出版信息书名：中国古代数学丛书名：中国文化史知识丛书主要责任者：郭书春责任方式：著丛书责任者：任继俞；汤一介，焦树安，张明华丛书责任方式：主编；副主编出版者：商务印书馆出版地：北京出版日期：1997-04装帧：简页码：1-198开本：32定价：13.00作品语种：中整书中图分类号：O112辞典简介：本册工具书是中国文化史知识丛书之一，共收录54条词条。编辑委员会主 编：任继愈副 主 编：汤一介 焦树安 张明华编 委：(按姓名汉语拼音音序排列)戴念祖 郭齐家 葛剑雄焦树安 金宜久 卢海燕欧阳中石 庞 朴 戚志芬任继愈 沈心天 汤一介王世民 王兆春 吴良镛严汝娴 张国风 张明华赵 靖 赵匡华 郑殿华周 强 朱光暄常务编委：任继愈 焦树安 张明华张国风 郑殿华编者献辞中国是世界文明古国之一。古代世界曾经辉煌灿烂的文明国家，多数没有能够继续维持下去，有的中断了，有的随着文化重心的转移而转移到另外的地区。唯有中国这个国家，既古老又年轻。从原始社会到形成国家，有文字可考的历史有五千年以上。中国和中国文化屹立于世界之林，一脉相承，历久而弥新。中国文化是个发展的、历史的范畴，具有包容性与持久性：除了时代差异外，尚有着地域与民族的差异性。它是在连绵几千年中，以华夏民族为主体的中华民族各地域文化(包括中原文化、齐鲁文化、荆楚文化、巴蜀文化、吴越文化、岭南文化、闽台文化等)和各民族文化(包括壮、满、蒙、回、藏等中国56个民族的文化)长期地、不断地交流、渗透、竞争和融合的结果。从这个意义上说，中国文化的发展是具体的、历史的，又是多地域、多民族、多层次的立体网络。中国文化是起源于上古贯穿到现在，在黄河、长江及其周围地域形成并延续至今的中华民族共同的文化、共同的社会心理与习俗的结晶。继承中国文化遗产，并不是对中国古代文化毫无选择地一概接受，而是要继承其优良传统，摒弃其封建糟粕。今天中国正处在向现代化迈进的新时期。了解过去的优秀文化，正是为创造未来的新文化。这对于提高民族自尊心，增强民族凝聚力，有着极为重要的意义。青少年是国家的未来，民族的希望，对他们进行传统文化的教育，既是当务之急，又是长远的目标。要让中学生和具有中等文化程度的读者掌握中国文化史的基本知识，了解中国文化辉煌的历史，继承、发扬优良传统，为建设具有中国特色的社会主义新文化打下基础，这是一件宏伟的事业，也是我们编辑这部丛书的宗旨。对文化层次较高的成年读者以至专家来说，个人的专业知识总归有限，本丛书对于成年人也不失为一种高品位的、可信赖的文化知识读物。本丛书的前身有110个专题，涉及历史文化的各个方面，由商务印书馆、中共中央党校出版社、天津教育出版社、山东教育出版社联合出版。现由编委会对类目重新加以调整，确定了考古、史地、思想、文化、教育、科技、军事、经济、文艺、体育十个门类，共100个专题，由商务印书馆独家出版。每个专题也由原先的五万多字扩大为八万字左右，内容更为丰富，叙述较前详备。希望这套丛书能多角度、多层次地反映中国文化的主流与特点，读者能够从中认识中国文化的基本面貌、了解中华民族的精神所系，这就是编者的最大愿望。对于本丛书的批评及建议，我们将十分欢迎，力求使之趋于完善。中国文化史知识丛书编辑委员会一九九六年四月出版说明百册本《中国文化史知识丛书》，是由著名学者任继愈教授主编，国内百余名专家学者参加，由我国著名出版机构商务印书馆出版的面向青少年和一般读者的大型文化普及丛书。被共青团中央启动的“新世纪读书计划”列为第一批推荐书目。这套丛书，是在1991年版的基础上修订完成的。1991版曾荣获当年中国图书奖一等奖。台湾、香港商务印书馆和日本、韩国的出版机构相继选译和出版了这套丛书，丛书的英文选译本也随后面市。新版由原先每本5万字增加为8万字。合并了一些内容近似的图书，同时增加了一些选题，对古代难辨字还注了音，并补充了有关学科的最新研究成果。成为一套内容丰富、文字规范、装帧精美、可读性强的真正的图书精品。丛书编委会及作者队伍强大，名家云集，他们中有著名学者，有北京大学的校长，有商务印书馆的老总，几乎都是著名大学和研究机构的学者，可以说，这套丛书，是名附其实的大专家给普读者写小书。他们认真严谨的写作态度，保证了丛书的科学性，文字表述方面做到了深入浅出，通俗易懂。丛书是一个较为完备的关于中国古代文化的知识体系。可大致分为10个专题，分别是思想、文化、教育、科技、考古、史地、军事、经济、文艺、体育。从多角度、多层面勾勒出中华民族五千年来历史文化发展的轨迹，反映了中国文化的基本面貌和中华民族精神。