空间的 “直角”。此处正交的希尔伯特空间矢量对应于空间的相反方向，而不是两个方向夹直角。）什么是｜‰＞在空间中所决定的方向和两个复数w 和 z 的几何关系呢？由于｜‰＞给出的物理态并不因为被用任何非零复数去乘它而改变，所以只有 z和w 的比才有意义。将这个比写作q=z/w。q 只是某个复数，除了为了和w=0 的情形相一致而 “q=∞”，也就是当自旋方向垂直向下也是允许的以外。除了q=∞以外，我们总能用q代表复平面上的一点，正如我们在第三章所做的。我们可以想象复平面水平地处于空间中，按上面的描述实轴的方向 “向右”（亦即在自旋态｜→＞的方向上）。想象一个中心在复平面原点上的单位球面，这样点 l，i，-1，-i都在球面的赤道上。我们将南极上的点认为是∞，然后从该点开始投影，这样整个复平面都被映射到球面上。任何复平面上的点q都在球面上对应唯一的点q，它可由这两点必须和南极联成直线而得的 （图6.25）。这一对应称之为立体角投影。它具有美丽的几何性质 （亦即它保持角度并将圆映射成圆）。该投影使我们可用复数和∞一起，也就是所有可能的比q 的集合，来标记球面上的每一点。以这种特殊方式标记的球面称作黎曼球面。① 大卫·希尔伯特，我们已在前面的章节中遇到了他的名字，在量子力学发现以前很久，他在无限维的情况下，并为了完全不同的数学上的目的，引进了这个重要的概念！----------------------- Page 235-----------------------黎曼球面对于电子自旋态的意义在于，态｜‰＞=w ｜↑＞+z ｜↓＞的自旋方向和由从中心到黎曼球面上标记有q=z/w 点的实际方向一致。我们注意到，北极对应于态｜↑＞，它是z=0，也就是标记作q=0，而南极为｜↑＞，标记作w=0 亦即q=∞。最右的点标记着q=1，它提供｜→＞= ｜↑＞+ ｜↓＞，而最左的点q=-1 提供了｜←＞= ｜↑＞- ｜↓＞。绕过球面最远的点标作q=i，相应于态｜↑＞+i ｜↓＞，其自旋的方向直接离开我们，而最近的点为q=-i，对应于｜↑＞-i ｜↓＞，其自旋直接指向我们。而一般的标记为q 的点对应于｜↑＞+q ｜↓＞。图6.25此处用黎曼球面来表示自旋为1/2的粒子的物理上不同的自旋态。球面从它的南极 （∞）被立体地投影到通过其赤道的复平面上去。所有这一切和人们要进行的电子自旋的测量有什么关系呢 10？在空间选取某一个方向；我们称为α。如果我们在此方向测量电子自旋，答案为是表明电子 （现在）的确以右手定则在α方向自旋，而非表明自旋的方向和α相反。假定答案为是；那么我们将此结果的态标记为｜α＞。如果我们简单地重复此测量，利用和前面完全同样的方向α，则我们的答案应该又是百分之百的概率为是。但是如果在第二次测量时我们改变方向，改到一个新的β方向，则会发现答案为是的跃迁到态｜β＞上去的概率小了。还有答案为非的跃迁到和β相反方向的态上去的概率。如何计算此概率呢？答案是在上节结尾处的方案中。第二次测量为是的概率为1(1+ cos θ) ，2这里θ是两个方向α，β之间的夹角 11。相应地，第二次测量为非的概率为1（1-cos θ）。2我们从这里能看到，如果第二次测量是在与第一次夹角直角的情况，则两种结果的概率都为百分之五十 （cos90°=0）：第二次测量的结果完全是随机的！如果两次测量的夹角为锐角，则答案为是的可能性比非要更多。如果为钝角。则非的可能性更多。在β和α相反的极端情形下，答案为是的概率为0，而为非的概率为百分之百；也就是说，第二次测量的结果一定是和第一次相反。 （参见费因曼等1965关于自旋的更详尽的讨论。）黎曼球面实际上对于任何双态的量子系统，在描述一系列可能的量子态 （准确到一个比例系数）时起着基本的（但是未被广泛认识到的）作用。对于半自旋的粒子，它的几何作用特别明显，因为球面上的点对应于自旋轴的可能的空间方向。在其他很多情形，难以看到黎曼球面的作用。考虑刚刚通过双缝隙，或从半镀银镜子反射回来的光子。光子态为某个描述两----------------------- Page 236-----------------------个完全不同位置的双态｜ψ ＞和｜ψ ＞的诸如｜ψ ＞+ ｜ψ＞，｜ψt b t b t＞- ｜ψ＞或｜ψ ＞+i ｜ψ＞等等的线性组合。黎曼球面仍然描述物理b t b上一系列不同的可能性，但现在仅仅是抽象地。态｜ψ ＞由北极t（“顶”），｜ψ＞由南极 （“底”）分别代表。而｜ψ＞+ ｜ψ＞，｜b t bψ＞- ｜ψ＞以及｜ψ ＞+i ｜ψ＞由赤道上的不同的点代表。一般地，t b t bw ｜ψ＞+z ｜ψ＞为点q=z/w 所代表。在很多情况下，正像这个例子，“黎t b曼球面可能的价值”相当隐蔽，和空间几何没有清楚的关系。