一个障碍都比前一个要大。或者又像是穿越一道又一道的紧锁的门，只有说出正确的口令，才会让你走到下一个仍然是紧锁着的门。而另一种向孩子们开启图书世界之门的方式，就是像给安娜的那种。当她第一次用手抓住一本书，心里想着“这书是我的”的时候，这个世界便向她打开了大门，她成了这个神奇国度的公民。不是从字母认读等细微末节开始，她一上来就抓住了最大的、最重要的一个关键点，就是书可以像属于别人一样也属于她自己。接下来她又获得了下一个稍微小一些但依然是意义重大的信息：书中藏着故事，它们用文字写成，故事里有一些字词，所以只要弄清楚这些字的意思，就能够揭开故事的秘密，就能够拥有这些故事，而且可以和别人分享。你的在传统方法教育下的孩子，或许比安娜还大上几岁，可能除了知道字词的意思以外，对书一无所知。安娜却知道除此以外的关于书籍的一切，包括所有重要的东西。第二章 在家里学数学接触数字人们发明数学，部分原因和发明音乐类似，即数学是那么的迷人，另一部分原因是为了实用。我的外甥女在四五岁的时候，她的哥哥姐姐教她数数，他们按照《芝麻街》的方式让她背诵数字的名称和顺序。我听见她说：“1、2、3、4、5、7、6、8。”这时便会听见一两个大孩子不乐意地叫起来：“不对！不对！7是在6的‘后边’！”我当时注意到了这个情景,之后不断地在思索着这一幕。这种学数字的方式会让孩子们对数字形成一种非常奇怪的观念。他们会把数字看成是一群小动物，第一个叫“1”，第二个叫“2”，第三个叫“3”，如此类推。然后，这些小动物会跳起一些莫名其妙的傻乎乎的舞蹈，大人会对这说些像“2加2等于4”之类的话。很可能所有被灌输了这种数字概念的孩子很快都会陷入困境，而这也的的确确发生在了我的外甥女身上。许多年以后，我对几个一直在算术上有问题的成年人谈起我的这个发现，他们都笑了起来，并且说这的确就是他们一直以来对数字的感觉，而且也是他们一直搞不好算术的原因。出于这个原因，我认为至关重要的是，不要让孩子们在没有具体实物的情况下抽象地学习数字。毫无疑问，每个一年级老师都希望孩子们能学会说“1、2、3”，但这个能力和对数字的理解毫无关系。换种方式说，当小孩子第一次接触数字时，应该把它们当成形容词而不是名词来看待。不要一上来就是抽象的“3”或“7”，而是说“2个硬币”、“3根火柴”、“4把勺子”或其他什么的。将来还有的是时间，在更久一点的将来，孩子们会通过直觉获得名词的“5”就是一组5个物体的共性。我还要说的是，让孩子接触按顺序排列的数字，这既无必要也不明智。所以，我们可以在这一次给孩子们展示2样东西，下次则视情形而定，可能是5样其他的东西，或者8样，等等。世界上的数字以随机的形式存在，孩子们也应该预备好随时随地遭遇数字。另一种对孩子有帮助的做法是，让孩子们有机会以某种排列形式来认较小的数字，例如全部是10以下的数字。比方说，让孩子们接触3个物体，可以让它们排成一排，也可以让它们排成三角形。4个物体的话，可以排列成正方形，也可以是三个一排，剩下的一个放在这一排上面。5个物体可以排成规则的五角形；或者是4个排成正方形，加上1个放在顶上，就像孩子画的房子；或者可以是4个排成正方形，1个放在正方形的中心。6个物体，则可以3个一列排成2列；或者3个排成三角形，另外3个排成一排放在三角形下面。可以把这些排列方式写在卡片的一面，另一面标上它所代表的数字。我绝对不赞成强迫或鼓励让孩子记忆这些卡片。如果卡片很方便易得，让孩子们用它们做各种游戏，或许他们会很快地掌握这些数字间的关系。我认为重要的是不要让孩子们通过计数的办法去辨认小的数字。在这个过程中，一套多米诺骨牌或许是个很有用的玩具，幼小的孩子们即使只懂得码出那些数字图案，他们也会玩得兴致盎然。记分的技巧则留待日后再说。我认为同样值得注意的问题是，当大人教孩子数字的时候，如果不移动被数物体的位置，而只是数着“1、2、3”，孩子看着大人指着这些物体，而它们看上去完全一样，不同的只是被赋予的数字，他们便容易认为这些“1、2、3”就是这些物体的名称。事实上，这种误会可以轻易避免。当我们数完了一个数就把这个物体挪到一边，嘴里说：“现在我们有了1个这个东西。”然后再挪动下一个，说：“现在有了2个。”接下来是“现在有了3个、4个、5个”，这样继续下去。这么一来，数字便不是物体的特定名称，而只是被挪到一边的那一组物体的数量多少。在此过程中，我们可以引进序数的概念：即一条射线上能显示出不同位置的数字，而非一组物体的多少。所以，把一组小物体排成一排，我们可以依次触摸它们，说：“这是第一个，这是第二个，这个是第三个，然后是第四个、第五个、第六个。” 不要上来就讲述“序数”和“基数”的概念。只要我们朴素地使用反映这些概念的语言，孩子们会在相当短的时间内掌握它们之间的不同。我们在数这些小物体的时候，没必要总是一个一个地数，而是可以一次把两个物体挪到另一边，边挪边说：“现在我们有了2个，现在是4个，现在是6个。”或者也可以3个一组、4个一组地挪动物体，逐渐向孩子展示做这件事有很多方式，我们可以随意挑最顺手的一种来做。当然也有些孩子自己就能掌握序数和基数的概念，尽管我们大人使用的是让人糊涂的教育方式，甚至尽管我们自己还没搞清楚。但更多的孩子做不到这一点。我想如果能够用上面的方法，很多孩子会更容易搞明白这些定义。