特别值得一提的是，丛书加强了对中国古代科学技术成说的介绍，文理兼备，显示出编者整体上把握传统历史文化的独特视角，是一套中国传统文化知识的百科丛书。同时也是一套增长知识、陶冶情趣，进行爱国主义教育的好书。内容简介：数学是中国古代最为发达的基础科学学科之一，约公元前3世纪至公元14世纪初领先于世界先进水平。中国传统数学是当时世界数学发展的主流。中国传统数学的思想和方法既可用于现今的中小学数学教学，也对当前的数学研究有某些启迪作用。作者简介：郭书春，中国科学院自然科学史研究所研究员、党委委员、学术委员会副主任、工会主席，全国数学史学会理事长、博士生导师。长期从事中国数学史研究，在《九章算术》的编纂，刘徽《九章算术注》的结构、成就，刘徽的数学体系、逻辑思想渊源、时代背景，以及贾宪、秦九韶、杨辉等的研究方面有突出贡献，发表学术论著300余万字，主编学术著作1000余万字。说明：因本书介绍古代数学，难免有一些数学符号、数学公式在文本中无法显示，所以约有90%改为用图片表达。如果对你的阅读产生障碍，请下载电子版查看，图书内容都有完整的显示，不用担心公式的问题。具体下载地址，请登录“早安中文网”、“52精品E书”下载，或者发送邮件至1620279970@qq.索取。目录第一章 中国古代数学综述第一节 春秋前中国数学的萌芽第二节 战国至两汉中国数学框架的确立第三节 魏晋至唐初中国数学理论体系的建立第四节 唐中叶至宋元中国数学的高潮第五节 明清数学——从衰落到艰难的复兴第二章 记数法与计算工具第一节 结绳及甲骨文数字第二节 算筹第三节 珠算盘第四节 ○与数码第三章 算术运算第一节 九九表与乘除法则第二节 分数与小数第三节 比例与比例分配第四节 率与齐同原理第五节 筹算乘除捷算法第六节 盈不足术第四章 面积与体积第一节 多边形面积第二节 圆与曲边形、曲面形的面积第三节 多面体体积第四节 圆体体积第五章 勾股测望第一节 勾股定理第二节 解勾股形第三节 勾股容方与容圆第四节 旁要第五节 重差第六章 线性方程组解法第一节 方程第二节 方程术第三节 正负术第四节 损益术第五节 互乘相消法第六节 方程新术第七章 高次方程数值解法第一节 开平方第二节 开立方第三节 贾宪三角第四节 增乘开方法第五节 正负开方术第六节 根与系数的关系第八章 天元术与四元术第一节 天元术与四元术的历史第二节 天元术第三节 四元术第九章 垛积招差第一节 等差级数第二节 隙积术第三节 垛积术与招差术第十章 不定问题第一节 勾股数组第二节 五家共井第三节 百鸡问题第四节 大衍总数术与大衍求一术第十一章 无穷小分割思想第一节 割圆术第二节 圆周率第三节 弧田密率与会圆术第四节 刘徽原理第五节 祖暅之原理与球体积第六节 尖锥术第十二章 中国古代数学的特征与意义第一节 中国古代数学的特征第二节 中国古算的地位与意义辅文图片第一章 中国古代数学综述数学是中国古代最为发达的学科之一，通常称为算术，即“算数之术”。就是说，古代的术语算术对应于英文的mathematics，而不是arithmetic。在初等范围之内，它包括今天数学教科书的算术、代数、几何、三角等方面的内容。后来，算术又称为算学、算法，宋元开始使用“数学”一词。此后，算学、数学并用。1939年6月中国数学名词审查委员会确定用“数学”而不用“算学”。历代数学家的数学著述正是数学进步的脚印。中国古代的数学著述通常称为算经，它们是数学成就的载体。因此，我们的综述着重介绍算经，兼及杰出的数学家。历代出现过多少算经，不得而知，西汉至宋元的算经大多亡佚，目前仅存20余种。明清留下的算经较多，可惟中国已经失去了数学大国的地位。笔者认为，中国古代数学的起源和发展大致分成这样几个明显的阶段：春秋以前数学的萌芽，战国至两汉以《九章算术》为代表的数学框架的确立，魏晋至唐初的数学理论的奠基，宋元数学高潮，以及明朝衰落，明末以后以中西数学融会贯通为特点的复兴时期。第一节 春秋前中国数学的萌芽我们的先民在从野蛮走向文明的漫长历程中，逐渐认识了数与形的概念。出土的新石器时期的陶器大多为圆形或其他规则形状，陶器上有各种几何图案，通常还有三个着地点，都是几何知识的萌芽。先秦典籍中有“隶首作数”、“结绳记事”、“刻木记事”的记载，说明人们从辨别事物的多寡中逐渐认识了数，并创造了记数的符号。殷商甲骨文(公元前14—前11世纪)中已有13个记数单字，最大的数是“三万”，最小的是“一”。一、十、百、千、万，各有专名。