论作何种修正。让我们回到在引力场中下落的粒子球面的例子上来。我们记得，如果球面围绕的只是真空，则按照牛顿理论，球的体积一开始不会改变；但是如果围绕的是一个总质量为M 的物体，则会产生和M 成正比的体积减小。这种规律在爱因斯坦理论中 （对于小球面）刚好是一样，除了决定此体积减小的不完全是M，还有一附加的 “通常非常小的”来自被围绕物质的压力的贡献。四维空间——时间的曲率必须描写在任何地方在任何可能方向运动的粒子的潮汐效应。它的完整数学表达式由被称为黎曼曲率张量的量所给出。这个东西是有点复杂，在每一点具有二十个称作分量的数。不同的分量是在空间——时间中在不同方向上的不同曲率。黎曼曲率通常写作Rijkl。但是因为我不想在这里解释这些小指标的意义 （事实上也不想解释张量的意义），我就简单地将它写作黎曼。存在一种将此张量分解成两部分的方法，第一部分是魏尔张量，第二部分是里奇张量 （各有十个分量）。此分解可表达如下：黎曼=魏尔+里奇。（其具体表达式在目前并不特别有用。）魏尔张量魏尔是测量我们自由下落的球面的潮汐畸变 （亦即形状的初始变形，而非尺度的变化），而里奇张量里奇测量其初始体积改变 22。我们记得，牛顿引力理论要求下落球面所围绕的质量和这初始体积的减小成正比。粗略地讲，它告诉我们，物体2的质量密度，或等效地能量密度 （因为E=mc ）——应该和里奇张量相等。事实上，这基本上就是广义相对论的场方程——也即爱因斯坦场方程——实际的断言 23。然而，关于这些还有许多技术上的细节，最好不在这里纠缠。只要知道存在一个称作能量——动量的张量，它将有关的物质和电磁场的能量、压力和动量都组织在一起。我把这一张量叫做能量，则爱因斯坦方程可非常粗略地写作：里奇=能量。----------------------- Page 188-----------------------正是在能量张量中 “压力”的出现以及为了使整个方程协调的条件要求，使得压力正如前述的也对体积缩小效应有所贡献。此方程似乎没有牵涉到魏尔张量。但它是一个重要的量。在空虚的空间里感受到的潮汐效应纯粹是由魏尔引起的。事实上，上述的爱因斯坦方程意味着，存在将魏尔和能量相联系的微分方程，和该方程我们以前遇到的马克斯韦方程很相像24。的确，把魏尔当作用E，B这一对量描述的电磁场量 （实际上也是一个张量——马克斯韦张量）的引力类似物是一种富有成果的观点。在一定的意义上可以讲，魏尔实际上是引力场的测定。魏尔的 “源”是能量张量。这和电磁场 （E，B）的源是 （p，j），也即马克斯韦理论的电荷和电流的组合的情形很相似。这种观点将有助于第七章的讨论。如果注意到在爱因斯坦理论和牛顿在两个半世纪前提出的理论之间，虽然在形式和内在的观念之间有如此深刻的差别，但在观测上要找到差异却非常困难，人们会十分惊异。假如所考虑的速度和光速c 相比较小很多，并且引力场不太强 （使得逃逸速度比c 小得多，参阅第七章388 页），那么爱因斯坦理论的结果实质上和牛顿的一样。但是，在这两个理论的预言的确不同时，爱因斯坦理论更准确。现在已有几个印象深刻的实验，证明爱因斯坦新理论完全成立。正如爱因斯坦所坚持的，在引力场中钟走得慢一些，此效应以不同的方式得到直接的测量。光和无线电波的确被太阳所偏折，并被遭遇者稍微地延迟——也很好地检验了广义相对论效应。空间探测器和运动行星，正如爱因斯坦理论所要求的那样，对牛顿轨道要做小修正，这些也被实验所证实。（特别是从1859年起天文学家就开始忧虑的被称作 “近日点进动”的水星运动的失常，1915年为爱因斯坦所解释。）也许最令人印象深刻的是，对一个包括一对微小的大质量恒星 （假定为两个 “中子星”，参阅388 页）的称作双脉卫星系统上的一系列观测，其数据和爱因斯坦理论非常接近，并间接地证实了一个在牛顿理论中根本不存在的效应，即引力波的辐射。 （引力波是电磁波的引力类似物，以光速c来传播。）还没有找到任何被确证的和爱因斯坦广义相对论相冲突的观测。正因为这种种奇异的现象，使我们坚信爱因斯坦理论是对的！----------------------- Page 189-----------------------相对论因果性和决定论我们记得在相对论中，物质不能运动得比光快——也就是说，它们的世界线必须处于光锥之中 （参见图5.29）。 （尤其在广义相对论中，我们必须用这种局部的方式描述事物。光锥并不均匀地排列着，所以讲非常远的粒子的速度是否超过这里的光速并没有多大意义。）光子的世界线沿着光锥，但对于任何粒子都不能允许其世界线处在光锥之外。事实上，更一般的陈述应是，不允许任何讯号在光锥外传播。图5.31从观察者W 看来比光更快的讯号，在观察者 U看来变成在时间上向后旅行。右图 （b）只不过是左图 （a）以U 的观点重新画出。 （这种重画可视作彭加莱运动。可将其和图5.21相比较——但这里以 （a）到（b）是采用积极的而非消极的意义上的变换。）要理解为什么这样，可以参考闵可夫斯基空间图 （图5.31）。假定我们有一台能发出比光传播得更快的讯号的仪器。利用这台仪器，观察者W从他的世界线的事件A 发出一到达遥远的事件B 的讯号，B 刚好处于A 的光锥的下面。从W 的观点看，可以画成图5.31a 的样子。但从第二个观察者U 的观点看，应重新画成图5.31b 的样子，U 正在进行着离开W（譬如讲，从AB 之间的某点开始）的快速运动。对于 U 而言，事件B 显得比A 还更早地发生！ （正如前面（228 页）提到的，这种 “重画”是一个彭加莱运动。）从W 的观点看，U 的同时性空间看起来是 “向上倾斜”的，这就是为何事件B从 U 的观点看显得比A 还早的原因。这样，对于U 而言，W 似乎是在往时间向后的方向上发出讯号！图5.32 如果V 装备有和W 一样的超光速讯号的仪器，但该仪器的指向和W 的相反，它就可以被W 用来向他自己的过去发送信息。这还不算什么矛盾。但是如果还有一个从 U 的观点看对称的 （由于狭义相对论原理），离开 U 以和W 相反的方向运动并装备有与W 一样的仪器的第三个观察者V，他也能发出一个刚好比光还快的讯号。从他 （亦即V的观点看，该讯号是向U 的方向返回。从U 的观点看来，这讯号又是发向过去，但这回是沿着相反的空间方向。V 可以在接到到W 发出的原始记号的B 时刻发出第二个讯号到W 去。从U看来，该讯号在比原先发射事件A更早的事件C处到达W （图5.32）。但比这更糟糕的是，实际上事件C 在W 自身的世界线上比事件A 更早，W 在发出A 讯号之前即经历了事件C！观察者V 发回到W 的讯号由于W 的预先安排，可以简单地重复B处收到的。这样，W 就会在自己的世界线更早的时刻收到后来想发出的同一个讯号！----------------------- Page 190-----------------------将两个观察者分隔足够大的距离，我们就可以使得返回讯号，比原始的讯号早一个任意长的时间间隔。也许W 原始的讯号是说他折断了腿，他可在此事件发生之前接受到返回讯号，然后 （假定）用他自己的意志，采取行动去避免事故发生！这样，先知先觉地发射讯号和爱因斯坦的相对论原理一道会导致和我们 “自由意志”的正常感觉的严重冲突。实际上的情形比这还要更严重。因为我们可以设想，也许 “观察者W”仅仅是一台机械仪器，它的程序是如果收到 “不”的讯号时即发出“是”的讯号，反之亦然。而V 也可以是一台机械仪器，如果收到 “不”的讯号时即发出“不”的讯号，反之亦然。这就导致了和我们以前遇到的25 同样的矛盾。现在似乎和观察者W 是否有自由意志 “无关”，并且告诉我们超光速讯号发射仪器不存在物理学上的可能性。