----------------------- Page 237-----------------------客观性和量子态的可测量性尽管我们在正常的情况下只能为实验的结果提供概率的这个事实，关于量子力学的态似乎有某些客观的东西。人们经常断言，态矢量只为了方便描述 “我们已知”的物理系统——或者，态矢量也许实际上并不描述一个单独的系统，而仅仅是提供大量制备好的类似系统在 “系综”方面的概率信息。在关于量子力学告诉我们物理世界的实在性方面，我觉得这种意见过分胆怯。有关态矢量的 “物理实在性”的一些谨慎或怀疑，是由于按照该理论，物理上可测量的东西严格地受到限制这个事实引起的。让我们考虑上述的电子自旋态。假定自旋态刚好是｜α＞，但是我们不知道这些，也就是说我们不知道电子自旋的方向 α。我们能否用测量来决定此方向呢？不，我们不能。我们最多能做的只是提取 “部分”信息——就是简单的是或非问题的答案。我们可以选取空间中的某个方向β并在该方向上测量电子自旋。我们得到的答案非是即非，但在此之后，我们就丧失了关于原先自旋方向的信息。答案为是的话，我们知道现在这个态和｜β＞成比例；答案为非的话，则现在的态在和β相反的方向上。没有任何一种情形告诉我们测量之前态的方向α，它仅仅是给出了关于α的某种概率的信息。另一方面，似乎有某种完全客观的关于方向α的东西，电子在测量之①前 “刚好沿着这个方向自旋”。由于我们也许选定了在方向α上测量电子的自旋——而电子必须肯定地给出的答案，如果我们刚好猜中了的话！无论如何，电子的自旋态中贮藏着电子实际上必须给出的这个答案的 “信息”。我似乎觉得，在按照量子力学来讨论物理实在的问题时，我们应该将什么是 “客观的”和什么是“可测量的”区别开来。在对一个系统进行实验时，不能准确地 （除了比例系数外）断定它处于何态，也就是说系统的态矢量的确是不可测量的。但是，态矢量似乎的确（又是除了比例系数外）是系统的完全客观的性质，它为人们可能进行的实验的结果所完全表征。在诸如电子的半自旋的单独粒子的情形，因为它仅仅断言存在电子自旋被精确定义的某方向，即便也许我们不知道这个方向，这种客观性也不是不合理的。 （然而，以后我们会看到，对于更复杂的系统，这个“客观的”图像会变得更奇怪得多——甚至对于仅仅包含一对半自旋粒子的系统而言也是如此。）但是，在电子自旋被测量之前它必须有一个物理上定义的态吗？在许多情形下，它没有必要。因为它自身不能被认为是一个量子系统，物理态① 这里必须在允许矢量的无限求和的意义下才行。希尔伯特空间牵涉到了有关这种无限求和的规则 （由于这些过于技术性了，所以我不详细论及）。----------------------- Page 238-----------------------一般地必须认为是一个和其他大量粒子纠缠在一起的电子的描述。然而在特殊情形下，可以考虑电子本身 （至少就其自旋而言）。按照标准的量子理论，在这种情况下，譬如它的自旋的方向预先 （也许未知的时刻）被测量过之后的一段时间内没受到干扰，那么电子就具有完全客观的定义好的自旋方向。----------------------- Page 239-----------------------复制量子态电子自旋态的客观性以及不可测量性阐释了另一个重要事实：不能在使原先的态不被触动的情形下将其复制。因为假定我们能对一个电子的自旋态｜α＞进行复制。若能复制一遍，则能两遍多遍地复制。结果的系统会在一个定义得非常好的方向上具有大的角动量。可由宏观测量把这个方向｜α＞确定下来。这就违反了自旋态｜α＞的基本的不可测量性。然而，如果我们准备去破坏原先的态，则复制便成为可能。例如，我们有一处于未知的自旋态｜α＞的电子和另一处于另一个自旋态｜γ＞的中子。将它们交换使中子自旋态为｜α＞而电子态为｜γ＞是完全合法的。我们所不能做的是复制｜α＞， （除非我们预先知道 ｜α＞实际上为何态）！ （还可参阅伍特斯和朱列克1982。）我们记得在第一章 （29 页）讨论过 “远距运送机器”。这机器，原则上依赖于在遥远的行星上有可能拼装出一个人的身体大脑的复制本。一个人的 “所知所闻”可以依赖于一个量子态的某些方面，这是一个令人感兴趣的猜想。若果真如此，则量子力学禁止我们去复制 “所知所闻”而不破坏原先的态。远距离搬运的 “矛盾”可望以这种方式得到解决。量子效应和大脑功能的可能关联将在最后两章考虑。----------------------- Page 240-----------------------光子自旋让我们在下面考虑光子的 “自旋”以及它和黎曼球面的关系。