其中已经蕴含有十进位置值制萌芽。传说伏羲创造了画圆的“规”、画方的“矩”，也传说黄帝臣子倕[chui垂]是“规矩”和“准绳”的创始人。早在大禹治水时，禹便“左准绳”(左手拿着准绳)，“右规矩”(右手拿着规矩)(《史记·禹本纪》)。因此，我们可以说，“规”、“矩”、“准”、“绳”是我们祖先最早使用的数学工具。人们丈量土地面积，测算山高谷深，计算产量多少，粟米交换，制定历法，都需要数学知识。《周髀〔bi婢〕算经》载商高答周公问，提到用矩测望高深广远。相传西周初年周公(公元前11世纪)制礼，数学成为贵族子弟教育中六门必修课程——六艺之一。不过当时学在官府，数学的发展是相当缓慢的。春秋时期，随着铁器的出现，生产力的提高，中国开始了由奴隶制向封建制的过渡。新的生产关系促进了科学技术的发展与进步。此时王权衰微，畴人四散，私学开始出现。最晚在春秋末年人们已经掌握了完备的十进位置值制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具。人们已谙熟九九乘法表、整数四则运算，并使用了分数。第二节 战国至两汉中国数学框架的确立战国时期，各诸侯国相继完成了向封建制度的过渡。思想界、学术界诸子林立，百家争鸣，异常活跃，为数学和科学技术的发展创造了良好的条件。尽管没有一部先秦的数学著作留传到后世，但是，人们通过田地及国土面积的测量，粟米的交换，收获及战利品的分配，城池的修建，水利工程的设计，赋税的合理负担，产量的计算，以及测高望远等生产生活实践，积累了大量的数学知识。据东汉初郑众记载，当时的数学知识分成了方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要九个部分，称为“九数”。九数确立了《九章算术》的基本框架。秦始皇结束了列国纷争，首次建立了中央集权的封建帝国，本应有利于数学的发展。但他的专制政策窒息了百家争鸣的学术空气。秦朝的残暴统治，尤其是焚书坑儒，给中国文化事业造成空前的浩劫。不久，刘邦利用推翻暴秦的农民起义，统一了中国，建立了汉朝，史称西汉。西汉政府与民生息，社会生产力得到恢复、发展，给数学和科学技术的发展带来新的活力，人们提出了若干算术难题，并创造了解勾股形、重差等新的数学方法。同时，人们注重先秦文化典籍的收集、整理。作为数学新发展及先秦典籍的抢救工作的结晶，便是《九章算术》的成书。《九章算术》(省称《九章》)是中国最重要的数学经典，它之于中国和东方数学，大体相当于《几何原本》之于希腊和欧洲数学。在世界古代数学史上，《九章》与《原本》像两颗璀灿的明珠，东西辉映。《九章》之前还有一部《周髀算经》，它本是一部以数学方法阐述盖天说的天文著作，一般认为于公元前1世纪成书。卷上记载了商高答周公问，陈子答荣方问。前者有勾股定理的特例【001】，后者有用勾股定理及比例算法测太阳高远及直径的内容。近年湖北省张家山出土的竹简《算数书》正在整理，其少广一问与《九章》少广章第1问基本相同，两者的关系有待于研究。《九章》集先秦到西汉数学知识之大成。据东汉末大学者郑玄(公元127—200年)引东汉初郑众(？—公元83年)说，西汉在先秦九数基础上又发展出勾股、重差两类数学方法。魏刘徽说：《九章》是由九数发展而来的，由于秦朝焚书而散坏。西汉张苍(？—公元前152年)、耿寿昌(公元前1世纪)收集秦火遗残，加以整理删补，便成为《九章算术》。方田章提出了完整的分数运算法则，各种多边形、圆、弓形等的面积公式；粟米章提出了比例算法；衰[cui崔]分①章提出了比例分配法则；少广章给出了完整的开平方、开立方程序；商功章讨论各种立体体积公式及工程分配方法；均输章解决赋役中的合理负担，也是比例分配问题，还有若干结合西汉社会实际的算术杂题；盈不足章解决盈亏问题及可以用盈不足术解决的一般算术问题；方程章是线性方程组解法，并给出了正负数加减法则；勾股章由旁要发展而成，提出了勾股定理、解勾股形及若干测望问题的方法。全书以计算为中心，有90余条抽象性算法、公式，246道例题及其解法，基本上采取算法统率应用问题的形式。它的许多成就居世界领先地位，奠定了此后中国数学居世界前列千余年的基础。《九章》分类不甚合理，没有任何定义和推导，少数公式不准确，个别公式有错误，则是不容讳言的缺点。《九章》的框架、形式、风格和特点深刻影响了中国和东方的数学。《九章算术》成书后，注家蜂起。《汉书·艺文志》所载《许商算术》、《杜忠算术》(公元前1世纪)估计为研究《九章》的作品。