第18节：中国纸币的起源(9)　　表4.1 南宋流通的会子数量　　发行号 流通期 票子数量　　（百万贯） 发行时流通的总量　　（百万贯）　　1 1168-1171 10 10　　2 1170-1173 10 20　　3 1171-1180 10 20　　4 1173-1183 10 20　　5 1180-1186 10 20　　6 1183-1189 18 28　　7 1186-1195 23.23 [41.2]*　　8 1189-1198 ? [46.5]　　9 1195-1204 30 [53.2]　　10 1198-1204 ? [60.0]　　11 1204-1211 36.33 83.9　　12 1204-1211 47.58 83.9　　13 1207-1211 55.48 139.4　　14 1211-1234 112.63 232.4**　　15 1211-1234 119.80 232.4**　　16 1231-1240 133.55 365.9　　17 1234-1264 139.86 273.4　　18 1240-1276 ? ?　　* 括号中的数字是估计的数字，其依据是第8期和第10期的发行量分别与第7期和第9期的发行量相同。　　** 从第14期开始，宋朝政府放弃了流通期限固定的原则，在更长的时期内发行同一期票子。因此，与第14期和第15期相对应的总流通量是指它们在流通期内（1211-1234年）总量，而不是它们第一次发行时的数量。　　但是，在12世纪90年代早期，由于流通中的票据过多导致“会子”的价值急剧下降。1206年，宋朝政府对金国发动了一场注定会失败的战争，两年之后，这一战争也的确是以南宋政府的战败而结束的。四川当地的军事将领们趁机纷纷宣布独立，虽然后来宋朝恢复了对四川地区的统治，但是，这些内外战争的花费加起来大大超过了当时财政体系的承受能力。1207年，宋朝政府第一次允许三期“会子”同时流通，总额达1亿4千万贯。如此荒唐地印制纸币导致了货币大幅度贬值，“会子”的市场价值迅速跌破了其面值的一半以上。1209年，战争结束之后，宋朝政府试图恢复“会子”票据的价值，具体做法是通过硬币支付、政府封地、商品专卖和官位提升等手段来回收第11期“会子”的三分之二。两年之后，即1211年，宋朝政府用第14期和第15期“会子”回收了第11期、第12期和第13期的“会子”。当时，宋朝政府下定决心要减少流通中的“会子”票据，规定旧的“会子”票据只能按2:1的比率兑换新的“会子”票据。然而，宋朝政府人为宣布第11期、第12期、第13期“会子”贬值的做法是非常不明智的，它使人们彻底失去对“会子”票据的信心。旧的“会子”市场就这样崩溃了，新的“会子”票据的也失去了可信性，后来宋朝政府新发行的“会子”票据的市场价值只有其面值的60%左右。　　从1168年开始，改革后的“会子”纸币体系仅限于宋朝的东南地区，当时人们通常将这一货币称作“东南会子（“southeastern huizi”）”。在与金国休战期间，宋朝政府发现自己已经陷入了地方性的货币战争。1127年，金国攻克开封，并缴获了宋朝的大量铜钱、黄金和白银。1141年，宋朝与金国签订了所谓“和平条款”，按照和平条款的规定，宋朝每年要向金国支付大量白银和丝绸，作为战争赔款，而此时，金国也正在遭受硬币短缺的痛苦。不过，在金国占领区内，铜钱的购买力远远高于宋朝统治区，所以，宋朝统治区内的铜钱源源不断地流向金国占领区，同时，还外流到朝鲜、日本和东南亚地区。不过，这一流动是秘密进行的，因为硬币出口是被严格禁止的。金国为了保证其统治区内的硬币不会再回流到宋朝，因此，在与宋朝接壤的边境线上建立了一个“货币缓冲区（a coin-free buffer zone）”。1154年，金国也发行了自己的纸币，名为“交钞(jiaochao)”或“交易代金券(exchange voucher)”，用于替代黄河沿岸边境地区流通的铜钱，同时，禁止在这一地区使用铜钱。第19节：中国纸币的起源(10)　　宋朝政府对此做出反应，也建立了自己的“货币缓冲区”。1165年，宋朝政府发行了新的“交子”货币，即“淮南交子（huainan jiaozi）”，淮南交子”仅限于在位于淮河和长江之间的淮南地区流通，同时还从这一地区撤回铜线。 但是，“淮南交子”并没有能够得到人们的认可，两年之后被宋朝政府收回了。1170年，宋朝政府又尝试了一项新的改革，这是一种完全不同的策略，即在淮南引入铁钱，并要求铁钱与以铜钱标明币值的“会子”纸币同时流通。此后，（在1192年至1202年之间，以及1218年之后），宋朝政府再一次尝试在淮南建立一个地区性的纸币体系，也只是取得了有限的成功。并且由于此前发行的“淮南交子”是用这个地区的铁钱标明币值的，不能兑换成以铜钱标明币值的“会子”，这就造成了淮南地区与东南地区的贸易障碍。1160年，宋朝政府发行了另一种地区性的纸币，名为“湖会（huhui）”，在湖北与金国的边境地区使用，这一地区正好位于淮南与四川之间。淮南和湖北纸币 使用中的地理区域非常有限，削弱了它们在交易中的作用，这两种货币 甚至比“东南会子”（“southeastern huizi”）贬值得更快。因此，在宋朝统治的最后一个世纪中，中国事实上被分成了四个不同的货币区（见原著p.74图）：一是首都和东南地区（“会子”和铜钱）；二是四川地区（“钱引”和铁钱）；三是淮南地区（“交子”和铁钱）；四是湖北地区（“湖会”、铜钱和淮南铁钱）。这四个货币区恰好对应宋朝政府建立的四个总军需部(总领所)的管辖区，它们负责宋金边境驻军的财政管理和军需供给。这一重叠 证明了南宋纸币作为国家支付手段的首要目标。同时，在不同程度上，各个地区的纸币也被成功地用作私人贸易的主要交易工具，尤其是在工商业较为发达的东南地区和四川地区。　　1206-1208年，爆发了宋朝与金国的战争，尽管金国取得了胜利，但其经济和军事实力都被战争大大地削弱了。1211年，成吉思汗对金国发动了大规模的战争，1215年，占领金国的首都（今天的北京）和金人的满洲家乡。金国政府被迫逃至原北宋首都开封，并计划通过财政政策来为其军事和国防筹集资金，包括创造一种新的纸币—“国库凭证（treasure certificates）” ，也叫做“宝券（baojuan）” 。