这种错误可不是不合习惯；如果有机会再加观察，他一定会说，“不对，我看见的是只鼹鼠”。我们必须先把涉及到的全部字词的文字的和实指的定义都摆出来，然后才能研究文字的叙述是知识还是谬误。一切实指的定义，因而也就是所有的定义，都免不了有些含糊不清。非洲类人猿无疑属于猿类，但是在演化过程中必然有过介乎猿与人两者之间的动物。每个经验界的概念必然可以适用于某些事物，也必然不能适用于其它事物，但是介乎两者之间还有一个由那些令人感到犹豫不决的事物所构成的领域。就这类事物来说，分类的叙述可能有着较多或较少的真实性，或者可能很接近这个令人感到犹豫不决的领域的中心，以致把它们看作真或伪都没有什么区别。科学技术主要用来缩小这个不确定的领域。对于度量的计算要达到若干位有效数字，给出可能的误差。有时“自然界的种类”使得误差几乎不可能出现。在现存的世界里，大概不会有这种动物，它既不是完全不容置疑是老鼠又不是完全不容置疑不是老鼠；那些在演化过程中必然存在过的令人感到犹豫不决的实例现在已425 经不存在了。在物理学中，原子分为有限数目的不同种类；“铀235”是这样一个概念，它总是毫不含糊地可以用于或者毫不含糊地不可以用于一类原子身上。一般说来，由于含糊不清而引起的不确定是有限度的和可以控制的，它只存在于我们想要做出的叙述中的一小部分——至少在可以使用科学技术的领域内是这样。抛开含糊不清不论，如果我们做出类似“有一只老鼠”这种叙述，那么这句话包含着什么意思？一次视觉使得我们相信，沿着我们看的方向有一只动物，这只动物有着过去和未来，它还有着构成“老鼠”这个词的定义的一些特点（除了视觉形象之外）。如果我们确有理由相信这个非常复杂的信念，那么在外面世界中事实之间一定存在着一些关连，这些关连与视觉和视觉所引起的信念之间的关连相似。如果不存在这些关连——比方说，如果老鼠不是“真实”的，而是在影片里出现的——的话，我们的信念就是谬误的。从这一方面看来，事实之间的关连在判断那些可能被我们当作知觉判断的信念的真伪上是起着一定作用的。当我说“有一只老鼠”这句话时，我所断言的内容有一部分——我认为不是全部——是由预料与假言预料组成的。我们想到如果我们继续观看，我们将继续看到达只老鼠，或者看到这只老鼠躲进某个洞口或裂缝里；如果老鼠在地板中间突然消失不见，我们一定会感到惊讶，虽然在电影中我们可以很容易经过安排让这种现象发生。我们想到如果我们摸到它，它会给人以触到老鼠的感觉。我们想到如果它会走动，它将走动得象只老鼠而不象只青蛙。如果碰巧我们是解剖学家，我们可能想到如果我们把它解剖开，我们会发现老鼠的器官。但是当我说我们“想到”这一切事情的时候，口气未免过于肯定。我们在需要时会想到这些事情；在发生与此相反的情况时，我们就会感到惊讶；但是在一般情况下，那种能够发展成这些思想的萌芽却是颇为含糊不清和不曾明确表达出来的东西。我认为我们可以说在正常条件下知觉到的事物引起两种反应：一方面是多少属于下意识的预料，另一方面则是一些行为的冲动，尽管这种行为可能只是继续进行观察。在这两种反应之间存426 在着某种程度的关连。比方说，继续进行的观察就带有认为这件事物将会继续存在的预料；我们对于闪电并不抱有这种反应。比起我们刚才讨论过的这些情况，预料常常要肯定得多。你看见门让风给关上，你会预料听到砰然一响。你看见一位相识走了过来，你会预料他跟你握手。你看见太阳落山，你会预料太阳将在地平线下消失。在日常生活中预料占有很大一部分；如果我们处在一个生疏到不知预料什么的坏境里，我们就会感到强烈的恐惧。（请看象群第一次看见飞机时奔逃的照片。）想知道预料些什么的愿望是恋家的一大原因，也是科学研究的一大动力。科学家因为“自己的家最好”这个想法在他们迫不得已出外旅行时使他们感到很不舒服，于是就发明了空间的均一性。如果我们对于预料进行思考，那么预料显然包含着我们对于因果律所抱的信念。但是在它们的原始形式下，预料似乎并不包含这类信念，虽然它们为真的程度与那些有关的因果律为真的程度一致。预料的发展过程有三个阶段。