东汉马续、张衡、刘洪、郑玄、徐岳、王粲等通晓《九章算术》，或为之作注。这些著作都未传世，从后来刘徽(今山东邹平人，生卒不详)《九章算术注》所反映的信息看，这些研究基本上停留在归纳验证《九章算术》的正确性方面，理论上未能在《九章》基础上作出长足进步。注释：①“衰”，意为由大到小按一定等级递减，而“衰分”则有定量分配之意。第三节 魏晋至唐初中国数学理论体系的建立《九章算术》之后，中国的数学著述基本上采取两种方式：一是为《九章算术》作注；二是以《九章算术》为楷模编纂新的著作。经过两汉社会经济和科学技术的大发展，到魏晋，中国封建社会进入一个新的阶段，庄园农奴制和门阀士族占据了经济政治舞台的中心。思想文化领域中，儒家的统治地位被削弱，谶纬迷信和繁琐的经学退出历史舞台，代之以谈三玄——《周易》、《老子》、《庄子》为主的辩难之风。学者们通过析理，探讨思维规律，思想界出现了战国的百家争鸣以来所未有过的生动局面。与此相适应，数学家重视理论研究，力图把自先秦到两汉积累起来的数学知识建立在必然的可靠的基础之上。刘徽和他的《九章算术注》便是这个时代造就的最伟大的数学家和最杰出的数学著作。大约与刘徽同时或稍前，有赵爽(又名婴，字君卿，生卒不详，估计是三国吴人)的《周髀算经注》，其可观者为“勾股圆方图”，用600余字概括了两汉以来勾股算术的成果。刘徽《九章算术注》作于魏景元四年(公元263年)，原十卷。前九卷全面论证了《九章》的公式、解法，发展了出入相补原理、截面积原理、齐同原理和率的概念，在圆面积公式和锥体体积公式的证明中引入了无穷小分割和极限思想，首创了求圆周率的正确方法，指出并纠正了《九章》的某些不精确的或错误的公式，探索出解决球体积的正确途径，创造了解线性方程组的互乘相消法与方程新术，用十进分数逼近无理根的近似值等，使用了大量类比、归纳推理及演绎推理，并且以后者为主。第十卷原名重差，为刘徽自撰自注，发展完善了重差理论，此卷后来单行，因第一问为测望一海岛的高远，名之曰《海岛算经》。他还著有《九章重差图》一卷，已佚。刘徽生活在辩难之风兴起而尚未流入清谈的魏晋之交，受思想界“析理”的影响，对《九章算术》“析理以辞，解体用图”(《九章算术注·序》)，并对各种算法进行总结分析，认为数学像一株枝条虽分而同本干的大树，发自一端，形成了一个完整的理论体系。刘徽博览群书，谙熟诸子百家，他不迷信古人，敢于创新，实事求是。对他未能解决的牟合方盖，坦诚直书，表示“以俟能言者”(《九章算术·少广章注》)，表现了一位伟大学者寄希望于后学的坦荡胸怀。《孙子算经》三卷，常被误认为春秋军事家孙武所著，实际上是公元400年前后的作品，作者不详。这是一部数学入门读物，给出了筹算记数制度及乘除法则等预备知识，其河上荡杯、鸡兔同笼等问题后来在民间广泛流传，“物不知数”题则开一次同余式解法之先河。张丘建(今山东人，生平不详)著的《张丘建算经》三卷，成书于北魏(5世纪下半叶)。此书补充了等差级数的若干公式，其百鸡问题是著名的不定方程问题，后世十分重视。《缀术》包含了祖冲之(公元429—500年)和儿子祖暅〔geng 更〕之(一作祖暅，生平不详)的数学贡献。由于其内容深奥，隋唐算学馆学官(相当于今天大学数学系教授)读不懂，遂失传。据认为，将圆周率精确到八位有效数字、球体积的解决及含有负系数的二次、三次方程皆是其中的内容。祖冲之，字文远，祖籍范阳逎(今河北省涞源县)人。刘宋大明六年(公元462年)造大明历，使用岁差，改革闰制。他的改革遭到守旧派官僚戴法兴的反对，祖冲之不畏权势，据理驳斥，坚持了反对谶纬迷信，不虚推古人，实事求是的科学精神。他对机械深有研究，制造过水碓、水磨、指南车、千里船、漏壶等，并著《安边论》、《述异记》等。祖暅之，字景烁。从小爱好数学，巧思入神，极其精微。专心致志之时，雷霆不能入。有一次走路时思考问题，仆射徐勉迎面而来竟然没有发现，头撞到徐勉身上，徐勉唤他，他才知道撞了人。其父的《大明历》经他的努力在梁朝颁行。北周甄鸾(今河北无极人，生卒不详)有三部数学著作传世，即《五曹算经》、《五经算术》、《数术记遗》。前二部内容浅近，无足道者。《数术记遗》一卷，传本题(东)汉徐岳撰、北周甄鸾注，近人多以为系甄鸾自撰自注，假托徐岳。书中记载了三种大数进位制及14种算法，其中珠算虽不同于元明的珠算盘，然开后者之先河，似无可疑。隋唐是中国封建社会经济政治文化的鼎盛时期，然而数学上除天文历法研究中刘焯(公元544—610年)创造等间距内插公式(7世纪初)和僧一行(公元683—727年)创造不等间距内插公式(8世纪)外，几无创造，数学成就及理论水平远远低于魏晋南北朝。