金国纸币的迅速贬值可由其发行的“国库凭证”面额的迅速增加来证明（10贯，20贯，50贯，100贯和1000贯）。这些应急措施使事情变得更加糟糕。金国官员在开封和地方辖区内肆意印制纸币，很快又使新货币失去了信誉，“宝券”开始大幅贬值。虽然金国朝廷勉强支撑了20年，但是，其财政体系和货币体系早已崩溃了。1234年，当金国最终被蒙古人灭掉时，金国的纸币在市场上已经完全消失，仅有的贸易是以白银作为交易媒介来进行的。第20节：中国纸币的起源(11)　　当金国忙于应付蒙古人入侵时，宋朝有了一个暂时的喘息机会，但是，宋朝的货币体系在13世纪30年代遭受到了另外一系列的冲击。1231年，杭州大火焚毁了首都大片地区，包括皇室宗庙。巨大的重建费用迫使宋朝政府发行新的“会子”（第16期）。新纸币的大量发行使“会子”的市场价值降低到了220文的历史新低。1234年，宋朝政府再一次发行了新的“会子”（第17期），与此同时，用黄金、白银和食盐代金券来收回第14期和第15期“会子”，第14期和第15期“会子”已经流通了23年之久。　　当时，用于印制“会子”的纸张质量显著下降，也成为第17期和18期“会子”迅速贬值的原因。自12世纪60年代“会子”票据流通以来，用于印制它们的纸张一直来自四川和安徽的池州和徽州，这两个地区以生产优质纸张而闻名天下，这些优质的纸张主要用于绘画、书法和精美书籍。四川的桑皮纸质量最好（并且最难仿造），也最为贵重。那时“会子”是在宋朝首都杭州印制的，由于四川距离杭州的路途十分遥远，为了降低成本，所以用于印制第17期“会子”的纸张由两部分组成：一部分是库存的、非常昂贵的四川桑皮纸；另一部分是杭州本地生产的、质量较低的廉价纸。第18期“会子”的印制全部使用了杭州本地生产的质次价廉的纸张。由于劣质纸张更易于仿造，因此，使用杭州本地生产纸张印制纸币的做法，进一步侵蚀了第17期和第18期“会子”的价值。　　* * *　　1260年，忽必烈（1215-1249年）当选为蒙古大可汗，这意味着宋朝的灭亡。忽必烈的先辈们渴望征服西亚，而忽必烈的雄心却是成为中国皇帝。1236年，21岁的忽必烈已经在中国北部的前金国统治区内被赐予了封地，此后，他显示出了卓越的行政和军事领导才能。1264年，忽必烈击败竞争对手，赢得了大汗宝座，之后，他很快把注意力转向了征服宋朝。同年，宋朝皇帝理宗（大约1224-1264年）驾崩，留下一个10岁的侄子继承了皇位。理宗的丞相贾似道(1213-1275年)趁此机会控制了宋朝政权，并推行了一个“彻底的财政改革计划”（the program of radical fiscal reform）。贾似道试图通过重新分配纳税负担来增加政府收入，最为臭名昭著的做法是强迫地主将其大部分财产出售给国家，而国家支付给地主的是“会子”票据。贾似道还实施了所谓“深远的货币改革”（the far-reaching monetary reform），1264年12月，他宣布建立新货币——“黄金/白银/现币担保”（gold/silver/ready coin surties），也叫作“金银现钱关子”（jinyin xianqian guanzi），用于取代第18期“会子”，兑换比率是一新贯换三旧贯，而第17期“会子”则被宣布作废，并且不能兑换。无论名称多么好听，贾似道的新货币实际上是不能兑换任何铜钱或贵金属的，再加上他公然宣布废除了第17期“会子”，引起市场恐慌，物价水平再次疯狂上涨。在接下来的几年里，宋朝政府多次发布命令，禁止贾似道的新“关子”贴现，但收效不大。为了生产新货币，宋朝政府发布命令，要求四川每年提供2000万张优质桑皮纸，由于蒙古军队攻入四川（1271年，蒙古人攻陷四川），这一计划没有得到执行，贾似道的所谓财政改革和货币改革以失败而告终了。1276年，忽必烈的军队攻占宋朝首都杭州，废黜了最后一个宋朝皇帝。第21节：中国纸币的起源(12)　　1234年，蒙古征服金国之后，蒙古统治者把金国的统治区域划分成了若干封地，赏赐给蒙古贵族，其中，包括未来的大汗忽必烈。这些蒙古贵族继续沿用金国的做法，发行以丝绸纱或白银标明币值的纸币，这些纸币仅仅在各自的辖区内流通。在大多数情况下，前金国统治区的蒙古最高领主以丝绸的形式收取贡品。成吉思汗的先辈，作为大汗，偶尔也发行纸币，但数量十分有限。1260年，忽必烈就任大汗，他用统一的、中央集权的国家形式取代了中国北方各种各样的独立王国。1272年，忽必烈按照中国传统方式，给这个统一的、中央集权的国家取名为“元”（1272-1368年）。为了实现“统一”和“集权”的目标，忽必烈和他的汉人辅臣们试图建立一个统一的货币标准，以促进前金国统治区与位于中西亚的蒙古地区之间的贸易活动。就任大汗几个月之后，忽必烈宣布引入一种新的纸币，名为“中统元宝交钞”（zhongtong yuanbao jiaochao），简称“中统钞”(zhongtong chao)，作为元朝帝国的货币体系基础。虽然以铜钱标明币值，“中统钞”却不能兑换白银。为了鼓励人们使用自己的新货币“中统钞”，忽必烈禁止在市场交易中使用铜钱。　　1276年，杭州失陷，宋朝随即灭亡，给蒙古人留下了巨大的行政管理和财政管理任务。宋朝统治区共有6000多万人口，是旧金国统治区人口的两倍，更有着十分复杂的商业活动和经济关系。为了满足财政管理和私人商业交易的需要，元朝政府迅速增加纸币供给，并允许宋朝“会子”的持有者按照50:1的比率兑换“中统钞”，而那时“会子”几乎一文不值了。新货币“中统钞”的发行量很快超过了元朝政府的白银储备，使元朝政府关于“中统钞”可以兑换硬通货的承诺无法实现。1282年，元朝政府颁布了一系列新的货币管制措施，禁止用黄金和白银进行私人交易，自此，“中统钞”事实上成为不可兑换的货币。后来，元朝政府把“中统钞”的记账单位从铜钱改为白银（以两或其“十进制”的小数计量），价值计量单位变成白银并不意味着白银本身就是货币标准，而是意味着纸币将取代白银成为交易媒介。与晚期的宋朝政府一样，元朝政府仍然要求大部分税收用银块支付，尤其是商品税、商业税和消费税。　　当元朝政府的“中统钞”无法兑换硬通货 之后，“中统钞”急剧贬值，迫使元朝政府对其法定货币进行调整。1287年，元朝政府发行了新的纸币“至元钞” （zhiyuan chao），并且规定1贯“至元钞”兑换5贯“中统钞”，事实上，“中统钞”已经贬值了80%左右。