第二章 在家里学数学加法和减法一年级的孩子往往被要求写下并背诵诸如“2＋3=5”之类的东西，这被称为算式或“加法算式”。这样的算式有一个长长的单子需要孩子背了又背。课本和老师都会以各种办法来解释说明，比如先是2只小鸡，然后又来了3只小鸡，或是其他孩子们可能会喜欢的小东西。下一个算式是“3＋2=5”。孩子们往往被另外教给这个算式，而不是把它和“2＋3=5”联系起来。一些孩子会奇怪为什么两个不同的算式会得出相同的结果。过了老半天，某个孩子会问这个问题。有的老师会说：“它们就是相同，没什么道理。”不那么传统的老师会说：“加法项是可以互换的。” 这就由一个小问题引出来了一个神秘的大谜团。甚至一个懂得“可互换”概念的孩子还是会问：“我知道它是可以互换的，我想知道为什么可以互换。”但往往孩子们不会这么反应，他们只是一屁股坐回座位，心里想着：“又学了个莫名其妙的东西。”很快孩子们会学到两个新算式，或叫两个“减法算式”。一个是“5－2=3”，另一个是“5－3=2”。又一次是被分开教的，而不是彼此或是和前面已经学过的联系起来。又一次，老师和课本都会给出各种解释来讲减法的意思。在我曾教过的一个所谓的好学校里，这几乎引发了内战。一组老师想说明“5－3=2”的意思，或者它能表示什么时说：“要想得到5，我们要给3加上个什么数？”这是收款员在商店收款找零时的算法，他们已知你购买的物品的金额(3)，然后加上应该找零的数字以凑成和你交出的钱的面值(5)相等的数。这是很有道理的算法。但另一组老师，包括低年级组的数学教导主任，抨击这种算法是“加法式的减法”，而且要求低年级老师不能或不应当允许孩子们如此去做减法。他说他们必须用“除去”的办法思考。同时，孩子们在竭力记忆着所有这些互不相关的、没意义的算式，他们想依此来平息他们自身以及他们老师的焦躁，这就如同是在学一支不知所云的外语歌。这么过了大概一年，孩子们成了鹦鹉学舌地背算式的好手，但绝大多数终其一生也并没有真正弄懂它们——他们已经加入了“不懂数学”的人的庞大队伍。而所有这些都是不应当发生的。“2＋3=5”、“3＋2=5”、“5－2=3”，以及“5－3=2”，并不是四个没有关联的算式，而是以四种不同的方式去看待同一个事实。另外，算式并不是算术公式，不是那些需要死记硬背的无意义的音节。它是自然事实，孩子们可以自己发现并反复地向自己证明，想做多少次都可以。这个事实就是：＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊如果你面前有一组物体，比如硬币或是石子，看上去像是左边的一组，你可以把它分成像右边那样的一组。或者(这就是双向箭头的功能)，如果你有两组看上去像右边那样的物体，你也可以把它们摆成左边的样子。这不是算术公式，而是自然的事实。并非只有当人们发明了算术它才成为公理。它和人类没有关系。它是通行宇宙的真理。人不需要通过学习算术才能发现或验证它。一个玩积木的婴儿或玩木棍的小狗也能做这样的操作，尽管婴儿和小狗或许谁都没注意到自己干了什么，对他们来说，＊＊＊ ＊＊ 和＊＊＊＊＊的区别就是没有区别。算术起源于人们开始注意并思考着包括这个在内的自然存在的数字事实。在人类历史早期，人们发明了一些特殊的名称，用来研究与数目有关的事件的性质。比如，5只小猫，5只鞋，5个苹果，这几组事件的共性是每组具有相同的数量，因此，每一只小猫会有一只鞋和一个苹果，没有剩余。数字5的性质是它可以被分解成2和3。5的另一个性质是它还能被分解成4和1。5还有一个性质是，它只能有这样两种分解方法。如果是7，我们可以把7分解成6和1、5和2，以及4和3。换成10，可以得到9和1、8和2、7和3、6和4、以及5和5。每一个数字可以用不同的方式分解成两个两个的小数值，数字越大，可以分解的方式越多。(这个分解的方式有简单的规律可循，孩子们，包括大人，都会乐于自己去发现出来。)一旦我们弄明白＊＊＊＊＊ = ＊＊＊＊＊ 是自然事实，就会懂得所谓“3＋2=5”、“2＋3=5”、“5－2=3”，以及“5－3=2”，不管是用符号还是文字表现(比如“加”、“加上”，或者“减去”)，它们都不过是原始事实的四种方式而已。这样有什么好处呢？好处在于不必去死记许许多多的“公式”了，只要记住有四种方式，这很合乎道理。一旦孩子们学会了把＊＊＊＊＊ =＊＊＊＊＊ 转换成“3＋2=5”或其他形式，他们就会同样地去看待其他数字，找出它们可以分解成为两个一组的形式，并把它们全部写下来。所以，孩子可以用＊＊＊＊＊＊＊＊，试着找出把它分解成＊＊＊＊＊＊ 和＊＊的方式，写下来“6＋2=8”、“2＋6=8”、“8－2=6”，以及“8－6=2”，然后再做7和1、5和3、4和4。简言之，所有现在孩子们被灌输和强记的算式，其实都可以由他们自己去发现并记录下来。而后一种做法的好处是，发现比起记忆，我们的思维会更主动，更不用说发现的过程更有意思了。另一个好处是，原本看上去是那么费解、充满偶然的巧合而又自相矛盾的算术(以及作为它的延伸体的数学)，现在变得相当的合理了。当我向老师们讲述这种方法时，一个老师说他们学校就是这么教的。他的意思是在他们用的课本里，比如讲到“3＋4=7”，会配有4只小鸡、3只小鸡、7只小鸡(或是其他什么东西)的插图。