1│ψ＞=│ψ＞，0│ψ＞=o，以及.. zo=o。6．存在一种称为两个矢量的标量积（或内积）的重要运算。它可非常简单地用于表达“单位矢量”、“正交性”和“概率幅度”概念。（在通常的矢量代数中，标量积为.. abcosθ，这里.. a和.. b为矢量长度，而θ为它们方向之间的夹角。）希尔伯特空间矢量的标量积给出复数。我们把两个态矢量│ψ＞和│x＞的标量积写作＜ψ│x＞。存在如下代数规则＜ψ(│x＞+│ψ＞)=＜ψ│x＞+＜j│j＞，＜ψ(q│xl＞)=q＜ψ│x＞以及＜ψ│＞= ＜x|ψ＞，在这里横道表明复共轭。（z = x+iy的复xx，y z 2=z）。态│ψ＞和│＞共轭为z=x －iy x和为实数；注意││zx的正交性表为＜ψ│x＞=0。态│ψ＞的长度平方为│ψ│2=＜ψ│ψ＞，这样│ψ＞归一化成单位矢量的条件为＜ψ│ψ＞=1。如果一个“测量的行为”使│ψ＞跃迁到│x＞或某种和│x＞正交的态，则它跃迁到│x＞的幅度为＜x│ψ＞，此处已假定│ψ＞和│x＞都是归一化的。若还没有归一化的话，从│ψ＞│到x＞的跃迁概率写作＜x│ψ＞＜ψ│x＞/＜x│x＞＜ψ│ψ＞。（见狄拉克1947。）7．熟悉量子力学算符形式的读者，这一测量（按狄拉克符号）用有界限的厄米算符│x＞＜x│来定义。本征值1（对于归一化的│x＞）为是，而本征值0表示非。（矢量＜x│，＜ψ│等等属于原先希尔伯特空间的对偶空间。）见冯·诺依曼（1955），狄拉克（1947）。8．在我早先对包含单独粒子的量子系统的描述中，有点过于简略。那时候我不管自旋，而假定只按照它的位置来描述态。实际上存在某些称作标量子的粒子，譬如叫做π子（π介子，参阅252页）的核子或某些原子——其自旋值为零。对于这些粒子（也只有这些粒子）上述只按照位置的描述在实际上是足够的。9．取│＞=z│↑＞－│↓＞，这儿和wzwz 是和w的复共轭。（见注释6。）10．有一种标准的实验仪器，称作斯特恩——盖拉赫仪的可以用来测量适当的原子的自旋。原子束被射入并通过一个高度非均匀性的磁场，而场的非均匀性的方向为测量自旋提供了方向。原子束被分裂成两束（对于半自旋的原子而言，若是原子具有更高的自旋，则会分裂成多束）。一束给出原子的自旋答案为是，另一束的答案为非。可惜的是，由于一种和我们目的无关的技术上的原因，使得该仪器不能用于测量电子的自旋。测量电子必须用一种更间接的方法。（见莫特和马赛1965。）由于种种原因，我宁愿不去特别提及在实际上如何测量电子自旋。11．富有进取心的读者会介意去检验正文中的几何。最容易的办法是把我们的黎曼球面方向调整得使α方向为“向上”而β方向在由“向上”和“向右”展开的平面上，也就是β方向由在黎曼球面上的q=tan（θ/2）表出，然后用＜x│ψ＞＜ψ│x＞/＜x│x＞＜ψ│ψ＞来计算从│ψ＞到│x＞的跃迁概率。参见注释6。12．在数学上我们说，两个粒子的态矢量是第一个粒子的态矢量空间和第二个粒子的态空间的张量积。所以态│x＞│ψ＞是态│x＞和态│ψ＞的张量积。13．沃尔夫冈·泡利是一位优秀的奥地利物理学家和发展量子力学的杰出人物。1925年，他以假设的形式提出了不相容原理。而对我们现在称作“费米子”的完整的量子力学处理是1926年由极具影响的富有创见的意大利（美国）科学家恩里科·费米和我们已碰到过好几回的伟大的保罗·狄拉克发展的。费米子的统计行为按照所谓的“费米——狄拉克统计”，以与可区别粒子的经典统计“玻尔兹曼统计”相分别。玻色子的“玻色——爱因斯坦统计”是由著名的印度物理学家S.N.玻色和阿尔伯特·爱因斯坦于1924年在处理光子时发展的。14．这是一个如此杰出和重要的结果，值得再给出另一种表述。假定在E测量仪中刚好有两个刻度，向上[↑]和向右[→]，而P测量仪中有两个刻度，向右上方45°[.]