唐初王孝通(生卒不详)撰《缉古算经》一卷，解决了若干复杂的土方工程及勾股问题，且都用三次或四次方程解决，是为现存记载三次、四次方程的最早著作。然而，《缉古算经》未必是高于《缀术》的著作。王孝通是历算博士，曾任太史丞，在天文历法方面是保守的。他在《上〈缉古算经〉表》中指责《缀术》全错不通，于理未尽，大约他与当时别的数学家一样读不懂《缀术》。他自诩他的《缉古算经》千金不能排其一字，他一旦瞑目，其方法后人莫晓。科学家不必作谦谦君子，但如此狂妄，也是不足取的。隋唐统治者在国子监设算学馆，置算学博士、助教指导学生学习。唐李淳风等奉敕于显庆元年(公元656年)为《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《缀术》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《缉古算经》等十部算经作注，作为算学馆教材，这就是著名的《算经十书》，该书是中国古代数学奠基时期的总结。李淳风等注释保存了许多宝贵资料，但注释水平并不高。由于种种原因，算学馆实际未培养出像样的数学家。第四节 唐中叶至宋元中国数学的高潮经过盛唐的大发展，唐中叶之后，生产关系和社会各方面逐渐产生新的实质性变革，到10世纪下半叶，赵匡胤建立宋朝，统一中国，中国封建社会进入一个新的阶段，土地所有制以国有为主变为私有为主，租佃农民取代了魏唐的具有农奴身份的部曲、徒附。农业、手工业、商业和科学技术得到更大发展。中国古代四大发明，有三项——印刷术之广泛应用及活字印刷，火药用于战争，指南针用于航海——完成于唐中叶至北宋。宋秘书省于元丰七年(公元1084年)首次刊刻了《九章算术》等十部算经(时《夏侯阳算经》、《缀术》已失传，因8世纪下半叶一部韩延《算术》开头有“夏侯阳曰”云云而误认为是前者而刻入，后者只好付之阙如)，是世界上首次出现的印刷本数学著作。后来南宋数学家鲍澣之翻刻了这些刻本，有《九章算术》(半部)、《周髀算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《张丘建算经》五种及《数术记遗》等孤本流传到现在，是目前世界上传世最早的印刷本数学著作。宋元数学家贾宪、李冶、杨辉、朱世杰的著作，大都在成书后不久即刊刻。数学著作借助印刷术得以空前广泛的流传，对传播普及数学知识，其意义尤为深远。宋元数学高潮早在唐中叶已见端倪。随着商业贸易的蓬勃发展，人们改进筹算乘除法，新、旧《唐书》记载了大量这类书籍，可惜绝大多数失传，只有韩延(生平不详)《算术》(8世纪)以《夏侯阳算经》的名义流传下来，该书提出了若干化乘除为加减的捷算法，并在运算中使用了十进小数，极可宝贵。11世纪上半叶贾宪(生平不详)撰《黄帝九章算经细草》，是为北宋最重要的数学著作。贾宪曾任左班殿直(低级武官)，是当时著名天文学家、数学家楚衍的学生。还著有《算法[学攴]古集》二卷，已佚。他将《九章算术》未离开题设具体对象甚至数值的术文大都抽象成一般性术文，提高了《九章算术》的理论水平；他对某些类型的数学问题进行概括，比如提出开方作法本源即贾宪三角，作为他提出的立成释锁(即开方)法的算表，这是开方问题的纲；他提出了若干新的重要方法，其中最突出的是创造增乘开方法，并提出了开四次方的程序。贾宪的思想与方法对宋元数学影响极大，是宋元数学的主要推动者之一。《黄帝九章算经细草》因被杨辉《详解九章算法》抄录而大部分保存了下来(阙卷一、二及卷三上半部，卷五的一部分)。大科学家沈括(公元1031—1095年)对数学有独到的贡献。在《梦溪笔谈》中首创隙积术，开高阶等差级数求和问题之先河，又提出会圆术，首次提出求弓形弧长的近似公式。12世纪北宋刘益(生平不详)撰《议古根源》，亦失传。杨辉《田亩比类乘除捷法》引用了它的若干题目与方法。《缀术》失传之后，开方式的系数仍皆为正数，刘益突破了这个限制，首先引入负系数方程，并创造了益积开方术与减从开方术求其正根，杨辉誉之为“实冠前古”。1127年金朝入主中原，赵宋南迁，史称南宋。1234年，蒙古贵族灭金，后来建立元朝。1279年元灭南宋，统一全国。13世纪中叶至14世纪初，是宋元数学高潮的集中体现，也是中国历史上留下重要数学著作最多的半个世纪，并形成了南宋统治下的长江中下游与金元统治下的太行山两侧两个数学中心。