这完全错解了我的本意，我在此重申，＊＊＊＊＊ =＊＊＊＊＊ 不是算式“2＋3=5”的图解形式。＊＊＊＊＊ =＊＊＊＊＊ 才是事实，而“2＋3=5”只是用数字和符号来表现的一种形式。第二章 在家里学数学自制加法器当孩子们第一次学习加减法的时候，不需要计算器等奢侈的东西来加快速度。我们可以教给或是展示给他们怎么去制作一个简单的加法器和减法器。只用两把尺子，甚至是画上尺格的两张纸就可以了。假设我们现在有两把尺子，或是画上尺格的两张纸：1 2 3 4 5这里我们演示一下“4＋3”。拿一把尺子的左边抵着另一把尺子的4，就像这样：1 2 31 2 3 4 5 6 7然后看到上面尺子的3对着下面的7，我们便会看到“4＋3=7”。即使不是所有的孩子都能一上来就发现这一点，但通过尺子还是很清楚就能看到用4个格子加上3个格子，就会有7个格子那么长。如果尺子足够长的话，我们可以用这个办法来做所有的两两相加。孩子们用这个便宜的加法器很快就能发现用机械记忆的办法根本发现不了的东西。比方说如上图所示，当上面尺子的左端抵着下面尺子上的4时，便会得出：4＋1=54＋2=64＋3=74＋4=8，等等。换句话说，每次和4相加的数字增加1，结果便会增加1。这在我们会的人看来是非常简单的，但对于许多上学的孩子，即使是已经“会加法算式”的孩子来说可没那么容易。不少这样的孩子或许熟知“6＋6=12”，但再算“6＋7”却很费劲。我亲眼看见很多孩子都会算错。当孩子们首次发现，加法项每增加1，结果就会增加1，他们会非常兴奋，而且这种兴奋程度并不因为很多人已经知道这个事实而稍减。随后孩子或许发现当加法项每增加2，结果便会增加2，他就更加兴奋。同理，再去发现增加3、4时的情形，不一而足。在代数中，可以把上述发现记录如下：x ＋ (y ＋ a) = (x ＋ y) ＋ a但我不会给小孩子讲这个，除非他已经熟知x和y可以代表任意数。顺便说一下，关于这一点，六岁的孩子会比大部分九年级学生，也就是上了八年数学课的学生理解得快。如果我们用码尺、米尺，或其他能写下40～50个单位的卡片做教具，孩子们会发现更多事情，比如像这样的序列：4＋3=714＋3=1724＋3=2734＋3=37，等等。我再一次发现很多学校里的孩子把“4＋3”、“14＋3”、“24＋3”，以及“34＋3”当成完全不同的东西。他们知道“4＋3=7”，然后会说“24＋3=29”，或其他更荒诞的说法。造成这种结果的原因是，老师把算术教成了一堆互不相关的需要记忆的算式。孩子们无法凭记忆，尤其是当对自己的记忆没有把握的时候，弄懂数字间的逻辑或顺序。第二章 在家里学数学把抽象概念形象化我经常听到这样一种说法，数字是抽象的，所以只能用抽象的方法教。这么说的人既不懂数字，也不懂抽象概念或抽象性。当然数字是抽象的，但和任何其他的抽象概念一样，它们是某些事物的抽象概念。人类发明数字是为了帮助自己记忆和记录现实世界的某些性质，比如动物的数目、每年泛滥一次的土地的疆界、对天上星星的观察、月亮、潮汐，等等。这些数字的性质并不是来源于人类的想像，而是来自于它们自身业已存在的事实。一张美国地图是抽象的，但它的形状并不是地图绘制者画出来的，而是它原本的样子。当然，地图绘制者可以也必须做一些选择，就像数字的发明者当初发明数字时一样。他们可以决定在地图上表现什么，是地形、气候、气温、降雨量、道路、航线，还是国家历史上的发展情况。决定好了这些，他们还可以决定颜色，比如说，路易斯安那用蓝色，或红色，或黄色——哪种颜色顺眼就用哪种。一旦决定了地图要表现的内容，以及表现方式(色块、线条，或是阴影)，剩下的就是凭事实本身来决定地图的样子了。同理也适用于数字。彻底地把数字以及研究它们的科学同数字所代表的事实割裂开来，这或许有用——就像把研究制图的科学和把一个特定的地方画在地图上割裂开来有用一样。但如果这么教小孩子，就是不合情理、难以理解而且荒诞不经的。让孩子们熟悉地图、图例等抽象概念的惟一方式就是将思维从已知的事实转移到地图或图例上。其实我们都是这么做的。我从道理上知道等高线地图是怎么绘制出来的，但我做的就不如我姐夫那么熟练，他的一份工作是设计和布置滑雪场地。他可以看着等高线地图，立刻在脑海里就浮现出那块地方的地貌和形状。他能而我却不能的原因就是他走过了十几座山，仔细研究了所走过的地方的等高线地图。不管用什么样的解释，都无法让我们把一个不熟悉的抽象体系转换成它所代表的事实。我们必须先从另一个方向着手。第二章 在家里学数学乘法前面讲过，老师在教孩子们加法和减法的时候，会给他们一个其中的算式都互不关联的单子要他们记忆，同样，大多数孩子们上了三年级，就会遇到类似的几个“乘法算式”。比如像“2×3=6”，另一个是“3×2=6”。如果孩子们问起这一巧合，会被告之(就像教加法时一样)“乘法项是可互换的”，这当然没有解释什么，而只是把孩子们已经知道的事实用更华而不实、让人糊涂的方式告诉给了孩子们。几乎可以肯定，老师会再给孩子一个单子，上面是“100个乘法算式”，于是孩子就要去记忆并会反复经常地被测验。再以后，可能在五年级的时候，他们会遇到分数，被告知“×6=3”以及“×6=2”。再然后，他们可能会被教到2和3是6的因子。