与此同时，元朝政府特别宣布，“至元钞”是纯粹的法定货币，不能兑换硬通货。最初，为了保持货币稳定，元朝政府限制并减少了“至元钞”的发行，后来，到了14世纪之交，元朝政府的财政官员再次屈服于滥发纸币的诱惑而大量发行“至元钞”。事实上，尽管官方交换比率有利于“至元钞”，但是，市场上“中统钞”的价值始终都等于或大于“至元钞”。市场之所以给予“中统钞”溢价，是因为“中统钞”可以兑换白银，而“至元钞”却不能。无论如何，在私人交易中，旧的宋朝硬币和白银比新的明朝纸币更受欢迎，此时，越来越多的人怀疑纸币，拒绝接受纸币。1309年，明朝政府又进行了另外一次货币改革，发行一种新的纸币“至大钞”（zhida chao），尽管“至大钞”也不能兑换白银，但却正式以白银为单位标明币值，元朝政府还第一次试图通过铸造铜钱来配合新纸币的发行。不过，新的硬币（铜钱）一离开铸币厂就从流通中消失了，与已有的纸币相比，被过高估值的“至大钞”一直没有为人们所接受。1311年，元朝政府宣布，停止发行“至大钞”和铜钱。屈服于私人贸易中的习惯，元朝政府重新把“中统钞”作为价值标准，并且取消了黄金和白银不能作为交易媒介的禁令。第22节：中国纸币的起源(13)　　明朝（1368-1644年）的建立，拉开了中国古代纸币历史的最后一幕。明朝第一任皇帝是朱元璋（年号洪武，大约是1368-1398年），朱元璋的最初计划是恢复历史悠久的铜钱作为货币本位，但是，明朝的铜矿无法生产出足够的金属来铸造份量充足而又便宜的硬币。1375年，朱元璋决定引入他自己的纸币-----“大明通行宝钞”（Da ming tongxing baochao），简称“大明宝钞”( Da ming baochao)。朱元璋试图让“大明宝钞”成为最主要的交易工具和税收支付工具，而铜钱则继续作为补充。与元朝的纸币十分相近，“大明宝钞”的面额较小，从100文到1贯。当时，非铸币白银是事实上的货币本位，在这种情况下，为了巩固纸币的地位，明朝政府明令禁止贵金属作为交易媒介使用，并且，明朝政府从一开始就明确规定“大明宝钞”不能兑换铜钱或其他任何金属货币。　　于是，“大明宝钞”在市场上饱受冷遇，人们拒绝接受和使用它。这在很大程度上是因为朱元璋需要庞大的财政支出，而明朝政府的财政收入是远远不能满足的。因此，从一开始，“大明宝钞”就未能保持其面值，在其后的20年中，在纸币与铜钱之间犹豫不决的明朝政府突然转向，1394年，在“大明宝钞”价值下降到不足面值20%时，明朝政府采取了极端措施，即禁止在市场交易中使用它自己发行的货币，随之发生的经济混乱进一步加速了“大明宝钞”的贬值，迫使人们逃向白银。尽管明朝政府明令禁止在交易中使用白银，至到朱元璋在位的末年仍然在反复强调的这一禁令，但是，白银是实际上的交易的价值标准，这一地位从来没有动摇过。　　明朝第三任皇帝朱棣（年号永乐）的经济大臣更加肆无忌惮。永乐年间的海外探险，包括著名的郑和船队海外探险，以及明朝皇帝决定把首都从南京迁往北京等活动都需要庞大的财政开支，最终造成了持续增加的财政赤字，这些赤字显然是无法通过印制更多纸币来解决的。15世纪30年代，明朝政府终于屈服于现实，放弃了它自己发行的纸币——“大明宝钞”，被迫承认白银在私人交易中的主导地位。后来，明朝政府逐步把其最重要的收入来源即税收转为用白银支付，并且停止了纸币发行和铜钱铸造。尽管白银没有用于铸币，但是，白银一直是明朝和后来清朝（1644-1911年）的价值标准。其中一个重要原因是16世纪以来，中国陆续从日本和美洲西班牙进口了大量白银。在财政危机时期，比如，在1644年明朝灭亡时、在19世纪30年代至40年代的“经济大萧条”时期，都有人建议政府恢复纸币印制和发行，但是，都被驳回了。在19世纪，中国的和外国的私人银行开始发行可转让票据。由于在鸦片战争中失败之后，中国的中央政府日益虚弱，已经失去了发行统一货币的能力。19世纪50年代至60年代，极具破坏性的太平天国运动给中国经济带来了巨大灾难，清朝政府在这一时期发行了纸币，但使用的时间很短。一直到1935年，在中华民国时期，中国政府才再次有了统一的纸币体系。　　中国的纸币历史证明，国家及其财政政策对于保持纸币的价值至关重要。纸币和商品代金券之类的票据在宋朝及其后继诸王朝的财政管理中发挥了十分重要的作用，它们还在特定的历史时期和特定的地区作为私人贸易的交易媒介。事实上，宋朝的两种主要纸币——“钱引”和“会子”，也可统称“交子 ”——最初都是由私人放债人发行的。作为交易媒介，尤其是作为远距离的汇款手段，金属货币具有明显的局限性，这就鼓励了纸币作为金融货币的替代品出现了。宋朝政府终于认识到了，他们无法生产出足够的铜钱来满足迅速发展的经济和商业需要，因此，纸币对于经济和商业发展来说是非常重要的。在接管私人发行的纸币时，宋朝政府重申了一个历史悠久的格言：统治者通过控制货币供给来管理经济。当然，面对财政危机，宋朝政府和后来的金国政府、元朝政府、明朝政府都未能抵御过度发行纸币的诱惑，结果都出现了货币贬值和物价飞涨。缺乏远见的财政政策和货币政策毁灭了一种又一种纸币，以及此后各朝代围绕着纸币的永无休止的争论。尽管这些纸币的这些早期试验最都失败了，但是，我们不能由此否认中国政府在创建纸币体系中的努力和探索，尤其在第一种纸币的诞生地四川。宋朝政府发明、发展了一系列复杂的财政政策和货币制度，包括纸币，使得政府能够以前所未有的规模来调动经济资源。宋朝纸币在很长时间内一直作为民众向政府纳税的手段、作为私人进行商品交易的媒介，这的确是一个杰出的贡献。第23节：斐波纳契与金融革命(1)　　第七章 斐波纳契与金融革命　　Eilliam N. Goetzmann　　现值分析是把货币的时间价值考虑进去，以比较不同支付流的相对经济价值的一个方法。数学上把所有的现金流都换算到同一个时点上，使得投资者可以非常清楚地决定哪一个支付流是最好的。根据近期对公司财务官的一项调查，现值准则几乎是所有大公司资本预算决策中都采用的准则。〔1〕今天的现值公式是由经济学家欧文?费雪（Irving Fisher）在1930年提出的。然而，它在西方思想的传统中有着更深远的渊源。〔2〕杰弗里?珀特阿斯（Geoffrey Poitras）对金融经济学的早期历史的出色研究，把与利率有关的问题追溯到了15世纪的欧洲。