在最原始的阶段，A 的出现引起我们对于B 的预料，但却完全没有意识到其中的关连；在第二阶段，我们相信“A 出现，所以B 将出现”；在第三阶段，我们提高到一般的假言命题“如果A 出现，那么B 将出现”。从第二阶段过渡到第三阶段绝不是件容易的事；没有受过教育的人感到很难接受一个不知其中假设是否为真的假言命题。虽然这三种心理状态各不相同，但是使得它们所包含的信念为真的条件一般说来却是相同的，这就是A 与B 两者之间存在着因果关连。当然在第一种形式下，A 的出现引起对于B 的预料，而B 可能是碰巧发生的，在这种情况下预料就得到了证实；然而除非A 与B 之间有着某种程度的关连，这种现象是不能经常发生的。在第二种形式下，我们说“有A，所以有B”，“所以”这个词需要加以解释，但是就这个词的通常意思来讲，在A 与B 之间的关连表现为偶然出现于这一场合的情况下，人们没有理由去使用这个词。427 在第三种形式下，因果律才被明确地表示出来。这样就产生了一个问题，即在什么条件下可以把这类信念看作“知识”？任何想对“在什么意义上我们认识科学推理的必要公设？”作出回答的努力都会涉及到这个问题。我认为知识是一个程度上的问题。我们可能不知道“B 一定总是发生在A之后”，但是我们却可能知道“B 大概通常发生在A 之后”，这里“大概”的意思就是“可信度”。我将按照对于“知识”所做的这种比较平易的说法，来研究在什么意义和什么程度上，我们可以把期待看作“知识”。首先我们必须看一下我们所说的“预料”是什么意思，同时不要忘记我们所讨论的东西在不会说话的动物身上是可能存在的，它也并不假定语言的存在。预料是相信的一种形式，许多对于预料可以讲的话也可以用于一般信念上面，但是目前我们要谈的只限于预料。预料的状态，就其较强的形式来看，是我们都很熟悉的一种状态。在赛跑之前，你会期待着作为出发信号的手枪声。在进行爆破的石坑里，在你等待一次即将发生的爆炸声时，你会感到有些紧张。到旅客拥挤的车站去接朋友，你会打量许多张面孔，看看有没有你心目中所期待的那张面孔。这些不同的状态一部分是心理的状态，一部分则是身体的状态；有着肌肉与感宫的调整，通常还有某种想象中的事物（这可能只是文字）。在某一时刻，某种事情的发生不是给你“果然这样”的感觉，就是给你“真想不到”的感觉。在前一种情况下你的预料为“真”，在后一种情况下你的预料为“伪”。各种不同的身体和心理状态可能都是对于同一事件的预料。可能有着不同数量的意象，不同程度的肌肉调节，以及不同紧张程度的感官上的适应。如果被预料的事物不是近在眼前又不是很有意思，预料就可能只存在于对于某个将来时态的句子的相信上面，例如：“明天夜间将有月蚀”。“对于B的预料”可以定义如下：如果在适当时间出现B，我们会有“果然这样”的感觉，如果不出现B，我们就会有“真想不到”的感觉，在这种情况下的任何心理和身体状态就是“对于B 的预料”。我认为没有任何别的方法可以给作为对于某一事件的预料的全部状态中的共同成分来下定义。我们早已确定了使预料为“真”的条件；在预料之后出现“果然这样”的感觉时，预料就为“真”。我们现在要研究的乃是使预料成为“知识”的条件。因为知识的每个实例都是真的信念的一个实例，但是这句话反过来说却不能成立，所以我们必须研究除了为真这个条件之外，还必须加上什么条件才能使真的预料成为“知识”。我们很容易举出预料为真但却不是知识的实例。假如你见到一位智者，他长着银色长髯，衣穿锦袍，具有丰富的东方智慧，你就会深受感动。假如他说（而且你相信他）他有预见未来的本领。并且假如你掷一次钱币，他说是正面，果然就是正面。这时你得到的是一次为真的预料，而不是知识，除非他的夸口得到充分的证实。或者举一个更为简单的例：假如你正料到调先生给你打电话。电话铃响了，但打电话的并不是X 先生。就这个例子来说，你对于电话铃响的预料虽然为真，但它却不是知识。或者假如你是个怀疑一切的怪人，因为天气预报说天晴你就预料着下雨，而后来果真下了雨，在这种情况下把你的预料叫作“知识”就会成为对于气象学者的侮辱。