所以，在从一、二年级直到差不多七年级之间(这由他们的老师被要求用哪种算术课本而定)，孩子们会有机会收集到下列这些带6的不相关的算式(伴随着整套的说明和小鸡与切块馅饼的插图)：2×3=63×2=66÷2=36÷3=2×6=3×6=26×=36×=22是6的3是6的一半2和3是6的因子但是，和我讲“加法算式”时说过的一样，这些不是分离的“乘法算式”或“除法算式”或其他什么东西。它们是同一个事实，一个不是算术公式，而是自然存在的事实。数字6的自然属性，孩子们可以自己找出来并随意反复证明。事实就是当你有如下这么多物体时：＊＊＊＊＊＊你可以把它们这样放置：＊＊＊＊＊＊所有上面那些写下来的“算式”是书写与研究这同一个事实的不同方式。所以任何一个发现了这个关于6的特性与事实的人，都可以如法炮制地对待其他数字，再用同样方法写下来。人们(不管老少)在这么做的时候，会发现有些数字(2、3、5、7，等等)无法写出与第一行相同的第二行。他们或许会有兴趣知道这些数字被称为“质数”，其他的数字叫做“合数”。任一正整数(除了1)的性质是它要么是质数，要么是合数。还有的人或许乐于自己找出200以内的质数，或用电脑列出某个很大的数值以内的所有质数。但是没有人能用一个公式找出所有的质数。我并不是说，所有孩子都应该知道、父母也都必须教给孩子我上面提到的关于6的性质。我曾经问过，假如阅读是违法的，是否还有孩子愿意学习并改进阅读技巧。这个问话同样适用于初级算术。有许许多多的人一点也不懂算术，依然过着有趣、有尊严、心满意足的生活。而从另一方面说，这里所提到的数字在我看来很有意思，在许多情况下也很有用处。在一堆大同小异的事情之中，我更愿意多了解一些数学。无论如何，如果我们要向孩子们展示或教他们加、减、乘、除、分数、因子，等等的话，如果能多少照上面提到的方法去做，效果会很好，因为这样一来，那些看似分散独立的算术现象会从一开始就在孩子的头脑中建立起关联。第二章 在家里学数学和乘法表交朋友尽管很多快乐而成功的成年人并不会背诵乘法表，但能把它背下来对以后还是很方便实用的。只要我们的学习方法正确，背下乘法表其实很容易，孩子们也会很乐于发现乘法表中的规律。重要的是去“认识”它们，而非“学习”。最好的办法不是坐在那里死记硬背(一次背上一条，如同学习什么古怪的外语)，而是要去熟悉它们，观察它们是如何运作的，并使用它们。过上一阵子我们就会发现，即使没有专门去学习，我们已经掌握了乘法表。甚至都不知道是经过了什么样的过程，我们已经和乘法表成为了朋友。下面是一种和乘法表交朋友的办法，它可以使得学习的过程更容易、更有趣，而且记忆得更深刻。当你记得不是那么清楚的时候，它可以提供后援，而且，它能教给你数字是如何运作的，并向你展示这个规律中所蕴含的美与和谐。我们从一个10×10的格子开始。格子图中，每排有10个正方形，每列也有10个正方形，每一个正方形有所对应的排和列的数字。把排和列的数字的乘积填到格子里。图表中显示了几个填好的乘积。看第2排第3列，这个正方形里我们将填2×3的乘积，也就是6。在第4排第5列，我们填4×5的乘积，即20。如此进行。如果你对表格觉得不熟悉，我建议你自己把整个表格填满，花多少时间都不要紧。愿意的话可以用计算器。让孩子们开始使用表格的方法是，给他们一个空白的表格让他们从头慢慢填起。给孩子们足够的时间，如果有必要，哪怕是几个星期甚至是几个月都没关系。把这个图表贴在醒目、顺手的地方，比如冰箱的门上，让孩子们把新算出来的乘积填进适当的格子里。不要催他们，这样我们预料之中的事情便可能发生：孩子们会先从第1列第2列或是第1排第2排的格子开始填……然后就是第5排和第5列……然后是第10排和第10列。他们觉得算出这些数字的乘积“很容易”。太好了！当他们开始觉得算出某个乘积很容易时，说明他们已经开始认识它了，而且可能永远都不会忘。假如在填这些方格的时候孩子们填错了，不要纠正他们，随他们去。当孩子们对表格和其规律逐渐熟悉了，他们自己会发现有的数字看上去不对，放在那里不合适，和其他的数字有冲突，这个过程就像孩子们在自学阅读的过程中把字读错时会感觉有点不对劲一样。他们能够感觉到数字在有序而合理地运作，这比学习表格本身重要得多。能这样做的孩子，当他们出错的时候会说：“等等，这没有道理。”然后会找出并纠正那个错误。到了一定时候，孩子会把表格里的空全部填满。如果表格贴在冰箱门上或是别的显眼的地方，把最后一个格子填满的那一瞬间是非常令人兴奋的，可以来个小小的庆祝。当然，如果计算器在手边，孩子又知道怎么用的话，表格会填得快得多。没关系，即使使用计算器，孩子们也会通过填表格这件事本身开始留意到一些规律。这个游戏可以演变成：要是不用计算器我可以填出多少格子？不要问孩子：“你能记得多少？”孩子们大多不“记忆”，也就是说，他们未曾有意识地记忆。如果我们让他们担心自己能记住什么、记不住什么，对孩子来说，我们实际上是在把这些知识变得离他们越发的遥不可及。我并不是要把这些建议变成规定，我只是建议当第一张表格被填满的时候，对也好，错也好，你把这张表取下来，换上一张新的。这次孩子会填得快得多。许多乘积变得比第一次做的时候容易了。如果第一次做错了，其中的一些错误会被孩子留意并纠正过来。即使错误再次出现了，也不用担心，孩子或早或晚会发现并纠正过来的。这里介绍一些填格子游戏的变种。