〔3〕现值准则也许是有更早的历史渊源。在这一章里，我的基本观点是，现值准则的一个重要的早期表述来自中世纪最著名数学家——比萨的莱昂纳多（Leonardo）（1170-1240年）即我们通常所说的斐波纳契（Fibonacci）著作。　　此处有图片p124　　比萨的莱昂纳多所著《算经》。这个有残缺的版本的日期大约是13世纪90年代。现存最早的《算经》是根据拉丁文原本的一部分译成意大利文。尽管日期不详，语言和风格可以证明这个版本的确是13世纪90年代的作品。第24节：斐波纳契与金融革命(2)　　莱昂纳多为金融计算提出了一个详细和复杂的数学方法。他不仅是他所处时代的商业问题的出色分析者，而且是一位早期金融工程师，在中世纪和文艺复兴时期，他的著作对于推动欧洲资本市场的发展发挥了重要作用。1202年，斐波纳契在比萨城完成他的《珠算原理》（《算经》），该书以斐波纳契级数而闻名。斐波纳契级数描述了人口的几何增长，这个著名的级数仅仅是该书中的一个例子，《珠算原理》致力于贸易、估值和商业套利中的数学问题。《珠算原理》发展了实用的数学工具，这些工具可以用于计算现值、复利、几何级数的估值、利润分配、商品定价和包括多种重量、度量和现金情况下的货币的定价。　　下面的目录可以让我们了解该书的结构和涵盖的题目。〔4〕　　《珠算原理》的目录　　1. 第一章的开始　　2. 整数的乘法　　3. 整数的加法　　4. 一个较大的数减去一个减小的数　　5. 整数的除法　　6. 整数与分数的乘法　　7. 带有分数的数的加法、减法和除法以及通分　　8. 用本金法则计算商品的价值　　9. 商品与类似物品的物物交换　　10. 公司及其成员　　11. 货币的减低成色　　12. 第12章开始　　13. Elchataym方法和如何用它解决数学中的几乎所有问题　　14. 计算平方根和立方根，它们的乘法、除法和减法，以及二项式和apotomes的处理和它们的根　　15. 论几何准则、代数和Amuchabala问题　　《珠算原理》从对算术基础的阐述开始，接着是关于估值、相对价值、公司和冶金术的章节。其中，第12章包含了范围广泛的各类问题，包括利率和现值等；第13章是用内插法求解的方法；第14章和第15章给出了更为抽象的代数结果。该书的论述从简到繁，是按照一本指导手册来编排的，而且很有可能莱昂纳多自己也用它来教授商业算术。　　《珠算原理》之所以重要，不仅因为其内容和应用，还因为其历史和经济背景。《珠算原理》是在东西方之间进行频繁的商业交往的时代写成的，而这些商业交易在东西方的历史中是史无前例的。意大利商人与阿拉伯世界之间存在着活跃的贸易活动，把具有异国情调的货物带到了日益繁荣的欧洲。这个时期的欧洲经济充满活力，经济的发展刺激了应用数学的发展，为数学知识的应用创造了机会。数学知识反过来又成为欧洲在接下来的几个世纪中推动经济腾飞的一个重要因素。莱昂纳多之后的五百年见证了今天我们所知道的资本主义的所有金融工具在欧洲的发展：有限责任公司的股份、长期政府债券和公司债券、活跃的国际资本市场、人寿保险、年金、互助基金、衍生产品债券和普通[储蓄]银行，这些历史性的发展很多都源于斐波纳契第一次用数学进行契约分析。也许正是由于他把数学应用于当时的工商业，才有了后来举世闻名的创新和西方资本主义的发展，对于后者相对我们比较熟悉。第25节：斐波纳契与金融革命(3)　　斐波纳契和13世纪的商业世界　　欧洲商业革命为什么起源于中世纪？很多学者怀着浓厚兴趣对些问题进行研究，产生了一大批具有重大价值的学术成就，从晚年的罗伯特?洛佩兹（Robert Lopez）和他的学生对资本主义起源的广泛研究，到晚年的费迪南德?布罗代尔（Ferdinand Braudel）和他的追随者以地理学为基础的数量研究。无论是定性还是定量的历史学分析，都详细描述了公元1000年之后贸易和商业在突然欧洲出现，绝大多数学者都将其描述为一场商业革命，以及世界从黑暗时代（Dark Ages）的经济觉醒。〔5〕为了更好地理解发生在这一时期的历史巨变，最近，经济学家开始分析长途贸易所依赖的制度结构。意大利城市发展了与外国商人进行贸易的新方式，比如，创建内部和外部都承认的联盟和商业协会。〔6〕在13世纪的中世纪欧洲商人世界中，阻碍欧洲地区贸易活动的因素很多，比如糟糕的道路、五花八门的货币、不断变化的法律标准和缺乏信贷活动的金融市场，这些困难本身也为那些不怕困难的企业家创造了机会。〔7〕当时，欧洲大陆各个富裕的城市中心都需要具有异国情调的货物，一些雄心勃勃的商人和银行家希望满足这些需求，他们的贸易活动使得商业纽带伸展到了欧洲之外，甚至延伸到了地中海南岸和东岸，从中东进口货物，或者偶尔从更远的地方进口货物。例如，马可.波罗（Marco Polo）和他的兄弟们在黑海地区建立了一个威尼斯贸易站，也许当时他们只是为了收集了旅行者关于遥远中国（Cathay）的事情。从黑海出发，马可.波罗和他的兄弟们开始了驶往中国的远航。　　斐波纳契和他的家族也参与了这场商业革命。〔8〕根据莱昂纳多在《珠算原理》中的简单的自我介绍，他的父亲是比萨的一位行政官员，比萨位于北非的布吉亚（Bugia）殖民地。年轻的莱昂纳多被招募到殖民地，并在那里按照他父亲的要求接受阿拉伯数学方法训练。作为斐波纳契所接受的双重文化教育的一个结果，他也十分热爱意大利的数学方法（使用阿拉伯数字）。事实上，在斐波纳契时代之前，虽然西欧国家已经使用了阿拉伯数字，但只有少数人零星地使用。《珠算原理》或者说《算经》第一次向欧洲人系统地描述了这一新的数字体系，并用详细和丰富的例子证明了它的商业用途。　　比萨的Bugia殖民地是两类贸易的重要源泉：一是上等蜂蜡；二是优质皮革。布吉亚原来是罗马帝国的一个小殖民地，11世纪，布吉亚城被柏柏尔人（Berber）收复了， 12世纪，比萨人从他们的热那亚敌人手里接管了这个阿尔及利亚的殖民地，并且建立了一个贸易港口，不仅出口北非货物，而且还将其作为东方奢侈品运往欧洲的中转站。第26节：斐波纳契与金融革命(4)　　莱昂纳多的父亲是一位海关官员，12世纪后期，还可能还是这个殖民地的比萨商人的代表，他记录了进出各个港口的货物量。〔9〕至少《珠算原理》或者说《算经》中的两个问题是关于关税的计算和支付的。