非常明显，如果预料是具有假前提的论证的结果，那么它便不是知识。如果我以为B 几乎总是随着A 而发生，所以我看到了A，就预料到B；如果事实上B 很少随着A 而发生，但是作为B 随着A 而发生的极少见的实例之一却碰巧真地发生了；那么我对于B 的为真的预料就不能算作知识。但是这些还不是真正困难的实例。动物和人类（除去在少有的从事科学研究的场合）的预料是由于一些经验引起的，逻辑学家可以把这些经验当作归纳的前提来看待。我刚解开拴狗的皮带，狗就兴奋地期待可以到外边走走。狗的行为好象表示它在做这种推理：“根据我的经验，到外边走走（B）总是随着解开皮带（A）而发42 生；所以这一回大概也是这样”。当然，狗并没有进行这样的推理过程。但是狗的身体构造决定了这件事实：如果在狗的经验中B 常常随着A 而发生，而B 又是在感情上引起兴趣的事物，那么A 就引起狗对于B 的预料。狗的这种预料有时是对的，有时则是错的。假定事实上B 总是或几乎总是随着A 而发生；在这种情况下，我们能说狗对于B 的预料是对的吗？我们可以把问题再往下深究一步。假定虽然事实上B 总是随着A 而发生，这个概括性叙述却只是碰巧正确，而且大多数逻辑上与它类似的概括性叙述都是错误的。在这种情况下，我们必须认为是狗交了好运，全凭偶然的机会才猜中的，在这里谬误的过程碰巧引导出正确的结果。就这种情况来看，我并不认为可以把狗的预料当成“知识”来看。但是现在让我们假定不仅事实上B 几乎总是随着A 而发生，而且在经验中B 随着A 而发生的实例属于一个可以下定义的由实例构成的类，在这个类中概括性的叙述事实上几乎总是正确。我现在假定尽管我们所说的那种概括性的叙述事实上几乎总是正确，我们却不知道它们所以为真的理由。我个人的看法是：在这种情况下，狗的预料应该当成“知识”来看。如果这样，科学的归纳也应看成“知识”，只要世界具有某些特点即可。我暂且把我们是否知道和在什么意义上知道世界具有这些特点这个问题搁下不谈。在本书中我们一直假定科学的真理是颠扑不破的，并且一直探讨我们得以认识科学的过程。所以我们有正当理由假定动物大体上和生物学家所说的一样，已经变得适应它们的环境了。现在动物一方面具有某些先天性倾向，另一方面又有获得习惯的能力。就得以生存下来的某一类动物来说，这两者都一定与环境中的事实有着某种程度的一致。动物一定吃它应吃的食物，与同类的动物成偶，和（在高级动物中）学会躲避危险。除非世界上存在某些因果的一致性，动物获得的习惯就不会有用。这些一致性不一定430 就是绝对的：你把砒霜掺进对老鼠富有吸引力的食物，这就可以毒死它们。但是除非吸引老鼠的食物通常是有益的，老鼠恐怕早就死光了。一切高等动物很快就获得到曾经发现过食物的地方寻觅食物；这种习惯是有用的，但它却完全建立在认为存在着某些一致性的假定之上。这样动物之得以生存下去就靠它们按照某些方式作出动作的倾向，这些动作方式的有利性在于这件事实：概括性叙述得到证实的次数比纯粹逻辑让我们假定的还要多。读者可能迫不及待地要问，动物的习惯与知识有什么关系？照传统的“知识”概念来讲，它们之间没有什么关系；照我所要主张的看法来讲，它们之间的关系比什么都重要。就传统的看法来讲，知识的最高境界是主体与客体之间的一种亲切而且几乎带有神秘意味的接触，这种接触有人还可以在来世从幸福的幻境中得到完全的体验。人们告诉我们说，这种直接接触有几分就在于知觉之中。至于事实之间的关联，旧的唯理主义者把自然律归并到逻辑原则里去，他们不是直接这样做就是在中间多通过一层上帝的善意和智慧。这一切都已经过时，只有知觉还被许多人看作是提供直接知识的，而不是象我一直所主张的是感觉、习惯和物理上因果关系的复杂而不准确的混合。我们已经看到，一般来说相信对于被相信的事物只有一种比较间接的关系：当我不通过文字而相信即将发生一次爆炸时，准确他说出我心中的状态是不可能的。事实上相信对于被相信的事物有着一种复杂和比较模糊不清的关系，正象知觉对于被知觉的事物的关系一样。