和向右下方45°[.]。E测量仪和P测量仪实际上分别使用刻度→和来测量。那么两个测量仪相一致的概率为1[ ][]2(1+cos135°)=0.146..，比百分之十五稍小一些。用这些刻度进行长系列的试验，譬如得到：E：是非非是非是是是非是是非非是非非非非是是非.P：非是是非非非是非是非非是是非是是非是非非是.“√”“√”“√”给出刚好低于百分之十五的一致性。我们现在假定P测量不受E刻度的影响——使得如果E的刻度为[↑]而不是[→]的话，P结果也刚好完全一样——并且由于[↑]和[.]之间的角度和[→]和[.]之间的一样，这样在P测量和新的E测量，譬如叫E的测量之间的一致性就又应该刚好比百分之十五低一点。另一方面，如果E刻度和以前一样为[→]，但是P刻度为[.]而不再是[.]，则E的结果和以前一样，但是在新的P，譬如称作P′的结果和原先E结果之间的一致性只能刚好比百分之十五低一点。由此推出，如果实际使用这些刻度的话，则在P’测量[.]和E测量[↑]之间的一致性不会超过百分之四十五（等于百分之十五加百分之十五加百分之十五）。但是在[.]和[↑]之间的角度为135°而非45°，因此一致性概率应刚好比百分之八十五多一些，而不是百分之四十五。这是一个矛盾，它表明E测量的选择不能影响P的结果（或反之）的假定是错误的！我感谢大卫·墨明提供的这一个例子。正文中给出的例子引自于他的文章（见墨明1985）。15．更早的结果是弗里德曼和克劳塞（1969）在基于克劳塞、霍尼、希莫尼和霍尔特（1969）提出的思想上得到的。还有一点在这些实验中要提到的是，由于所用的光子探测器的效率比百分之百要低得多，所以在发射出的光子中只有相对少的部分在实际上被观测到。然而，即使用这些相对不有效的探测器，测量结果和量子理论的一致性仍是如此完美，很难想象，何以使用更好的检测器会忽然产生比理论更坏的一致性！16．量子场论似乎为不可计算性提供某种新的视界（参见柯马1964）。第七章宇宙论和时间箭头时间的流逝时间的流逝但是，正如我们所知道的，物理告诉我们的却是另一回事。所有成功的物理方程都在时间上是对称的。它们在时间的任何方向上使用都显得一样。在物理学上，将来和过去似乎是平权的。牛顿定律、哈密顿方程、马克斯韦方程、爱因斯坦广义相对论、狄拉克方程、薛定谔方程——如果我们颠倒时间方向（用-t来取代代表时间的座标t），所有这些方程在实质上都不变。全部经典力学以及量子力学的U部分都是完全时间可逆的。现在存在一个问题，量子力学的R部分在实际上是否时间可逆的。这个问题将是下一章论证的中心。此刻，让我们首先避开这个问题，并把它当作这个课题的“传统智慧”，也就是不管其初看起来怎样，R的动作也应该被认为是时间对称的（参阅阿哈拉诺夫，柏格曼和列波维奇1964）。如果我们接受这些，似乎就必须环视四周，看看是否在它处能找到物理定律断言的过去和将来的差别之所在。我们研究这个问题之前，必须考虑在我们时间感觉和现代物理理论教导我们相信的之间另一个令人困惑的偏离。根据相对论，根本就没有什么叫做“现在”的东西。我们所能得到和这最接近的概念是（正如在229页的图5.21所示的）观察者在空间——时间中的同时空间，但是它依赖于观察者的运动！一个观察者的“现在”和另一观察者的不同1。关于空间——时间中的两个事件A和B，第一位观察者U会认为B属于固定的过去，而A属于未定的将来；而对于第二观察者V可变为A属于固定的过去，而B属于未定的将来！（见图7.1）。只要A和B中的任何一个事件是确定的，我们就不能完全有意义地断言另一个事件是否仍是未定的。回想一下230页的讨论以及图5.22。两人在路上相遇。按照其中一人，仙女座大星云空间舰队已经启程，而另一人却认为，还没有决定是否实际进行这次航行。那个已经决定的结果怎么还会有某种不确定呢？