南方中心以秦九韶、杨辉为代表，以高次方程数值解法、同余式解法及改进乘除捷算法的研究为主。北方中心则以李冶为代表，以列高次方程的天元术及其解法为主。元统一中国后的朱世杰，则集南北两个数学中心之大成，达到了中国筹算的最高水平。1247年秦九韶撰成《数书九章》18卷。秦九韶，字道古，自称鲁郡(今山东省)人，约1202年生于普州安岳县(今四川省)。他生活在宋元激烈斗争的南宋末年，并卷入了南宋统治集团战和两派的斗争，支持抗战派吴潜，屡遭刘克庄等人弹劾。贾似道专权后被贬到梅州(今广东省)，不久(约公元1261年)死于任所，并在死后被追随贾似道的周密丑诋不堪。他天资聪明好学，对数学、天文、土木建筑、诗词、音律、弓马等都十分精通。他多次呼吁统治者施仁政，并把数学知识看成开源截流、施仁政、利国利民的有力工具。《数书九章》分大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易九类81题，其成就之大，题设之复杂都超过以往算经，有的问题有88个条件，有的答案多达180条，军事问题之多也是空前的，反映了秦氏对抗元战争的关注。大衍总数术系统解决了一次同余式组解法；正负开方术把以增乘开方法为主导的求高次方程正根的方法发展到十分完备的程度，有的方程高达十次；线性方程组解法完全以互乘相消法取代直除法；提出了与海伦公式等价的三斜求积公式；使用了完整的十进小数表示法，等等，都是其杰出成就。杨辉共撰五部数学著作，传世的有四部，居元以前数学家之冠。杨辉，字谦光，钱塘(今杭州市)人，生平不详，只知在今江浙一带管钱粮，为政清廉。与其他大家比较，他的著作偏重于教育与普及。1261年，杨辉在刘徽注、李淳风等注释、贾宪细草的《九章算术》基础上作解题、比类，并补充了图、乘除、纂类三卷，是为《详解九章算法》，今图、乘除、方田、粟米、衰分上半部、商功之一部分已佚。商功章的比类中的垛积术发展了沈括的隙积术；“纂类”则打破了《九章算术》的分类格局，按方法分成乘除、互换、合率、分率、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。1262年又撰《日用算法》，着重于改进乘除捷算法，只有少量题目保存下来。1274年撰《乘除通变本末》三卷。卷上的“习算纲目”是一个从启蒙到《九章》主要方法的数学教学计划。本书还总结了九归等乘除捷算法及其口诀。次年编纂《田亩比类乘除捷法》二卷，引用了刘益的方法与题目，批评了《五曹算经》四不等田求法的错误。同年，编纂《续古摘奇算法》二卷，对纵横图即幻方研究颇有贡献。后三部书又常合称为《杨辉算法》。十二、十三世纪，北方出现了许多天元术著作，大都失传，流传至今的最早的以天元术为主要方法的著作是李冶的《测圆海镜》12卷(公元1248年)、《益古演段》三卷(公元1259年)。李冶(公元1192—1279年)，字仁卿，号敬斋，真定栾城(今河北省)人，生于大兴(今北京市)。其父为官清廉正直，李冶自幼受到良好的教养，且爱好数学，青年时便成为名重中原的学者，金词赋科进士。入元，遂隐居于忻、崞〔guo郭〕(今山西省北部)一带，在极为艰苦的条件下研究数学及各种学问，常粥饘〔zhan毡〕不继，而聚书环堵。1251年起，主持封龙书院(今河北省)。1257、1260年两次受到元主忽必烈召见，发表了立法度，正纲纪，进君子，退小人，减刑罚，止征战，反对种族偏见的政治主张。他被聘为翰林学士。然而他羞于作唯天子、宰相之命是听的御用文人，不久便以老病为辞回到封龙山。他一生文史著述颇多，仅存《敬斋古今黈》。《测圆海镜》在洞渊九容基础上考虑了勾股形与圆的10种基本关系，在卷二一十二中就15个勾股形与圆的关系提出了170个求圆径长的问题，答案当然都相同。这些问题大都要用天元术列出方程。卷一是全书的理论基础，包括圆城图式、识别杂记等部分。圆城图式以天、地、乾、坤等汉字表示点，是个创举。识别杂记提出692条公式，除八条外都是正确的，集历代勾股形与圆的关系研究之大成。《益古演段》64问，这是一部用天元术阐释蒋周(可能是北宋人)《益古集》的方程列法的著作。其中保存了《益古集》的若干题目和旧术(方法)。朱世杰有两部重要著作《算学启蒙》(公元1299年)、《四元玉鉴》(公元1303年)传世。朱世杰，字汉卿，号松庭，燕山(今北京市)人，生平不详。他在13世纪末以数学名家周游全国20余年，向他学习数学的人很多。《算学启蒙》20门，259问，包括了从乘除及其捷算法到增乘开方法、天元术等当时数学各方面的内容，形成了一个较完整的体系。