但是我们现在必须研究的不是对于个别事实的信念或知识，而是对于事实之间的关系的信念或知识，例如在我们相信“如果有A，那么就有B ”时所涉及的那一类关系。我所谈的那些关联是一些带有某种普遍性的关联。在一个完全的共现复合范围之内，我能够知觉到具有空间与时间关系的各部分；这些关系属于个别知觉材料的范围，不是我要研究的问题。我要研究的那些关系是带普遍性的，正如拴狗的皮带与出去走走431 之间的那种关系一样。但是当我说这些关系带有“普遍性”时，我的意思并不一定是说没有例外；我的意思只是说这些关系在绝大多数的实例中为真，以致就每一个特例来讲，如果该特例不存在相反的证据，那么它就有着很高的可信度。这些就是成为我们日常生活中行为根据的那些概括性叙述，例如，“面包有营养”，“狗吠”，“响尾蛇是危险的”。看来很明显，就这些信念在逻辑书上所表现的形式来讲，它们有着很久的历史，我们可以沿着这段历史一直追溯到动物的习惯。我想追溯的正是这段历史。对于“狗吠”所进行的纯逻辑分析很快就达到非常复杂的境地，看来常人似乎不大可能理解这样渺茫、神秘而又带普遍性的事物。对于逻辑学家来说，第一阶段是把它替换成：“不管X 可能是什么，不是‘X 不是狗’就是‘X 吠叫’”。但是因为狗只是有时吠叫，所以你还须把“X 吠叫”替换成“有一个X 吠叫的时间T”的命题。然后你必须用我们在本书第四部分中所提出两个可供选择的给“T”所下的定义。最后你将得到一个很长的命题，这个命题不仅涉及到狗而且涉及到宇宙中一切事物，并且复杂到除了在数理逻辑方面受过相当训练的人都不能理解的程度。但是假定你必须把你的命题“狗吠”解释给这样一个外国人，他除了懂得数学方面的英语之外，不认识“狗”和“吠”这两个词。你怎样办？毫无疑问你不会搬出上面这一套逻辑上的赘言。你会指着你的狗说一声“狗”；然后在激起它吠叫时说声“吠叫”。这时这位外国人就会懂得你的意思，尽管作为一个逻辑学家，他并没有这样做的必要。这就让我们看清楚，普遍命题的心理学与它的逻辑大不相同。心理学是在我们相信它们时所发生的事实；而逻辑也许是我们成了逻辑学圣徒之后应该发生的事实。我们都相信凡人皆有死。在我们积极相信这句话的时刻，出现的是什么一种状态呢？也许只是一种相信这句话正确的信念，而不去想这句话所指的是什么意思。但是如果我们追究这句活的所指的意思，我们将做些什么呢？我们确实不会在心目中展开一长列临终的床位，一人一张。如果我们一定要追究这句话所指的432 意思，我们真正想到的可能类似下面所说的情况：“某某老人，年99 岁，健壮不减当年，但我认为他将有一天死去。有某某年轻人，尽管瞥力过人，精力充沛，但也不能永远活下去。赛可西斯由于想到他的军队的战士会死去而落泪；他的军队里的战士现在都已经死了。至于我自己，虽然难以想象一个没有我的世界，我也要死去，但我希望现在还不要死。如此等等，由你随意列举”。没有这一切无关宏旨的细节，我们就难以理解普遍性命题，除了把它当作一种没有确定解释的文字形式。事实上，在上面这段很长的阐述中，普遍性命题除了通过“如此等等”而露一点头之外，就从来没有正式出现过。我认为，真正构成对一个普遍性命题所抱的信念的是一种心理习惯；如果你想到一个个别的人，并且在出现有关死亡问题的情况下，你就会想到“不错，他也会死的”。这就是那种表面上无关紧要的细节的真正意义所在：它让你认识到相信“凡人皆有死”是什么意思。如果承认这一点，那么我们就能接受一种先于文字形式的普遍性信念。如果一个动物具有一种习惯，使得在A 的一次实例出现时，它的行为与获得这种习惯之前在B 的一次实例出现时一样，那么我将说这个动物相信“B 的一次实例都随着A 的每个（或几乎每个）实例而发生”这个普遍性命题。这就是说，这个动物相信这种文字形式所表示的意思。如果承认这一点，那么动物习惯对于理解普遍性信念的心理学和它在生物学上的起源显然是非常重要的。此外，因为控制事物需要适当的习惯，上面这种理论就可以与实用主义的“真理”说结合起来看，虽然这只是就普遍性定律而不是就个别事实的知识而言。