如果对于其中一个人而言决定已做出，那很清楚不能再有任何非确定性。空间舰队的启程已是不可避免。事实上他们中没有任何一个人知道空间舰队的发射。他们将来只能在地球上的望远镜观测揭示了舰队的确已在航程中时才知道。然后，他们可以回到原先邂逅之处2，并且得出结论道，在那个时刻，按照其中一人，这个决定于未定的将来才做，而对于另一人，决定已在固定的过去做过。那时关于未来是否确有任何未定之处？或者是否两人的未来都已被“固定了”？图7.1时间真能流逝吗？从观察者U看来，B在“固定的”过去，而A还处于“未定的”将来，观察者V的观点刚好相反！情况似乎变成，如果任何事情完全确定，则整个空间——时间应该的的确确是确定的！不可能有“未确定的”未来。整个空间——时间必须是固定的，没有任何不确定的疆域。的确，这似乎正是爱因斯坦自己的结论（参阅派斯1982，444页）。此外，根本就没有时间流逝。我们只有“空间——时间”——并且根本就没有正在被确定的过去无情侵占的未来疆域！（读者也许会诧异量子力学的“不确定性”在所有这些中扮演什么角色。我将在下一章回到量子力学引起的这一问题。此刻，最好只按照纯粹经典的图像来思考这一切。）依我看来，在我们关于时间流逝的意识感觉和我们关于物理世界的实在的（超等精密的）理论所作的断言之间存在着严重的偏离。假定（正如我所相信的）知觉的更基础的某种东西一定能在和某种物理的关系中得到理解的话，则这些偏离必须在实际上告诉我们这种物理的一些深刻的内容。看来不管什么物理在起作用，它至少必须有一根本的时间反对称要素，也就是说它应该能把过去和将来区分开来。如果物理的定律不能区分将来和过去——并且甚至连“现在”这个概念和相对论都不能和谐相处——那么究竟何处可以寻找到和我们自以为理解世界的方式更一致的物理定律呢？事实上，事情并非像我似乎要表明的那样具有这样大的偏离。我们的物理理解除了仅仅是时间演化的方程以外，还包含有牵涉到时间不对称的重要部分。其中最重要的是热力学第二定律。我们先要对这一个定律有所了解。熵的无情增加熵的无情增加图7.2）。现在让我们把这图像在时间的相反方向表演。由于这些定律的时间可逆性，这些水可以一样容易地从地毯和地板缝隙中流出，流进一个从许多碎片拼凑而成的玻璃杯中，这整体从地板上刚好跳跃到桌子的高度，然后停在它的边缘上。正如杯子落下打碎的过程一样，所有这一切又都和牛顿定律相符合。图7.2力学定律是时间对称的；但是由右图到左图这样景象的时间顺序从未实现过，而由左图到右图则是司空见惯的。读者也许会问使杯子从地板上升到桌子上去的能量从何而来。那没有问题。不可能有能量的问题，因为在杯子从桌子落下时，从下落得到的能量必须跑到某处去。下落杯子的能量事实上变成热。在杯子摔到地面的时刻，杯子碎片、水、地毯和地板的原子会以一种比以前更快一些的杂乱的方式运动。也就是说，玻璃片、水、地毯和地板会比这发生之前仅仅变得稍热一些（不管蒸发引起的可能的热丧失——但是在原则上，那也是可逆的）。由于能量守恒，这热刚好等于这杯水从桌子上落下时的能量损失。所以，这些热能也刚好是足以使玻璃杯重新举到桌子上的能量！注意，在我们考虑能量守恒时把热能也计入是很重要的。把热能也包括进去的能量守恒定律称为热力学第一定律。由牛顿力学推导而来的热力学第一定律是时间对称的。第一定律并不以任何方式限制玻璃和水，从而排除碎片聚集成杯子，并且充满水后奇迹般地跳回到桌面上的可能性。我们从未看到这类事情发生的原因是，在玻璃碎片、水、地板和地毯中的原子的“热”运动全是极其紊乱的，所以大部分原子都在错误的方向上运动。为了聚集玻璃碎片并收回所有溅开的水，而且最后优美地跳回到桌子上，必须以不可思议的精确度把它们的运动协调起来。可以肯定的是，这样协同的运动实际上是不存在的！只有极其侥幸地，也就是如果真有这样的“魔术”发生的话，才会有这种协同。