(1)当孩子们能够在5分钟之内填出全部格子时，让他们用表计时，确定出自己所用的时间。下一次，看能否做得再快一点——孩子们都喜欢打破自己的“记录”。(2)在给定时间之内，比如1～2分钟，孩子可以填出多少个乘积。孩子会躲开较难的乘积，用对他们来说已经很容易计算的乘积竞赛，并把大部分时间花在思索那些曾经困难现在开始变容易的乘积上。这次孩子会用几秒钟去算5×6=30。过几天他就会了，这个乘积也变成容易的了。之后他便会转向下一个半难的乘积，再把它变得容易，直到有一天所有的都变容易了。(3)把表格从后向前填，也就是说，从右下角开始向上和向左逐列逐排填。这么做的时候，孩子们会发现以前没有注意到的新的规律，比如做数字9这一列的时候，每往上挪一个格，得数的个位数就增加1，等等。(4)做一个排和列的数字随机排列的表格，看填完需要多少时间。(这会比较难。)即使是上面提到的练习和方法，或许也并不是必须的。让孩子们认识乘法表的最好办法是让他们发现数字间的关系，以及所产生的规律。这样，会乘以2、乘以3的孩子便会算出表上的几乎所有乘积。为什么要浪费时间去记忆你知道自己可以很快算出来的东西呢？不管怎么样，孩子们自己反复算了好几次算出来的某个乘积，下一次再遇到的时候便有可能会想起来。不过，就像我提到过的，许多人发现乘法表学起来其实很简便。几年前我在教数学的时候曾经尝试过不同的方法，想把学这个乘法表的过程变得引人入胜一些。当学习变成让人兴奋和激动的事情时，孩子们能学得更好。以下是我当时写下的笔记。算术练习的缺点在于它们要么让孩子觉得闷，要么让孩子觉得害怕。结果是孩子们要么什么也学不进去，要么学过后也很快就忘了。我曾经教过几个三年级的学生，他们对于数字一向表现得很聪颖，但就是掌握不好乘法表，这让校方急得不行。有一天我突然想到，在记电话号码时我们更多地是通过听觉而不是视觉记忆的，因此传统的口头重复念诵的办法或许能对孩子记忆乘法表有用，只要我把它们念得更琅琅上口一些。而且这个小点子可能会让孩子们顾不上焦虑，而把全部注意力集中在记忆上。过了一阵子，我又找到了一个行之有效的办法。我在黑板上写从6～9的这几个数字的所有乘积，如下所示：6 7 8 9636424854742495663848566472954637281孩子们用这个表格练习了一气，弄明白6这一排和7这一列相交的地方应该填上6和7的乘积。我之所以用从6～9的乘积是因为这部分的乘法表是孩子们认为“最难”因而老也记不住的部分。我已经把乘积填入了，像上表显示的那样。我两只手各执了一只教鞭。我向孩子们解释说，如果我用一只教鞭指着左栏中的7，另一只指着右上方的9，他们就要说“七九六十三”，其他的也如此进行下去。我们开始了。当我挪动教鞭的时候，通过他们回答时语调的迟缓可以感觉到他们在表上搜索着乘积。但逐渐地他们变得自信起来，开始回答得越来越快，也不用费劲地找乘积了，也许他们已经知道上哪儿找了。这时我突然有了一个主意，我把上述游戏做了个小改动以使其更好玩。我把一个乘积擦去。所有的孩子都欢呼起来。我马上问他们这个乘积是什么，之后就频繁地回来复习，这样它便牢牢地印在了孩子们的脑海里。孩子们发现他们居然不看着这个乘积也能回答出，真是惊喜交加。他们到底是怎么记住的，是通过记忆自己念乘积时的声音，还是通过它们在黑板上的样子，我不得而知，也不想问。或许不问最好。如果他们不得不去思索是“怎么”记住的，这可能会让他们的记忆从潜意识中被剥离，记忆活动便随之停止了。慢慢地，我擦掉了越来越多的乘积，先是数字6那一排，然后是其他的。随着空白越来越多，孩子们变得越来越兴奋，因为他们惊奇地发现，他们真的可以不看着答案也能回答得出，他们的确已经记住了。有时候，没有一个孩子能记得起来某个空格里的乘积。这时我什么也不说，只是把乘积填回去。孩子们更兴奋了，大叫着“我就知道是它”。直到表格里只剩下2～3个乘积时，孩子们开始把这个练习变成一个比赛，看谁能在卡壳之前把所有的乘积都擦掉。有时我问到一个谁也不知道的乘积，拿粉笔假装要往黑板上写，但是我的手还没碰到黑板，孩子们中就有人喊出了正确答案，于是所有孩子都赶紧冲我喊着说：“你不能写，你不能写！” 我表示同意，因为这的确公平合理。很快地，所有的格子都空了，孩子们终于赢得了这场胜利。我当时的笔记到此为止，我猜想那大概是因为乘法表已经不再是让大家头疼的问题了。如果有谁觉得这个乘法表游戏效果不错，可以再增加其数字项，比如11和12，甚至更多。第二章 在家里学数学大数字相乘我们做多位数乘法时，比如24×57，或是132×853，可以把大数字分解成简单的小数字。比如8可以分解为3和5，2×8就等于2×3加上2×5。可以写成这样的等式：2×8=(2×3)＋(2×5)不过不少人会搞不懂为什么是这样。或许他们还会看到下列这个算式：3×14=(3×10)＋(3×4)=30＋12=42但他们还是无法相信这个算法适用于所有数字。一些算术课本在回答“为什么上述等式成立”这个问题时，会解释说“乘法可以分配成加法来计算”。对大多数人来说，这个说法并没有让他们明白多少。本来这也不是什么解释，只是把事实换了种方法说出来而已。让我们换种方式想，上面的算式只是自然事实的一种体现，并不需要什么解释，这样或许倒容易理解一些。“为什么会这样？”这种问法还不如直接问为什么7可以分解为3和4。