可是这里还存在着我们现在无需去研究的各种复杂情况和限制。让我们回到“知识”的定义上来。我认为一种动物“认识”“B 通常随着A 而发生”这个普遍性命题，如果下列条件得到满足： 1.这种动物已有B 随着A 而发生的反复经验。2.这种经验已使动物在A 出现时的动作多少与以前B 出现时的动作一样。3.B 事实上通常随A 而发生。4.A 与B 有这样的特性或这样的相互关系，即在这种特性或关系存在的大多数情况下，被观察的事序出现的频率为即使不是不变的也具有普遍性的事序法则提供了概然性的证据。显而易见第四个条件会产生困难的问题。这些问题将在以后各章谈到。第二章归纳法的作用那种叫作“单纯列举的归纳法”的推理形式（我将把它简单叫作“归纳法”），在从弗兰西斯?培根到莱新巴哈所写的大多数关于科学推理的讲述中占有一个非常特殊的地位：它象绞刑吏一样，被人当成一件不可少的但却令人不快的事物，人们尽可能地避免谈到这个题目——除了一些象休谟那样不肯受典雅标准约束的人。就我来说，我认为在前面一章（第五部分第八章）中研究过的凯恩斯的著作向我们提出了着重点的改变，即不再把归纳法当作前提，而把它当作数学概率在那些不靠归纳法而得到的前提上面的应用。然而归纳的证据对于给已被承认的科学的和日常生活中的概括性叙述找到合理的根据这一点来说却是极其重要的。我想在本章内既要讲明白归纳法怎样才是有用的，也要讲明白为什么它不是一个前提。我们在以前各章已经看到，当我们开始回想时，我们是怎样发现我们自己早已相信多得不可胜数的概括性命题的，例如“狗吠”434 或“火燃”，这些都是由过去的经验通过条件反射和形成习惯的过程而产生的。当我们思考我们的信念时，如果我们有喜好逻辑的倾向，我们就会疑心产生我们信念的原因是否可以当作它的根据；而因为这种原因乃是重复，这样就让我们想为归纳法找出理由根据。可是从我们先前的研究来看，我们必须找出一种为某些而不是另外一些归纳法找出根据的方法。为归纳法本身找出根据是不可能的，因为我们可以证明归纳法导致虚妄和导致真理是同样常见的。然而就适当的实例来讲，归纳法作为一个增加概括性命题的概率的手段还是很重要的。我们能够感到什么是适当的实例，这种能力尽管极易失败，却足够排除大量的各类导致谬误的归纳法，逻辑学家可以发明这些导致谬误的归纳法，但是神智健全的人却从来不会接受。我们的目的必须是把这种感觉力换成某种与其不相矛盾而又更加明确和更加可靠的东西。显然，每当A 和B 经常一起发生或很快连续发生时，不会产生条件反射或“动物性归纳”。A 和B 必须是动物关心的事物。如果B 是在情感上引起兴趣的东西，那么B 所需要的重复发生次数要比它在情感上不引起兴趣的情况下少得多。动物和野蛮人对于关系到他们切身利益的重大问题所进行的归纳是极其轻率的；喜欢得出概括性命题的倾向随着教育的提高而大大减少。但是我们一定要知道，与这点互相制约。的还有这件事实，那就是科学训练可以让人注意到动物从来不会注意到的事物。动物注意到在什么时候和什么地方能够找到食物，并接受食物气味的刺激，但动物不能发现土壤的化学成份或肥料的效用。动物也不能创造假设；动物不会说：“我已经注意到B 随A 而发生的几个场合；也许情况永远是这样，至少值得我们去找寻另外的事例”。但是尽管科学家在有意建立一种归纳时注意到许多不曾为动物注意到的事物，铣他所归纳的A 和B 来讲，他仍然局限在某些类在他看来似乎合理的事物上面。这种无意的和几乎意识不到的限制与那些为了保证归纳法435的正确而加在归纳法身上的限制之间到底有多少契合之处是一个困难而晦奥的问题，对此我不想多加论断。关于归纳的科学用途，我同意凯恩斯得出的结论，这些结论我们在前面一章里已经做过阐述。在现阶段把这些结论重述一下也许是有益的。凯恩斯假定某个概括性命题，例如“凡A 都是B”，对于这个命题来说，在未观察到任何事例之前，存在着概率p0。他还假定，观察到许多有利的事例X1，X2，..，Xn，而没有观察到一件不利的事例。