《四元玉鉴》24门，288问，卷首给出古法七乘方图(改进了的贾宪三角)等四种五幅图，以及天元术、二元术、三元术、四元术的解法范例。创造四元消法，解决了多元高次方程组问题，以及高阶等差级数求和问题，高次招差法问题，是本书最大的贡献。此书是中国古代水平最高的数学著作。杨辉、朱世杰等人对筹算乘除捷算法的改进、总结，导致了珠算盘与珠算术的产生(大约在元中叶)，完成了我国计算工具和计算技术的改革。元中后期，又出现了《丁巨算法》、贾亨《算法全能集》、何平子《详明算法》等改进乘除捷算法的著作。第五节 明清数学——从衰落到艰难的复兴元中叶之后，中国数学急剧衰落，元末的几部著作只是对乘除捷算法有所改进。明永乐年间(公元1403—1425年)修《永乐大典》，将前此的中国数学著作按起源、各种数学方法及音义、纂类等分类抄录。汉唐宋元数学著作在明代大都散佚，清中叶修《四库全书》，中国古算书多赖此重新面世。明代八股取士，思想禁锢严重，学者们很少留心数学。顾应祥、唐顺之是明代数学大家，全然不懂天元术和增乘开方法。景泰元年(公元1450年)吴敬撰《九章算法比类大全》十卷，收集历代应用题，亦抛弃了增乘开方法和天元术。元明之后，随着筹算捷算法的完备，珠算术产生并得到普及，明朝出现了一批有关珠算的著作。其最著者为程大位的《算法统宗》(公元1592年)，凡17卷，595问。此书适应商业发展的需要，以珠算为主要计算工具，并载有珠算开方法。此书在以后二、三百年问被多次翻刻、改编，流传之广是罕见的。程大位，字汝思，号渠宾，休宁(今黄山市屯溪区)人，曾在长江中下游地区经商，注意收集算经和数学问题，晚年撰成此书。16世纪末，利玛窦等欧洲传教士来华，与徐光启等一起翻译《几何原本》等著作。后来，传教士们又引入了三角学、对数等西方初等数学，从此，中国数学开始了中西会通的阶段。清朝260余年，留下数学著作极多，都在不同程度上融会中西数学。清宣城梅文鼎(公元1633—1721年)潜心于中西数学研究，著述甚多，其孙梅瑴成将他的著作编辑成《梅氏丛书辑要》60卷，其中数学著作13种40卷，内容遍及当时中国数学的各个门类，对清朝数学影响极大。康熙皇帝爱好数学，他御定由梅瑴成、何国宗、明安图、陈厚耀等编纂的《数理精蕴》53卷，全面系统地介绍了当时传入的西方数学知识。上编立纲明体，为数理本源、几何原本、算术原本等五卷；下编分条致用，为实用数学和借根方比例，以及对数、三角函数等40卷，表4种8卷，同样对清朝数学产生了巨大影响。此书于雍正元年(公元1723年)印行。1723年，雍正帝即位，认为传教士不利于自己的统治，除少数供职于钦天监者外，将传教士悉数赶到澳门。此后，西学的传入遂告一段落，中国数学家一方面消化前此传入的数学知识，一方面忙于整理中国古典数学著作。1773年乾隆帝决定修《四库全书》，戴震(公元1724—1777年)从《永乐大典》中辑出《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《五经算术》以及赝本《夏侯阳算经》等七部汉唐算经，并加校勘，《数书九章》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》等久佚的宋元算书也陆续辑出或发现，从此掀起了乾嘉时期(公元1736—1820年)研究整理中国古典数学的热潮。古书注释以李潢(？—公元1812年)《九章算术细草图说》、罗士琳(公元1789—1853年)《四元玉鉴细草》影响较大。而开创性的研究则以焦循(公元1763—1820年)《里堂学算记》、汪莱(公元1768—1813年)《衡斋算学》、李锐(公元1768—1817年)《李氏算学遗书》最为有名。18世纪初，法人杜德美(公元1668—1720年)传入牛顿、格雷果里创造的三个三角函数的级数展开式。后来，三角函数和对数函数展开式的研究成为中国数学家的重要课题。明安图(17世纪末至18世纪60年代)、董祐诚(公元1791—1823年)、项名达(公元1789—1850年)、戴煦(公元1805—1860年)等都作出了杰出贡献。李善兰(公元1811—1882年)的《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》(公元1845年)在三角函数与对数函数的研究上取得了更大的成就。他创造的尖锥术提出了几个相当于定积分的公式，在接触西方微积分思想之前独立地接近了微积分学。