这会在下面给我们带来一些令人困惑的推论 （第六章330 页）。让我们接受，任何种类的讯号——不仅仅是通常物理粒子所携带的——必须被光锥所限制。上面的论证实际上只牵涉到狭义相对论。但是在广义相对论中，这一个狭义相对论的规则仍然定域地成立。正是狭义相对论的这种局部有效性告诉我们讯号必须被光锥所限制，所以它也应该适用于广义相对论。我们将会看到这一点如何影响这些理论决定论的问题。我记得在牛顿 （或哈密顿等等）理论中，“决定论”意思是说在一特定时刻的初始值完全固定了其他时刻的行为。如果在牛顿理论中采用空间——时间的观点，则给定初始值的那个 “特定时刻”即是四维空间——时间中的某一个三维 “截面”（亦即那一时刻的整个空间）。在相对论中，不可能为此而挑出一个全局的 “时间”概念。通常的步骤是采用一种更灵活的做法。任何人的 “时间”都可以。在狭义相对论中，可采取某个观察者的同时面，并用此同时面来取代上述的 “截面”以赋予初始值。但在广义相对论中，“同时空间”的概念并没有很好地定义。从而人们使用更普遍的类空面 26的概念。我们在图5.33 画出了这样的一个面；它的特征是处于它上面的每一点的光锥之外——这样，在局部上它和同时空间很相似。图5.33在广义相对论中被逃选来赋予初始值的一个类空面。在狭义相对论中，决定论可以表述成为在任何给定的同时面S 上的初始值，固定了整个空间——时间中的系统的行为的这一事实。 （尤其是在马克斯韦理论中这一点成立——它的确是 “狭义相对性”的理论。）然而，人们可以有更强的陈述。如果想知道处在S 的未来的某一事件P处发生的事，则只需要知道S 上某一 （有限的）有界的区域内，而不必是整个S 上的初始值即可。这是因为 “信息”不能传递得比光还快，而S 上的任何离----------------------- Page 191-----------------------①得太远的以至于光讯号不能到达 P 的点不能对P有何影响 （见图5.34） 。这实际上比在牛顿理论中出现的情形更令人满意。在那里，人们为了能对将来某一时刻要发生的事件作任何预言，原则上要知道整个无限的 “截面”上发生的事。牛顿式信息的传播速度不受任何限制，牛顿的力是瞬息性的。图5.34在狭义相对论中，发生在P 的事件只依赖于在同时空间中的一个有限区域的数据。这是因为传递到P 的效应不能比光走得更快。广义相对论中的 “决定论”比在狭义相对论中复杂得多，我在此只作少许评论。首先，我们为了赋予初始值必须使用一个类空面 S （不仅仅是一个同时面）。人们发现，如果像通常那样假定对能量张量有贡献的物质场的行为是决定性的，则爱因斯坦方程的确给出了引力场的局部的决定性的行为，然而，这里事情相当复杂。空间——时间的几何自身——包括它的光锥的 “因果性”结构——现在成为实际上要被确定的一部分。由于我们预先不知道光锥结构，所以不能得知S 的那一部分为确定未来某一事件P 的行为所必须。在某种极端的情况下，甚至有整个 S都不够的情形，而因此就损失了全局的决定性！ （这里牵涉到非常困难的问题，它们和一个在广义相对论中称为 “宇宙监督”的末被证明的猜测相关。这猜测和黑洞形成有关系 （参阅提普勒等1980年）；参阅第七章388 页以及389 页处的脚注和396 页。）情况似乎很可能是，和 “极端”的引力场的情形相共存的 “决定性失效”和人类尺度的事件几乎没有任何直接关系。但是，从这里也可以看出，广义相对论中的决定论的问题绝不像人们设想的那样干脆利落。① 把空间坐标除以c — — 光速——的原因是为了以后使用便利，使光子世界线和垂直方向的夹角为45℃。----------------------- Page 192-----------------------经典物理的可计算性：我们的立场如何？