之所以这样是因为本来就是这样。这个事实后面并没有隐藏着什么更深奥的道理。好了，现在回到刚刚说过的乘法算式，我们看到了一个已经成立的，也必将永远成立的事实。可以这样想，如果我们按照食谱构成把一份菜肴分量加倍，就意味着要把食谱中要求的任一成分的分量加倍。如果食谱要求两个鸡蛋，我们把它加倍，就变成四个鸡蛋。如果食谱上是一杯面粉，我们想加倍，就要把它变成两杯面粉。即使是害怕数字和算术的人也能明白并确信这个道理。那么我们也能明白，如果7可以变成3和4，那么两个7就变成两组3和4：＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊如果是三个7，就变成三组3和4：＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊以此类推。乘法在此处用起来就很方便，否则，如果我们想用67乘以8，就不得不写下8遍67，再把它们相加。但是用乘法，我们就可以将67分解为60和7，然后用60×8加上7×8，即480＋56，就得出536。我们可以写成下面这个算式：67×8=(60×8)＋(7×8)=480＋56=536这里提到的只是运算技巧的一两个简单的步骤，或者只是数学家所说的多位数乘法的“运算规则”。随便什么算术课本上都有，我就不在此展开讲了。不过我不会急于让孩子们学会这种学校所推崇的简便算法，他们本来已经理解了多位数相乘的原始计算步骤。而且，这种简便算法也没有真的简便多少，充其量是少写几个零而已。如果过早地教孩子们这种简便算法，会把他们搞糊涂，这是得不偿失的。所以，如果我们需要计算562×74，我们当然可以把74分解为70和4，然后分别计算562×70和562×4，再把结果相加。如果孩子们自己对简便算法感兴趣，那很好，但这并不意味着我们必须要像学校那样，花上几个星期甚至几个月去反复训练他们，就为了熟练掌握这种少不了几步的、生活中很少会用到的简便算法。第二章 在家里学数学分数当我教五年级的时候，在开始“教”孩子分数概念，甚至是在提到这个词之前，我会问他们这样的问题：“如果你有3块糖，想均匀地分给5个人，你怎么分呢？” 他们大多会想出一种或两种办法。但是当他们“学会”了分数的概念，并想着用分数去解决这种问题时，他们倒往往做不出来了。他们用现实、自己的常识和聪明能想出办法，但如今知道了“规则”的他们，却无法解决问题，不知道怎么应用这个规则。在《我星期一做什么》这本书里，我试图解释这种现象：事情往往是这样的，我们的解释会把事情弄得更错综复杂。我们大多数人在“解释”加上的时候，会说先把它们变成六分之几然后相加，“因为你不能用苹果和橘子相加”等等……这种说法既不合情理也很荒谬。苹果当然能和橘子相加。每一两个礼拜我去超市，我会先把一塑料袋苹果放进推车，然后到货架另一边抓一袋橘子扔进车里。我这不正在把苹果和橘子相加吗？同样道理，农夫先把一群牛赶进牲口棚，稍后可能又赶进来一群马，牛和马也被加在一起了。或者汽车商先开进来6辆福特，然后是5辆雪佛兰，福特和雪佛兰也加在了一起。问题出在我们并没有说清楚我们本来的意思，因为我们事先并没想清楚自己到底想说什么。我们究竟想说明什么呢？出人意料的是，很多孩子都知道这个问题，或者其实很容易弄明白这个问题。我曾经问一些6岁的孩子：“如果我把3匹马赶进牧场，然后又放进来3头牛，牧场上现在有什么？”孩子们想了一想，有的就会回答：“5个动物。”当我们做出那个关于苹果橘子不能相加的让人费解的论断时，本意并非要说“相加”，而是结果的表达方式。我们可以把任何两样东西相加。真正的问题是，我们怎么表达这个结果。这是我们本来意思的第一个部分。第二个部分是，我们想找到一个数字，也就是分子，它能够描述苹果和橘子，或是马和牛，或是雪佛兰和福特，相加后得到的集合，这样的话我们就得给这个集合找“同一个名字”，也就是分母，这个名字适用于这个集合里的所有个体。这个名字是一个类别，于是我们得想出来一个其中的所有个体都具有的共性。就这么简单。这就是当我把3匹马和2头牛相加时，小孩子所说的“5个动物”。如果我想对我的篮子里所有的苹果和橘子使用一个分子，我得先想出来一个这两种东西都属于的类别，一个共同的名字，一个公分母。这就是水果。如果是汽车商，停车场里有几辆福特和雪佛兰，他要是想说那里有什么，他会说“我有5辆雪佛兰和6辆福特”。但如果他只想用一个数字表示，就得想出一个共同的名字，就必须有一个公分母。他可以说他有11辆汽车。如果他卖的是农业机械，停车场里不光是汽车，还有拖拉机、推土机诸如此类的东西，他可能会说：“我有这些机械车辆。”现在学校里讲到分数时所用的例子只是一个特例。如果我把个馅饼放在盘子里，再放上的同一个馅饼(或者是另一个同样大小的馅饼的)，我会说盘子里有什么呢？我可以说我有个和个馅饼。我还可以说我有2“块”馅饼。在这个例子里，“块”是个很棒的公分母。但它当然没能说明白我的盘子里有多少馅饼，是大块还是小块。所以我还得做两件事。首先，给我的这几块馅饼找到共同的名字，即公分母，告诉我整个馅饼有多大。然后，我的两块馅饼使用同样的名字，即公分母。我可以这么说，大块的馅饼是块馅饼，小块的是块馅饼。这样就很容易看出来当把这么两块馅饼相加时，得到的就是块馅饼。