李善兰，字壬叔，号秋纫，浙江海宁人。幼年即嗜好数学，30余岁即获创造性成果。1840年，列强用大炮轰开了清朝闭关自守的大门，中国逐渐沦为半封建半殖民地社会。西方数学以前所未有的规模大量传入。1852年李善兰到上海，与英国传教士伟烈亚力(公元1815—1887年)合译《几何原本》后九卷、《代数学》13卷、《代微积拾级》18卷等许多西方数学著作，后者是中国第一部微积分学译著。后来，华衡芳(公元1833—1902年)与英人傅兰雅合译了《代数术》、《微积溯源》、《三角数理》、《决疑数学》等书，后者是中国第一部概率论译著。他们创造的许多术语至今还在使用。李善兰还融会中西，著述颇丰。《椭圆正术解》等四种是关于圆锥曲线的研究，《级数回求》等是关于幂级数的研究，而《垛积比类》则在朱世杰基础上系统解决了高阶等差级数求和问题，并提出了著名的李善兰恒等式。1872年撰《考数根法》，证明了费尔马小定理，提出了素数判定法则。他的著作汇集为《则古昔斋算学》，包括14种科学著作。李善兰是开展现代数学研究的第一位中国数学家。然而，总的说来，时处清末，经济衰落，社会动荡，有志于现代数学的人没有与现代工程技术结合的条件，不可能有大量可观的成果，而士大夫阶层更多的人抱有西学为我中华所固有的偏见，不求甚解。此后不久，尤其是维新变法和新文化运动之后，中国古代数学传统基本中断，中国数学研究纳入了统一的现代数学。20世纪是中国数学复兴的世纪，人们期待，在下个世纪中国将重新取得数学大国的地位。第二章 记数法与计算工具优越的十进位置值制记数法和方便的计算工具算筹是中国古代数学长于计算并取得辉煌成就的前提条件。第一节 结绳及甲骨文数字人们对数的认识经历了漫长的过程。最先人们只能数出一个人、二个人；一只羊、二只羊。有的原始部落不久前还只能数到五，五以上就称为多。当人们用一个数字，比如五，既可以表示五个人，又可以表示五只羊或别的什么东西的时候，才初步完成了数概念的抽象。《世本》说“隶首作数”。相传隶首是黄帝的臣子，是时中国已进入新石器时代，产生抽象的数的概念是可以理解的。《周易·系辞》说“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”。云南有的少数民族50年代仍沿习结绳、木刻记数。随着文字的萌芽与发展，也出现了记数文字。公元前三四千年的西安半坡遗址和公元前近两千年的二里头遗址陶文中有【002】等数字，分别表示1，2，3，4，5，6，7，8，70。殷墟甲骨文卜辞中有许多数字，其中13个记数单字是：【003】前四个是象形文字，其他几个多数人认为是假借字，如【004】是午，【005】是入，十是切，【006】是分，【007】是肘(一说象蛇形)，【008】是蠆，象蠍子。【009】是“一白”，【010】是“一人”的合文。十、百、千、万的倍数用合文，如【011】、【012】分别是20、30、50、80、200、800、2000、8000、30000。甲骨文用九个数字与四个位置值符号，可以表示大到成万的任何自然数，已有位置值制萌芽。第二节 算筹算筹产生于何时，无可靠记载。《老子》说“善数不用筹策”，说明在春秋末年以前筹(策)就是人们的主要计算工具。算筹记数采取纵横两式：【013】其记数制度的完整表述出现在《孙子算经》中：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”《夏侯阳算经》又补充了“满六已上，五在上方，六不积算，五不单张”。就是说用上述符号，以及用空位表零，则任何一个自然数都可以表示出来，比如1991便是【014】，它完全采用十进位置值制，这是当时世界上最简便的计算工具，最先进的记数制度，比古巴比伦的六十进位置值制方便，比古希腊、罗马的十进非位置值制先进。许多学者认为印度——阿拉伯数字的创造，借鉴于中国古代的十进位置值制记数法。根据刘徽的记载，负数产生后，用红筹表正数，黑筹表负数，“或以邪正为异”。宋元算书算草中通常在最后一个有效数字上加一斜线表示负数。算筹通常用竹，也有用木、骨、石制成的。《汉书》载：“其算法用竹，径一分，长六寸”，分别合今天0.23cm与13.8cm，陕西千阳、旬阳发现的算筹证实了这种记载。但是算筹太长，布算面积过大，截面为圆形，容易滚动。随着计算的发展，人们逐渐缩短算筹长度，并使截面由圆变方。石家庄出土东汉算筹，截面就为方形，长度已缩短为7.8—8.9cm。用算筹进行计算，便是筹算。中国古代数学的辉煌成就，大都借助于算筹与筹算取得的。