然而沿着时间的另一方向，这种协同运动则是司空见惯的。假定在物理状态的某种大尺度变化发生（这里是玻璃杯被打碎，水流走）之后而不是之前，粒子以协同的方式运动，我们并不把这些认为是侥幸。在此事件以后，粒子的运动的存在必须是高度协同的；由于这些运动具有这类性质，所以如果我们以完全精确的方式去颠倒每一个别原子的运动，则结果正是集中碎片，充满水并把水杯刚好举到出发之处所需要的行为。集中碎片，充满水并把水杯刚好举到出发之处所需要的行为。的U过程）对于未来方向的演化并没有什么特权。它们可以一样好地适用于向过去方向的演化。未来之决定过去犹如过去之决定未来。我们可以用某种任意的方式指明系统在将来的某一个状态，并用之来计算过去应该是什么样子的。如果我们允许在时间的正常未来方向演化方程时，把过去当作“原因”，而把将来当作“效应”；则在时间的过去方向上，我们就可以应用演化方程的同等有效的步骤，并且显然地应该把将来当作“原因”，而把过去当作“效应”。然而，在我们使用“原因”和“效应”的术语时牵涉到其他的某些东西，这根本就不是哪个事件发生在过去、哪个发生在将来的问题。让我们想象一个假想的宇宙，而且我们自己宇宙中的时间对称的同样的经典方程可适用于它。但是，在这宇宙中人们熟悉的行为（例如，一个玻璃杯被打碎，水流走）和这些行为的时间反演的发生共存。随同我们比较熟悉的经验，假定有时玻璃碎片真的聚集起来，神秘地充满了流走的水，然后又跳回到桌上去；还假定，有时搅伴煮熟的鸡蛋魔术般地恢复回来并最后飞回到打碎的蛋壳里，蛋壳完好地聚集起来，并把它新得到的内容封好；从溶解在甜咖啡中的糖会形成一块方糖，并自动地从杯子里跳回到某人手中。如果我们生活在这类事为司空见惯的世界中，我们肯定不会把这类事件的“原因”归结成奇异的有关单独原子的相关行为的不可能的机遇，而是认为是某种“目的论效应”。由于这种效应，自装配的物体有时力求得到所需要的某种宏观的结构。“看！”我们会说，“它正在重新发生。那团乱七八糟的东西正把自己聚集成另一杯水！”我们会毫无疑问地认为，原子的目标是如此之精确，因为这是产生桌子上的一杯水的方式。桌子上的杯子变成“原因”而地面上显得杂乱的一团原子是“效应”——尽管这个“效应”在时间上比“原因”发生得更早。类似地，在搅拌煮熟的鸡蛋中的原子的精细组织的运动不是向聚集的鸡蛋壳跳回的“原因”，而是未来所发生的“效应”；糖块不是“因为”原子以非凡的精度运动，而是由于某个人——显然是在将来——要把糖块抓到手里，所以才集合起来并从杯子里跳出来！当然，在我们的世界中看不到这类事的发生——或者可以更好地表达成，我们没看到这些事和那些正常类型的事共存。如果所有我们看到的都和上述的那样反常，则我们不会有任何问题。只要在我们所有的描述中把“过去”和“将来”，“以前”和“以后”等等术语互相交换一下就可以了。可以认为时间沿着和原先认定的相反的方向前进，那个世界就可描述成和我们自己的世界一样。然而，我在这里摹想另一种不同的可能性——水杯的破碎和聚集能共存。在这样的世界中，我们不能仅仅靠改变时间进展的方向的习惯方法来恢复我们所熟悉的描述。当然，我们的世界刚好不是那样子，为何不是那样子？为了着手理解此事实，我要求你尝试想象这样的一个世界，并惊异我们会如何描述其中发生的事情。我要求你接受，在这样的一个世界中，我们一定能把粗糙的宏观的东西——诸如一满杯水，没有碎的蛋，手中的方糖——描述成提供的“原因”，而将详细的、或有精密关联的个别原子运动当作“效应”，而不管“原因”是否处于效应的将来或过去。当然，在我们的世界中看不到这类事的发生——或者可以更好地表达成，我们没看到这些事和那些正常类型的事共存。如果所有我们看到的都和上述的那样反常，则我们不会有任何问题。只要在我们所有的描述中把“过去”和“将来”，“以前”和“以后”等等术语互相交换一下就可以了。