谈了这么半天馅饼的例子，我现在要说的是，使用馅饼或圆形图来给孩子们介绍分数的概念是不当的。最简单的原因是，孩子没办法检查或测量(除非他使用角度的概念)他用分数相加出来的结果是对是错。给他一个6英寸长的纸条，一把尺子，让他测量这个纸条的一半是多长，再加上同一纸条的，总共是多长。孩子会很容易地发现答案，即5英寸。他可以清楚地看见他的结果。而用圆形图的话他就不那么明白或者根本没办法看明白了。记得有一回我精心地画了一张格子纸，长9个格子，宽3个格子，然后要一个五年级学生找出它的。在这张纸上，这个孩子画了个他熟悉的圆形图，然后得意地看着我。当然我只好试图给他解释圆形图只适用于馅饼或圆形物。这显然对他来说又是一个大人讲的那种没用的、让人莫名其妙的东西。他的所有其他老师在讲到分数时，总是画圆形图，所以在他看来，圆形图就是分数的表示法。当然，我那次终于说服了他，跟我学的时候就要用我看中的其他的法子、其他的体系。但他心目中关于分数的真正形象并没有改变。最后我要强调的是，我们应该给孩子们灌输所有这些牛、水果、动物、汽车的概念，这样他们就能彻底明白如何将不同的东西相加了。我的确认为，如果我们知道自己在把这些不同的分数相加的时候到底在干什么，而不是像许许多多的数学老师那样并不清楚在做什么，并且不说那些让人莫名其妙的废话，那么我们就有大把机会知道该怎么做、怎么说，该使用什么样的教材，该布置什么样的作业让孩子们完成，这样，我们就能够使孩子们懂得分数的概念。第二章 在家里学数学“无限”是什么一个母亲曾给我写过一封很好的信，信中描述了她6岁的儿子关于数字的思考和问题。他的一个问题是：“紧挨着无限的是什么数？”我想了想这个有趣的问题，回答说，“无限”之前没有数字。孩子们觉得“无限”本身好像是一个数字，但事实不是这样。“无限的”这个词的意思是“无尽头的”或“无穷的”。你无法抵达一个尽头或边缘，因为根本就没有这样一个东西存在。不管你走多远，总可以继续走下去。对一个6岁的孩子，甚至是成年人来说，这或许并不是一个容易的概念。家长或是数学家们会说，整数的集合中(比如1、2、3、4、5等)没有最大数。不管你想出来多大的一个数字，你总能再加上某个数字，或乘以某个数字。数学家并不管这样的整数集合叫做“无限的”而是“超限数” 。在卡斯特纳和纽曼合著的一本很出色的叫做《数学与想像》的书中，有一章论及“超限数”，写得很好，可惜这本书已经绝版了。我们了解到，一个超限类，比如偶数集合，是与另一个集合，即全体整数的集合一样大的。这听上去有些丧失理智，因为整数中还有一半是奇数。我们说当一个集合的数字和另一个集合的数字一样多时，就意味着第一个集合里的每一个数都能在第二个集合里找到一个而且是惟一的一个数和它对应。每一只右脚的鞋都可以找到一只也是惟一的一只左脚的鞋和它相配，那就是说有多少只右脚的鞋，就有多少只左脚的鞋，即使我们并不知道具体的数目是多少。整数集合里的每个数字1、2、3……我们都可以用这个数乘以2，得到惟一的一个和它对应的偶数。1对应2，2对应4，3对应6，4对应8，5对应10，等等，可以一直做下去。所以我们可以说这两个集合数目相等。这里有一个绝妙的证明，数学家称之为“优雅”(elegant)(的确如此)，就是说分数集合中的分数数目和整数集合的数目相等。这真是令人难以相信，因为在任意两个整数之间你可以放置无穷多的分数。另一个优雅的证明是，小数集合中的数目大于整数集合。数学家们对此做了大量的研究工作。格奥尔格•康托发现某些超限数比其他的数字大。的确，我认为他找到了四五个不同的超限数，每一个都大于前面的一个。整数集合最小，小数集合次小，最大的是整个的函数集合。这些对一个6岁的小孩(或任何人)来说是很难掌握的。如果孩子问到无限时，你可以向他稍作解释并试试他的反应。如果他把头转开去看别的东西，那就是够了。无论如何，谈到这个概念时我们要说“无限的”，而不是“无限”。数学中的无限没有特定的数字，有的只是形容词“无限的”，意思是我前面讲过的，没有尽头或边际。第二章 在家里学数学秘密的数学游戏我的头四年学生生活是在一个很传统的学校度过的。它用纯粹背诵的办法教数学，把我们当成鹦鹉，或是会说话的实验室动物。我不记得有哪个老师曾经和我们探讨过数学的概念，或教我们玩数学游戏。他们的工作内容就是教给我们“算式”，向我们演示怎么解题目，然后布置作业、判作业，并让我们做练习、考试。但正像我们小孩有自己秘密的游戏世界一样，我们也有秘密的数学世界。学校里流行着很多的数学戏法和游戏，这当然是不被老师所鼓励的，甚至都不能让他们发觉。我们经常在班上或是在自修室里面躲在课本后面玩这些游戏。其中一个游戏叫做“猜数”。学生甲找到学生乙，最好还有学生丙、丁、戊在旁边，下面的谈话开始了：甲：你现在想好一个数字，别告诉我，但你自己把它记好。乙：好，我想好了。甲：千万别忘了！乙：别担心，我不会的！甲：现在把它加上3——不过别告诉我答案。乙：好了。甲：现在加上10。乙：好了。甲：现在拿走7。(我们不说“减去”，虽然老师是这么教的。)乙：好。甲：现在加上5。乙：好。甲：现在拿走你一开始想到的数字。乙：好。甲：(胜利地宣布)答案是11！这时丙、丁和戊可能会来挑战甲，让他再来一遍这个戏法。甲重复做了几次都没有出现任何纰漏，于是他们开始相信他真的是行家里手。于是他们会走开，摇着头百思不得其解。