作为在布吉亚的意大利商人的代表，莱昂纳多的父亲大概已经懂得他们所交换的商品的本质和价值，甚至懂得记录和符号体系、会计和阿拉伯商人的语言。〔10〕因此，莱昂纳多不仅接受了东方的数学训练，而且还有地中海贸易的家族渊源。　　关于他自己的生活，莱昂纳多说，他年轻时候曾经周游过地中海沿岸的国家。也许他本人就是一位商人。他说过，他追求数学知识，“在这次旅行中，他不失时机地向其他人学习，他也曾经到过埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯……。”〔11〕莱昂纳多大约在1200年旅行归来，当时他大约30岁，1202年，莱昂纳发表了《珠算原理》，即《算经》，并于1228年修订了这本书。　　该书现存最古老的版本是来自13世纪90年代的手抄本，现在保存在佛罗伦萨的里卡迪图书馆（Biblioteca Riccardiana）。这本精制的羊皮纸手稿的名称并不是《珠算原理》或者《算经》，而是《莱昂纳多大师的著作”，并在次页里把该书列为“ ”它不是原文，是从拉丁语译成的中世纪意大利语，这本书至少是由两位专业抄写员完成的。这个现存最早的版本是按照哥特样式装饰的，像很多早期的珠算书那样，内容不全。例如，用于解释阿拉伯数字应用和数学运算的许多准备性资料都丢失了。该书的第一页就是关于叉乘法的解释。在《珠算原理》的完整版本中，这个运算法则是放在最后讨论的。略去对数字体系和基本运算准则的解释，也许反映了当时人们对于计算方法的基础已经十分熟悉。　　大概在本书的写作时代，教授商业算术的学校已经在一些意大利城市出现了。这些关于早期商学院（Business schools）的记录见于1284年的维罗纳（Verona），1303年的佛罗伦萨和1316年的米兰。〔12〕非常有意思的是，拉丁文课本的当地语言译本与这些学校的最早记录是非常一致的。在一个以讲授数学为主的学校中，一个意大利语课本作为教师手册会特别有用，对拉丁语的要求也许会遇到困难，因为这些学生是在11岁或12岁时才开始接受教育。〔13〕　　这个早期手抄本的一些特征表明，抄写员或后来的注释者做了一些旁注，试图帮助人们理解一些算术问题。几处注释表达的是因式分解，好像它们是通过做课本上的练习题而得出的结果。这说明《珠算原理》是早期教育的工具书。这个版本还包括一些错误，有些错误被后来的抄写员注明了。这说明，从1228年至1291年，在几十年中经过多次抄写，书中的错误慢慢地增加，这也意味着该书自问世之后就一直吸引着人们的广泛兴趣。〔14〕第27节：斐波纳契与金融革命(5)　　《珠算原理》或者说《算经》的绝大多数的后来版本都是用拉丁语写成的，不仅包含了曾经遗失的原文，而且还有许多更为详细的数学运算图表。其中，里卡迪图书馆编号为783的《算经》手稿是最好的。15世纪誊写的这份手稿提供了关于该书的一些信息：原著出版日期为1202年，1228年又出版了修订本。而且这个课本的绝大多部分是用黑色墨水写在纸张上，图表和分数一般是用显眼的红色墨水写成的，红色墨水和黑色墨水的使用意味着在原著里或许也是这么做的。〔15〕　　该书最早、最完整的版本一直保存在里卡迪图书馆（Riccardiana）中，这个事实本身就很有意思。里卡迪（Riccardi）是15世纪佛罗伦萨的成功的银行家和投资者。该图书馆是在17世纪90年代通过把里卡迪家族和卡波尼（Capponi）家族的藏品集中放在一起而成立的，后者拥有很多科学和哲学著作。〔16〕没有人知道莱昂纳多的著作是在什么时候进入这两大佛罗伦萨家族的收藏的，但是，至少在1810年它们都已经存在于该图书馆的藏品之中。因此，《珠算原理》手稿的出处也说明它们曾经是银行业家族极为感兴趣的，而且可能早就被运用于实践了。尽管拥有这些线索，我们仍然无法断定中世纪后期即13世纪的复制本是否可以作为早期商学院教育的教科书，如果是这样的话，显然有助于数学知识在整个意大利的传播。　　关于莱昂纳多在比萨的生活，人们只知道他写作了其他一些数学著作，并与皇帝弗雷德里克二世（Emperor Fredrick II）的朝臣有过书信来往。皇帝本人大概也读过《珠算原理》，在一次对意大利的访问中，弗雷德里克二世接见了这位著名的数学家。　　1241年，莱昂纳多收到了来自比萨共和国的一笔养老金，奖励“他对公民的教育、他的勤奋和专心致志的服务。” 海因茨?卢内伯格（Heinz Lueneburg）教授已经发表了这个文件的一个拉丁文抄本。这个城市也同样感激斐波纳契的数学、会计和估值方法。〔17〕因此，我们可以猜测，在其一生的绝大部分时间内，斐波纳契都在教授数学，并为比萨政府提供金融和会计方面的咨询。　　源泉和前辈　　莱昂纳多把《珠算原理》的很多内容归于花拉子密（ ） 。花拉子密是9世纪巴格达的宫廷天文学家，他完成了非常著名的《代数》一书，数学的一个分支学科的名称就源于该书。〔18〕在《珠算原理》之前，欧洲已经出现了一些较早期的“算术”。它们就是《代数》的译本或者是《代数》的不同版本。这些算术最早可以追溯到12世纪初期或中期。〔19〕然而，这些算术都源于花拉子密的著作。第28节：斐波纳契与金融革命(6)　　《珠算原理》明显地受到了花拉子密的影响，花拉子密不仅使用了印度数字，他还推动了代数方法的广泛使用。不过，《代数》与《珠算原理》在许多方面存在明显差异，《珠算原理》的篇幅要大得多，包含了更多的问题和解答，引入了更为广泛的实际应用领域。并且，两位作者以完全不同的方式求解问题。例如，花拉子密的大多数非几何例子都是关于遗产分配的问题，这些问题主要是为了解决在家族成员中间分配财产的问题，解决涉及其他权利的复杂问题。一个典型的问题是：　　[一个男人]留下了两个儿子，10个dirhems的资本。其中，一个儿子欠他10dirhems，他把财产的五分之一和一个dirhem留给了一个陌生人。〔20〕　　由此可见，花拉子密的研究的重点不是商业问题，而是法律问题，即与遗产和嫁妆有关的问题，也许正是这类问题激发了他的写作热情。莱昂纳多采用了花拉子密在《代数》中的求解方法，并使其适用于企业合伙人中的资本分配问题，而不仅仅是家族成员中间的财产分配问题。因此，这两部著作有着相同的方法，但其应用领域是不同的。　　与《珠算原理》一样，重视商业问题的一个同等重要的先例是印度数学中注重应用的传统。