我在这一章从头到尾总是同时留心和决定论不同的可计算性的问题。我并且试图指出，在谈论到 “自由意志”和精神现象时，可计算性的问题至少和决定论性的问题一样重要。但是，正如我们不得不相信的那样，在经典理论中决定论本身也不是那么清楚的。我们看到了带电粒子，运动的经典洛伦兹方程所引起的一些困扰的问题。（回忆狄拉克的“逃逸解”。）我们还注意到，在广义相对论中存在一些决定论的困难。在这些理论中，只要没有决定论，当然也就不可计算了。然而上面引用的情形中似乎没有一种因为缺乏决定性而和我们有许多直接的哲学方面的关系。在这些现象中还是没给我们的 “自由意志”留下余地：在第一种情况，因为点电荷的经典洛伦兹方程 （正如狄拉克解决的那样）被认为在提这些问题的水平上在物理上不合理；第二种情况，由于经典广义相对论所引起的这些问题（黑洞等等）的尺度和我们自己大脑的尺度差别太大。现在，我们在经典理论中关于可计算性的境况如何呢？可以合理地猜测，如果超越了我刚才提出的因果性和决定性的差别的话，则广义相对论中的情形和狭义相对论不会有大的差别。任何在物理系统的未来行为被初始值所决定的地方，用我们在牛顿理论情况下类似的推论，则其未来的行为似应也被那些数据可计算地决定27 （除了上面考虑过的，玻—埃勒—里查德遭遇到的波动方程的不可计算性的 “不帮忙的”非可计算性的类型——这种情况对于光滑地变化的数据不会发生）。的确，在我迄今讨论过的任何物理理论中，很难看到任何重大的 “不可计算”的因素。可以肯定预料到的是，在这许多理论中会发生 “混沌的”行为，只要初始数据作非常微小的改变，就会对结果的行为产生巨大的影响。 （看来在广义相对论中真是如此，参阅米斯纳 1969，别林斯基等1970。）但是，正如我在前面所提到的，很难看出这类不可计算性亦即 “不可预言性”对要“驾驭”物理定律的可能的不可计算因素的仪器有何 “用处”。如果“大脑”可以任何方式利用不可计算的因素，那么这种因素必须是非经典物理的。我们必须在浏览了量子理论之后，重新回来审查这个问题。----------------------- Page 193-----------------------质量、物质和实在让我们简略地清查一下经典物理所呈现的世界图像。首先空间——时间，担任着主要任务：提供舞台给所有不同的物理现象。其次是任意不停活动着的物理对象，但这些活动由精密的物理定律所约束。共有两类物理对象：粒子和场。关于粒子，除了各个都有自己的世界线以及具有各自的（静）质量和也许还有电荷等，我们很少提到它们的实际性质或特殊品质。另一方面，场的特性非常明确——服从马克斯韦方程的电磁场，以及服从爱因斯坦方程的引力场。在处理粒子时存在一种互相冲突的情形。如果粒子的质量是如此微小，以至于其对场的影响可以忽略，则可称作检验粒子——而它们对场的响应的运动是毫不含糊的。洛伦兹力定律描述检验粒子对电磁场的响应，而测地线定律描述它们对引力场的响应 （如果两种场都存在时，是上述情形的适当的结合）。这些粒子在这里必须被认为是点粒子，也就是具有一维的世界线。然而，当粒子对场 （并因而对其他粒子）的效应必须考虑时——亦即，这些粒子成为场的源时——那么该粒子必须认为是在某种程度上在空间中散开的对象。否则在每个粒子的紧邻处的场会变得无穷大。这些散开的源为马克斯韦方程提供了所需要的电荷——电流分布 （ρ，j），也为爱因斯坦方程提供了所需要张量能量。除此之外，所有这些粒子和场所处的空间——时间具有直接描绘引力的可变的结构。 “舞台”参与到在它上面表演的情节中去！这就是经典物理在有关物理实在的性质方面给我们的教导。很清楚，我们在中学学到了许多，但同时我们又不可过于自得，以为我们一时形成的图像不会被某种以后更深刻的观点所推翻。我们在下一章会看到，甚至