光子具有自旋，但是因为它们总是以光速运动，人们不能将自旋认为是围绕于一个固定点；相反地自旋轴总在运动的方向。光子自旋称之为极化，这就是“偏振片”太阳镜的行为所根据的现象。把两偏振片重叠在一起并透视之。一般地讲，你会发现有一定量的光透过去。现在使其中一片不动而旋转另一片，通过的光量会发生变化。在一个方向上，穿透的光达到最大，第二偏振片实际上并没减少穿透的光量；在与此垂直的方向上，第二偏振片可使通过的光量减少到零。按照光的波动图像最容易理解所发生的现象。在这里我们需要用马克斯韦的光波的振动电磁场描述。图6.26 画出了平面偏振的光。电场在一个称为极化面的平面上上下振动。而磁场在一个垂直于电场振动的平面上振动，电磁场相互共振。每一偏振片让极化面和偏振片结构相平行的光通过。当第二个偏振片的结构和第一个指向一致时，所有通过第一偏振片的光就会通过第二偏振片。但是，当它们结构的方向相互垂直时，第二偏振片就将通过第一偏振片的光全部阻拦住。如果两个偏振片的指向夹角为j时，则第二偏振片让2cos j部分的光通过。图6.26 平面偏振的电磁波。在粒子表像中，我们应该把每一单独光子认为是具有偏振的。第一偏振片的行为像一个偏振度测量器。如果光子的确在一个合适的方向偏振，它就给出是的答案，并让光子通过。如果光子在与此相垂直的方向偏振，则答案为非，光子就被吸收。 （注意在希尔伯特空间中的“正交”并不对应于通常空间中的 “夹直角”！）假定光子通过了第一偏振片，则第二偏振片就会问相应的问题，但是对于某个其他的方向。如果两个方向的夹角为j，我们现在就有cosj2作为已经通过第一偏振片的光子通过第二偏振片的概率。黎曼球面和这些有何相干呢？为了得到偏振态的全部复数系列，我们必须考虑圆的和椭圆的偏振。图 6.27 画出了经典波动的情形。圆偏振时电场旋转，而不是振荡。磁场仍然和电场成直角并同步地旋转。椭圆偏振可看成旋转和振动的结合，而描写电场的矢量在空间划出一个椭圆。在量子描述中，每一单独光子允许这些不同极化的方式——光子自旋的态。如何在黎曼球面上将所有这些可能性表示出来呢？想象一个垂直向上运动的光子。现在北极代表右手自旋的态｜R＞，这表明当光子通过时电----------------------- Page 241-----------------------场矢量以反时钟方向绕着垂直的轴旋转 （从上面看）。而南极代表左手自旋的态｜L＞。（我们可以把光子想象成像来福枪子弹一样自旋，或是右旋或是左旋。一般的自旋态｜R＞+q ｜L＞是这两种态的复线性组合，它对应于黎曼球面上标出的一点。为了求出q 和偏振椭圆的关系，我们首先取q的平方根 p：p = q 。然后在黎曼球面标出p 而不是q。考虑通过球面中心的一个平面，该平面垂直于连接标上p 的点和球心的直线。此平面和球面的交线为一圆周。我们将此圆周垂直投影就得了偏振椭圆 （图6.28） 。q 的黎曼球面仍然描述了光子偏振态的总体，但是q 的平方根为之提供了空间实现。图6.27 圆偏振电磁波。（椭圆偏振是介于图6.26和图 6.27之间的中间情况。）图6.28黎曼球面（现在是 q 的）也描述了一个光子的偏振态（指向q 的矢量称为斯托克斯矢量。）我们可同样地将用于电子的同一个公式 1/2 （1+cosθ）用于计算概率，只要我们把它应用于q 而不是p。考虑一平面偏振我们首先在一个方向上，然后在另一和它夹j角的方向上测量光子的偏振。这两个方向对应于球面赤道上从中心看张角为的两个p值。因为 p 为q 的平方根，所以q点在中心的张角为p 点张角的两倍：θ=2j 。这样，在第一测量结果为是后第二测量结果亦为是 （亦就是通过第一偏振片的光子再通过第二偏振2片）的概率为1/2 （1+cos2）这正是前面断言的cos j… （可用简单的三角验证之）。乱这些描述。该因子是当我们要求｜→＞和｜←＞归一化时所引起的。----------------------- Page 242-----------------------大自旋物体对于具有多于两个基本态的量子系统，在物理上可区别的态的空间比黎曼球面更复杂。然而在自旋的情况，黎曼球面本身总是起着直接的几何作用。考虑以下有质量的自旋为n ×h/ 2 的粒子或原子，让它处于静止。这样自旋就定义了一个 n+1 态的量子系统。 （对于一个无质量的，也就是以光速运动的自旋的粒子，譬如光子，正如上面所描述的，自旋总是一个两态系统。但是对于有质量的粒子，态的数目随着自旋而增加。）如果我们选择在某一个方向测量该自旋，会发现共有 n+1 不同的可能的结果，此结果依自旋相对于该方向的指向而定。按照基本的单位h/2，在那个方向自旋的可能结果为n，n-2，n-4，…，2-n 或-n。这样n=2 时其值为2，0