至少早于斐波纳契7个世纪，印度数学家就开始计算利率和投资增长率。阿耶波多（Aryabhata） 是印度最早的数学家之一，在其名著《阿利耶毗陀论》（Aryabhatiya） （也因对天文学的杰出贡献而闻名）中，阿耶波多就提出并求解了利率问题。〔21〕在7世纪，婆什迦罗（Bhaskara） 对《阿利耶毗陀论》进行了扩展，并做了注释，包括一些实际应用问题，比如，合伙股份的划分和商品的相对价格。〔22〕Sridharacarya 的10世纪的《Trisastika》是一本由300个诗句组成的著作，其中包含实际利率问题和合伙企业的分配问题。〔23〕　　在莱昂纳多的著作中，一个特别有意思的印度数学先例是9世纪的耆那教徒（Jain）数学家摩诃毗罗（Mahavira）（大约800-870年）在他的《Ganita Sara Sangraha》中提出的一个问题。三个商人发现路上有一个钱包；第一个人断言，这个发现会使他的财富等于其他两人财富之和的两倍；第二个人宣称，如果他拥有这个钱包，他的财富会等于原来的三倍；第三个人宣称，如果他拥有这个钱包，他的财富会增加五倍。完全相同的问题出现在了《珠算原理》或者说《算经》的第12章，由此可以断定，无论是以口述的方式经过几个世纪传播到阿拉伯世界，还是通过现在失传的印度著作的阿拉伯译本，莱昂纳多著作中至少有一些经典问题来自印度课本。大约完成于公元1150年的《Lilivati 》一书，其作者为Bhaskaracarya（1114-1185年）。这本书在精神上十分接近比萨人关于金融问题的著作；在时间上与莱昂纳多的时代相近。与《Trisastika》和《阿利耶毗陀论》一样，《Lilivati》中也包含着一些贷款问题和本金计算问题和利率方法。〔24〕然而，尽管这些著作有许多相似之处，但是，早期印度著作都没有提出一个现值准则，这一点说明，他们的金融数学还不是特别成熟。第29节：斐波纳契与金融革命(7)　　在欧洲，也曾经有一位与斐波纳契一样对应用数学感兴趣的数学家，他就是萨瓦苏达（Savasorda）（死于1136年）。萨瓦苏达是一位犹太人，他是12世纪巴塞罗那的百科全书的编纂者，他还编写了一部关于算术和几何的数学专著，在这本著作中，萨瓦苏达解决了一些涉及价格、数量和货币的问题。〔25〕由于内容十分相近，这表明斐波纳契可能看到过萨瓦苏达的著作，并改进了他的数学证明方法，尽管比萨人没有引用过这部著作。萨瓦苏达的一位追随者是斐波纳契在旅行中访问过的一位数学大师。　　下面，我们来分析与金融数学有关的一个中国例子，这个例子非常有意思。中国古代最著名的数学课本叫《九章算术：手册和注释》，《九章算术：手册和注释》与《珠算原理》中的许多问题和方法存在相同之处。〔26〕《九章算术》的基本内容可追溯到汉朝（公元前200年——公元8年），甚至更早，而且它被多次注解和增补过，第一次是在公元263年。到了大致与斐波纳契同时代的宋朝，《九章算术：手册和注释》成为文官考试的标准教科书，是那个时代有学问的人必须掌握的标准知识。《九章算术：手册和注释》有很大篇幅用于讨论几何和代数问题，其中包括关于税收和“公平税赋”等问题，还有一个利率问题是要求计算每月利率3％情况下9天的利息是多少，一个土地租赁问题要求在已知租金额和地租率的条件下计算土地的数量。这些问题都是非常普通而普遍的。《九章算术：手册和注释》中的一个例子是关于“旅行”问题：一个贩运谷物的商人在三个海关被征税。读者被告知在旅途末剩下多少谷物和沿途每一站被海关扣减的部分。这类问题出现在6世纪到9世纪希腊埃及纸莎草纸文献中，也出现在7世纪的亚美尼亚文献和Bhaskaracarya的《Lilivati》中。〔27〕因此，问题的基本结构远在莱昂纳多时代之前就已经广泛存在了，而且在亚洲大陆的两极都出现过。《九章算术：手册和注释》中还有一个值得引述的问题：　　今天有一个商人在蜀国投资，利率是10:3。第一次他取出14,000；第二次取出13,000；第三次取出11,000；第四次取出10,000。第五次取出全部本金和利息。问：这个商人的本金和利息各为多少？〔28〕　　在结构上，这个问题类与斐波纳契解决的一些利率问题非常接近。提到蜀国，意味着这个问题可以追溯到秦朝或汉朝，因此，它是斐波纳契问题的一个早期且唯一的先例。奇怪的是，在《九章算术：手册和注释》一书中，它却是一个孤立的问题，而且在汉朝也没有关于银行的历史记载——当铺除外——也没有来自印度或阿拉伯数学教课书的类似问题。第30节：斐波纳契与金融革命(8)　　我们可能永远也无法确切地知道斐波纳契的数学方法和问题的全部来源。不过，斐波纳契认为，阿拉伯先例和很多印度先例至少为他的著作提供了一个概念性的基础。上面引述的中国例子表明，中国有着贷款计算的数学传统，这也许是斐波纳契见过的，只是在其他文字记载中没有保存下来。然而，尽管有这个例子，原先阿拉伯著作或应用数学在对商业和金融交易的分析方面都与《珠算原理》相差甚远，只有《九章算术：手册和注释》在实际教授应用数学方面可以与之相提并论，它们都是非常卓越的教科书。虽然《珠算原理》在结构上类似于原先的算术——首先介绍数字体系，然后介绍基本算法，接着是分数，大部分篇幅循序渐进地用于解决越来越复杂的文字应用题。一章接着一章，斐波纳契首先引入一个简单问题及其答案，然后给出越来越复杂的例子，使用同样的求解方法，并要求应用在前面的章节中学过的工具来进行分析。　　接下来，让我们来分析《珠算原理》的一个重要贡献。　　分数和比例法则　　在前四章对算术运算进行了初步讨论之后，《珠算原理》在第5章和第6章引入了分数和带分数。莱昂纳多的分数与现代的分数略有不同：它们是因数化的。例如，5.123被写成 。也就是说，最左边的分数的分母是它前面所有分母的乘积。这个方法对于涉及非“十进制”货币和数量计算来说非常方便。例如，以罗马制为基础的货币单位用的是denari、soldi和lira，12 denari等于1个soldo，20个soldi等于1 lira。在这些记号中，每个小额货币的单位都在分数中得到保存，比如，5lira 6soldi 4denari的一个价格可以表达为 。重量和程度单位更为复杂。依照莱昂纳多，　　比萨的[重量单位]hundredweights……自身有100个部分，其中的每一个部分都被称作roll。