可以认为时间沿着和原先认定的相反的方向前进，那个世界就可描述成和我们自己的世界一样。然而，我在这里摹想另一种不同的可能性——水杯的破碎和聚集能共存。在这样的世界中，我们不能仅仅靠改变时间进展的方向的习惯方法来恢复我们所熟悉的描述。当然，我们的世界刚好不是那样子，为何不是那样子？为了着手理解此事实，我要求你尝试想象这样的一个世界，并惊异我们会如何描述其中发生的事情。我要求你接受，在这样的一个世界中，我们一定能把粗糙的宏观的东西——诸如一满杯水，没有碎的蛋，手中的方糖——描述成提供的“原因”，而将详细的、或有精密关联的个别原子运动当作“效应”，而不管“原因”是否处于效应的将来或过去。当我们谈到低熵态的“特殊性”时，很重要的一点是要意识到，我们指的是显明的特殊性。因为，在一个更微妙的意义上，这些情形下的高熵态，由于个别粒子运动的非常精密的协调，正和低熵态一样地是“被特别地安排的”。例如，在打碎杯子后流到地板缝隙中的水分子的似乎随机的运动其实是非常特殊的：其运动是如此之精密，如果它们所有都刚好颠倒过来，则原先的低熵态也就是桌子上的完好的、装满水的杯子就会被恢复。（情况必定如此，由于所有这些运动的反演刚好简单地对应于时间方向的反转——依此杯子会聚集好，并跳回到桌子上去。）但是，所有水分子的这种协调的运动并非我们称为低熵的那种“特殊性”。熵是指显明的无序性。存在于粒子运动的精确的协同的有序不是显明的有序，故不能用以降低系统的熵。所以，流出的水中的分子的有序性在这种方式中不能算数，它的熵是高的。然而，在完好的一杯水的显明的有序给出了低的熵值。这里表明的是这样的一个事实，即粒子运动只有少数几个可能的形态和一个完好装满水的杯子的显明形态相一致；相对来说，有更多得多的运动与地板缝中稍微加热的流水的显明形态相一致。热力学第二定律断言孤立系统的熵随时间增加（或对于一个可逆的系统保持常数）。我们不能把协同的粒子的运动当作低熵。如果算的话，根据此定义，系统的“熵”就会永远是常数。熵概念只能指的确是显明的无序性。对于一个和宇宙的其余部份隔离开的系统，它的总熵增加。所以，如果它从某种显明的组织好的状态出发的话，该组织在过程中就会被腐蚀，而这些显明的特征就转化成“无用的”协同的粒子运动。第二定律似乎是一椿绝望的裁决，因为它断言存在一个无情和普遍的物理原则，它告诉我们组织总是被不断地损坏。我们将来会看到，这个悲观的结论并非完全合适！什么是熵？什么是熵？我们记得在第五章中，能量以及动量和角动量的物理概念可以按照粒子的位置、速度、质量和力在数学上被精确地定义。我们怎能期望“显明无序性”的概念也做到一样好，使之成为一个数学上精确的概念呢？显然，对于一个观察者“显明”并不表明对另一个观察者亦是如此。它是否取决于每位观察者对被观察系统的测量精度呢？一个观察者用一台更好的测量仪也许能比另一个观察者得到关于系统微观结构的更细致的信息。系统中更多的“隐藏的有序”也许对一个观察者是显明的，对另一个观察者却是另外一回事。相应地，前者会断言熵比后者估算的要低。不同观察者的美学判断似乎也会被牵涉到那些被定为“有序”而不是“无序”的东西。我们可以想象，有些艺术家的观点认为一堆破碎的玻璃片远比曾经待在桌子的边缘上丑陋吓人的杯子更为美丽有序！熵是否会在这种具有艺术感觉的观察者的判断那里被降低呢？尽管这些主观性的问题，使人惊异的是，在精密的科学描述中熵概念是极其有用的。这一点是无疑的。这么有用的原因在于，一个系统按照细致的粒子位置和速度从有序向无序的转变是极其巨大的，并且（在几乎所有的情况下）完全把在宏观尺度上关于何为“显明有序”的观点的任何合理的差别完全淹没。特别是艺术家或科学家关于聚集或破碎的玻璃哪种更有序的判断，以熵的测度来考察，则几乎毫无结果。迄今为止对于熵的主