或者他们会央求着让甲教他们变这个戏法。我还没见过哪个孩子真会教给其他孩子这个戏法的诀窍。不过每年每批孩子都能自己想明白。当新的一批学生进入学校后，该轮到他们被捉弄了。就我记忆所及，“魔术师”当中没有谁把这些步骤写下来。给出数字的过程都是在脑子里进行的，一次一步。步骤越多，最后我们报出来正确得数的时候，别的孩子会越迷惑不解。偶尔地，或许就是“魔术师”自己，虽然把过程烂熟于心，还是会在加加减减的时候出错，导致最后得数不对。于是紧接着就会爆发一场激烈的闹哄哄的争论，一般会随着“魔术师”要求重新来一遍而平息。如果答案连着错了两三次，“魔术师”会坚持说这是因为对方算得不对，然后换人来做。因为通常对方是比“魔术师”小的孩子，大家也就很容易地接受这种说法。我猜想对于那些刚刚开始学习加法的孩子来说，这个戏法真是太好玩了。还有一个我和伙伴们在学校常玩的数学游戏，它和数学老师没关系，他们甚至都没有听说过。这个游戏是要写下来的。这需要花些时间，还要小心，不要当场出丑。在一张纸上画上方格。我们当时没有坐标纸，所以得自己拿尺子打格子。一般10×10见方的格子足够大了，不过有时候一些更复杂的造型需要再大一些的纸。然后在格子纸上我们开始画图形，从一个格子和另一个格子的交汇点开始，用直线连接到另一个交汇点，持续下去直到图形完成。可能是一只狗，或是帆船，或是飞机，或者就是一个简单的形状。以“狗”为例，我们在格子纸的左边开始，从狗鼻子画起。然后说：“向右上方两格。”我们便得到第二个点。然后说：“向右下方两格。”第三个点出现了。然后：“向右四格。”这样继续直到“狗”的形象完成，如图所示：现在，好玩的部分开始了。我们再画一张10×10的格子纸，但这次的格子画得要么大点，要么小点。在这张纸上我们完全按照上次的步骤，从起始点开始，向右上方两格……直到图形完成。然后我们比较这两张图，我们总是非常惊奇地发现新图形和旧的看上去完全一样，只是大小不同。这简直是个奇迹。我们画了又画，每一次都会为那个形状一模一样只是尺寸相异的图形感到惊讶和兴奋。由于我们“理应”做正常的算术作业，而且要小心地把格子纸收藏好以防老师发现，我们无法用很大尺寸的纸来画。如果老师知道并且会鼓励我们做这个游戏，我们本来可以把极小的图形放大到其大无比，甚至用那种几乎能把整面墙盖住的纸来画，那该多让人兴奋啊！我不记得是否有人曾经想过在格子纸的底边和左边标上数字，或是想到可以用这些数字来定位纸上的每一个点，像这样：你可以画出一个图形，然后不用告诉另一个人别的什么，只需给他一些数字，他就能画出和你画的一模一样的图形。这主意太棒了，简直就是另一个奇迹。通过这个游戏，你可以很容易地向孩子们引入比例尺绘图的概念。比例尺绘图就是用纸上的一段距离代表实际的距离：比如1英寸代表1英尺，或1英寸代表100英里。从这里我们可以进入建筑制图的领域——我经常想许多孩子一旦懂得了制图是怎么回事，他们会兴致勃勃地给自己的房间或是住宅绘制图纸。我们的游戏也有助于孩子掌握解析几何、坐标方程的基本概念，以及其他学生们要等到高中才会接触到的有意思的概念。但到那时恐怕为时已晚，因为除了少数学生，大多数人已经变得厌恶或害怕数学了。第二章 在家里学数学家庭经济学5岁的克里斯喜欢我们办公室里的古老加法器。那是个货真价实的旧式电动机械计算器，内部带齿轮传动装置，用起来会发出好玩的噪音，把数字打印在纸上的时候还会有小小的铁屑从机器里弹出来，对孩子来说它比电子计算器可要有趣得多了，后者用起来悄无声息，像是被无形的魔力操纵。他喜欢在这个老机器上敲出一些数字，按相加键得出总和，把打印出来的带总和的小纸带撕下来，他管这个叫“支票”，给我们中的一个人看，而且要求我们给他兑现出现金，或者告诉我们说他要拿这个去银行兑现金。我对他说：“克里斯，要是银行真的给了你钱，你可得赶快告诉我，我也马上去。” 一天他又打了一堆这样的纸条，这次管它们叫“账单”，拿给我们看，要求我们凭这个付给他工资。像以往一样，我们通过这件事再一次看到孩子们是怎么把想像和现实很可爱地混同起来的。我比较肯定地认为，在通常情况下，克里斯知道这些纸片不是真的支票或账单，但他在一边观察我们工作的情形久了，发现这些纸片和办公室处理的真正的支票和账单之间有某种关联，它们总是和钱有关。我任教的第一个学校有个名为“学生银行”的机构，归学校的商业部门经理管理。那个学生银行管理着学生的零用钱，设立的目的大概是防止学生把过多的现金放在宿舍里(这是所寄宿学校)，从而会引起的盗窃现象。在学年开始的时候，学生的父母们会在“学生银行”里自己孩子的账户下存进一笔钱(事实上，具体的数目会记到父母的账上)。当学生们需要现金在学校买书本、文具时，他们会写一张假“支票”给商业部门的经理，他则发给他们现金、文具、体育用品或是诸如此类的物品。经理会为每个学生分别开立账户，就像真正的银行那样，而且会负责检查学生的账户收支是否平衡。这样做的目的是让学生们有机会去学着管理自己的钱，同时学习银行的运作方式。有一年，我也做过这个商业部门的经理，负责过这个学生银行。这差点把我弄疯了。我们在的地方离镇上“真正的银行”只有几百米远。为什么不让学生们在真正的银行开立账户、写真正的支票、收到真正的对账单呢？为什么要浪费我(和别人)的大把时间来操持这么个假银行呢？