一个roll等于十二个 ounces；一个ounce等于 pennyweights；一个pennyweight等于六个carob；一个carob等于四粒玉米的重量。〔29〕　　第8章题为“用本金方法计算商品的价值，”它从新数学在商业问题中的应用开始的。斐波纳契研究的第一个问题是如何确定一定数量的商品价格：假设用一百个roll支付四十个lira，那么，五个roll支付多少？斐波纳契通过图表 得出答案，且答案是(40*5)/100。　　这个简单的答案被称作“比例法则”，是数学中最古老的代数工具之一。“比例法则“出现在了《阿利耶毗陀论》一书中，并在婆什迦罗的注解中有所扩展和详细阐述，其中，婆什迦罗将其应用于了莱昂纳多分析中的一些类似问题。〔30〕”比例法则“也可见于《九章算术：手册和注释》。第31节：斐波纳契与金融革命(9)　　莱昂纳多把“比例法则“应用于越来越复杂的数量和货币，并将其应用于一个地中海贸易中的实际例子。他说，商品包括若干个hundredweights的皮革、若干个hundredpounds的胡椒粉、若干个tons的比萨干酪、若干个rools的藏红花、肉豆蔻和桂皮、若干个meters 的油、若干个sestario 的玉米、若干个canes的来自君士坦丁堡的布和油。货币包括denari、massamutini、bezants、tareni。莱昂纳多绘声绘色地描述了西西里、巴巴里（北非沿岸）、叙利亚、亚历山大、佛罗伦萨、热那亚、墨西拿和巴塞罗纳的市场交易情况。这些问题具体和实用，表明了本书的实际重要性，并且受到了商人们的热烈欢迎。例如，对于一个从事叙利亚缎子生意的比萨商人来说——他正在与热那亚商人竞争——能够在三个不同的长度单位之间进行换算是有很多好处的：　　一个比萨cane等于十个palm或者四个arm。然而，一个热那亚cane据说等于九个palm。此外，普罗旺斯、西西里、叙利亚和君士坦丁堡的cane是相同的长度单位。〔31〕　　对于原棉的商人来说，一个有用的问题是：　　一个人在西西里附近有一条船，船上装有重量为11 hundredweight零41 roll重的棉花。他希望把这些棉花分成包。1包棉花重1/3 1hundredweight，于是3包棉花重四个hundredweight……通过这一“比例法则“的实际应用，斐波纳契算出每包棉花的重量是1/4 860个roll。〔32〕　　然后，斐波纳契还把这一技术的应用扩展到了两种商品之间的交易问题。例如：　　假设七个roll的胡椒粉价值四个bezant，九个pound的藏红花价值十一个bezant。请问二十三个roll的胡椒粉价值多少藏红花？　　这里，图表被扩展到了三列〔34〕：　　它表明，如何通过计算乘积23*4*9，并除以对角线上的元素7*11来得出答案。这个方法可以被应用于任意长的中间交易序列中，来确定一个市场上各种商品之间的无套利关系。这个解是婆什迦罗和后来的意大利数学家们为了表达多种商品之间的价格或数量关系而发展的“比例法则”，即已知五个数，求解第六个数的“比例法则” （“Rule of Five”）。在西方算术中，这一“比例法则”的横向表达式（horizontal expression）正交于该法则在印度的纵向表达式。〔35〕因此，要么中间某个阿拉伯的手稿改变了这个算术，要么求解方法从概念上转换成了西方的，从而没有写下印度表达方式。　　尽管三个数的“比例法则”（Rule of Three）和五个数的“比例法则”（Rule of Five）对于800年后的我们来说是微不足道的，但是，在13世纪中，它们是套利者最经常使用的重要数量工具。印度商人正在从他们的阿拉伯贸易伙伴那里购买藏红花和胡椒粉，而阿拉伯人是香料贸易中的主要中间商。如果一个商人不会计算，或不会准确地计算市场上的藏红花和胡椒粉的相对价值，那么，他就会在交易和谈判中处于劣势。就像今天的对冲基金（hedge fund）一样，他们应用十分复杂的计量模型来计算两种有抵押的证券的相对价格，如果他们发现了价格偏离了平价，就会通过这些计算来决定应该在下一步的操作中做多或者做空。13世纪的比萨商人，在大马士革的一个suk中，与香料商人进行物物交换，他们必须用快速的算术计算方法发现和利用市场价格偏离平价的机会，从而通过交易来谋取利润。难怪“比例法则”的知识在古代沿着商路广泛传播。第32节：斐波纳契与金融革命(10)　　此处有图p132　　在13世纪中，拉丁文《珠算原理》或者说《算经》中“比例法则”的应用。莱昂纳多的著作用边图说明代数问题的算术法则和求解方法。　　外汇和铸币　　莱昂纳多还应用三个数的“比例法则”和五个数的“比例法则”来解决货币兑换问题。在这个领域中，人们十分需要货币兑换的指导法则。彼特?斯普弗德（Peter Spufford）描绘了中世纪欧洲一揽子货币的演进过程。〔36〕意大利的货币种类最多，在中世纪，意大利有28个城市发行货币，仅托斯卡纳就发行7种。大多数货币都采用罗马的“d,s,l”制，即在英格兰广为人知的“镑、先令和便士”制。然而，铸币的相对价值和金属成分却因为年代和地区的不同而发生了很大变化，货币的多样性为货币兑换者创造了机会，“Banche Del Giro，”其中货币体系进入了契约。而且这些货币兑换者和他们的客户迫切需要计算工具。　　在斐波纳契之前，汇兑算术的常用方法是算盘、刻槽、或者是沿着有刻度的绳子移动代表数字的符号之类的方法。如此，汇兑问题的算术求解与问题的书写表达式分开了，阿拉伯数字允许在纸上根据书写的问题陈述来求解。这改变并改进了货币兑换者建立模型的方式，并使他们能够迅速地分析和判断出多种货币的相对价值，其直接后果是能够逐个地、较为准确地计算每一种货币的相对价值。一个更具挑战性的工作是建立一组相对价值的方程，并确定任何一种货币用其他货币来表示的相对价值。阅读《珠算原理》一书，给人的一个突出感觉是，在13世纪，意大利的商人生活在一个完全相对主义的世界之中，没有中央政府，没有占主导地位的货币，信仰与异端邪说相互竞争，甚至连商品的价值也是抽象地用其与其他商品之间的相对关系来表达。虽然莱昂纳多的很多例子都用货币作为计算单位，不过，不同例子所使用的货币却是随意选择的，似乎是在强调他的代数方法的灵活性和广泛适用性。　　的确，中世纪的货币与今天的货币在经济意义上已经有了很多不同。用于表达交易或记账的是一种货币，而与那个货币单位相应的实物铸币的数量则可以随着时间的变化而变化，因为政府可能降低其铸币的重量。比如，1252年，最先铸造的佛罗伦萨弗罗林（纯金币），当时一件有意思的事情是，金币可以同时用作记账单位和交易单位，有1:1的对应关系。绝大多数银币都至少含有一些铜，降低了其相对于银块的价值，并使它能够随着时间发生波动。难怪莱昂纳多对货币的分析超出了货币兑换，从而进入了货币的铸造和合金的添加。《珠算原理》用整整一个章节的篇幅来讨论用银和铜铸币的方法。第33节：斐波纳契与金融革命(11)　　包括比萨在内的一些城邦国家拥有铸币权，这些城邦国家的造币厂把政府和私人拿来的金属条块制成硬币。如果一位商人要想把一定数量的金属（或旧币）换成货币，他就必须支付货币铸造税。在莱昂纳多一生的很长时期内，比萨penny与卢卡penny（Lucchese penny）的价值之间的关系被固定了下来，两者成了托斯卡纳区的标准货币。到目前为止，还很少有证据证明这两种货币的金属成分有所减少、发生变化。相比来说，也是在莱昂纳多活着的时候，意大利北部的货币经历了一次重大变化：城市开始铸造被称作grossi的更大的银币。在13世纪20年代后期（大约是在《算经》第二版的时代），卢卡（Lucca）引入了一种含有更多白银的铸币，价值十二个denari。这是热那亚在1172年和威尼斯在1192年引入grossi之后做出的。莱昂纳多没有在其关于铸币的章节中，更具体地讨论grossi和denari的相对价值。他回避了具体货币问题，宁愿讨论一些更为抽象的一般性问题，比如，硬币中银与铜的相对比例，及其计算和估值方法。照理说，《珠算原理》中揭示的方法不仅对于比萨铸币厂的主人是非常有用的，而且对于那些用货币换取硬币并支付铸币税的商人来说也是非常有用的。　　金融和利息问题　　《珠算原理》中的大多数纯粹的金融问题都集中在第12章，比如，著名的“斐波纳契级数”。这些问题大致分为四类：第一类问题涉及合伙联合企业的利润分配，其中参与者在不同时间做出的贡献不同，用于出资的货币或商品不同，而且有时合伙人相互借款；第二类问题涉及一系列商业旅行的利润计算，其中利润和费用或提款发生在每一站；第三类问题是关于银行投资未来价值的计算；第四类问题涉及现值分析，就像我们今天所做的那样，尤其包括按年度或者季度计算复利的差异。　　利润分配　　联合企业的利润分配计算对于13世纪的意大利商人来说是非常有意义的。在意大利北部，给很多贸易活动提供资金的基本企业单位是投资者和他的旅行伙伴之间的“康孟达契约”（commenda contract）：前者（commendator）出资，后者（tractator）提供劳动。约翰?H.普瑞尔（John H. Pryor）通过对12世纪的“康孟达契约”的深入研究，描述了两类契约——单边契约和双边契约。单边契约中的tractator承担有限责任但利润较小；双边契约中双方承担同等损失。〔37〕在标准的单边“康孟达契约”中，commendator在合同期限内向tractator转移资本，并享有四分之三的利润。　　此处有图p134　　在13世纪《算经》的15世纪复制本中，关于公司利润的分配问题。《珠算原理》证明了如何计算企业的投资利润，并用“比例法则”确定每股投资的回报。第34节：斐波纳契与金融革命(12)　　我们对“康孟达契约”的了解大多来自对意大利和法国档案中公证文件研究，其中比萨记录是最古老的。比萨的Constitutum Usus（1156）是现存的最早规定“康孟达契约”条件的地方性文件。〔38〕比萨的单边“康孟达契约”很像46年后莱昂纳多在一个利润分配问题中所描述的合约。〔39〕　　斐波纳契的问题提供了一个十分有意思的例子，说明“康孟达契约”是如何使用的。尽管tractator利润是按照比萨城邦的惯例进行分配的，不过，commendator股份却能够在几个投资者中间进行分配。这些投资者的联合体被称作societas。斐波纳契发展了一个一般性的分析方法，即按照出资的比例分配一个societas的利润。这一方法就是今天人们熟悉的单位资本收益率的定义。罗伯特?洛佩兹认为，societas和“康孟达契约”是欧洲合伙企业的原始形式，是现代合伙制企业和公司的前身。因此，斐波纳契在《珠算原理》中研究了“康孟达契约”的具体例子和相关问题，是对现代公司出现之前的金融经济学的重要贡献。有意思的是，在来自中国的一本于1247年出版的数学教课书——秦九韶的《数书九章：手册和注释》（Mathematical Treatise in Nine Sections）中，有一个问题说的是四个商人建立一个合伙企业在南洋从事贸易活动。〔40〕中国数学问题意味着此类商业数学早在13世纪就已经广泛流行了。　　旅行商人问题　　第二类金融问题是一组关于“旅行商人”例子，类似于途经多个贸易城市的一系列旅行所带来的利润的会计核算。第一个例子是：　　一个商人前往卢卡，到了那里他的货币翻了一番。在那里，他支出了十二个denari。然后，他离开那里并途经佛罗伦萨，在那里他的货币又翻了一番，他又支出十二个denari。最后，他回到了比萨，他的货币又翻了一番，而且他没有剩余货物。请问，他出发时有多少货币。〔41〕　　这一些类似于《九章算术：手册和注释》一书中的征税问题。莱昂纳多给了一个有独创性的答案。因为每一站资本就翻一番，（在比萨的）第三次现金流的贴现因子是 。他把定期的十二个denari乘以一个贴现因子，这个贴现因子是每站的贴现因子的和，即 答案是10.5denari。贴现因子有效地把单个现金流还原到这个人抵达卢卡之前起始点。这个方法可以被推广到在不同阶段有不同的现金流的情况，以及更长序列的情况，即每一站都有不同报酬率情况或一个终点现金流。在“卢卡-佛罗伦萨-比萨”问题之后的20个例子中，莱昂纳多提出并解决了有多个未知变量的、越来越复杂的问题。例如，其中一个问题指定了开始价值，要求找出旅行次数：“一个人有13bezants，并携带它们旅行，不知道旅行多少次，且在每次旅行中他的货币都会翻番，并且他支付了14bezants。请计算：他旅行了多少次。”〔42〕这个问题与其他一些问题一起，证明了其贴现方法的多功能。它们为引入时间变量提供了一个框架，并为金融学的发展提供了数学基础。