概括性命题在第一次有利事例之后的概率为p1，在第二次有利事例之后为p2，以此类推，所以pn就是在第n 次有利事例之后的概率。我们想知道在什么条件下，当n 无限增加时，pn趋近于它的极限1。为此，我们必须考虑在概括性命题虚妄的条件下，我们竟然观察到n 个有利事例，而没有观察到一个不利事例的概率。假定我们把这个概率叫作Qn。凯恩斯证明如果Qn与PO之比在n 增加时趋近于零，那么当n 无限增加时Pn趋近于它的极限1。这就要求Pn应为有限数，qn在n 增加时应趋近于零。只靠归纳法我们不能知道这些条件在什么场合下得到满足，如果存在这种场合的话。让我们看一下p0应为有限数的条件。这就是说，被提出的概括性命题“凡A 都是B”；在我们观察到不管是有利还是不利的事例之前就有几分可以成立的希望，所以这至少是个值得研究的假设。按照凯恩斯的处理办法，概率p0是对于一般与件h 而言的，这种与件看来可以包括除了A 是B 或不是B 的实例以外的任何东西。很难不令人这样认为：这些与件是由至少有一部分确已成立的类似的概括性命题所组成，从这些概括性命题我们引导出有利于“凡A 都是B”的归纳证据。举例说，你想证明凡铜都导电。在用铜做实验之前，你试过许多其它元素，发现每种元素在导电方面都表现出一种特有的行为。于是你根据归纳得出结论：铜都导电或都不导电；因此你的概括性命题在你进行观察之前就有了一种可以觉察到的概率。但是因为这种论证使用了归纳方法，所以对于我们想做的事情没有什么用处。在我们做出所有元素在导电方面都表现出一种特有的行为这个归纳之前，我们必须先问一下，在我们还没有观察到这个归纳的真或伪的实例以前，它的概率有多大。我们可以接着把这个归纳归入一个范围较大的归纳之中；我们可以说：“人们对于很多种性质进行过试验，就每一种性质来说，每种元素都表现出一种特有的行为；所以导电大概也是这样一种性质”。但是这种把归纳归入范围较大的归纳的方法在实用上必然有一个限度，我们不管在什么地方停下来，在我们知识的任何一种特定的情况下停下来，在凯恩斯的H 下所汇集的与件一定不是在只有假定了归纳的前提下才与本问题有关的与件。因此我们就得在归纳之外去寻找一些原则，这些原则在已知某种不属于“这个A 是一个B”这种形式的与件的情况下，能使“凡A 都是B”这种概括性命题具有有限的概率。已知这类原则，又已知适用这类原则的一个概括性命题，归纳法就可以使这个概括性命题具有越来越大的概率，在有利的实例数目无限增加时具有逐渐接近必然性并以其为极限的概率。在这样的论证当中，我们所说的那些原则是前提，但归纳却不是这种前提，因为在我们使用归纳的那种形式下，它是概率的有限频率说的一个分析性推论。因此我们的问题是在尚未发现证据之前，找出使适当的概括性命题具有概然性的一些原则。我们还要看一看凯恩斯所说的另外一个条件，即当n 增加时qn应趋近于零。qn是在尽管概括性命题为伪而所有前n 个实例却都是有利的实例时的概率。让我们重复一遍以前说过的一个例子，假定你是个户口调查官员，从事情查威尔斯某个村庄居民的姓名。你所调查的前n 个居民都叫威廉。那末qn就是在居民不都叫威廉的情况下发生这件事的可能性。就这个实例说，当n变得等于村中居民数的时候，村中再也不会有一个可以不叫作威廉的人，因此qn 也就为零。但是一般来说这种无遗漏的列举是不可能的。一般来说，A将是一类总在发生并且除非发生就无法观察到的事件，所以除非到了时间结束，我们无法把A 没有遗漏地列举出来。我们也无法猜想A 有多少分子，甚至无法猜想它是不是一个具有有限数分子的类。这样一些实例是我们在研究凯恩斯所说的条件，即当n 增加时qn必然趋近于零时所必须考虑到的。凯恩斯把这个条件用另一种形式表示出来，即把qn作为n 个不同概率的乘积。假定Q1是在概括性命题为伪的情况下第一个A 将是一个B 的概率，Q2是在概括性命题为伪和第一个A 为一个B 的情况下第二个A 将是一个B 的概率，以此类推。那么qn就是Q1，Q2，Q3，..Qn。的乘积，这里Qn。是在已知概括性命题为伪和前n-1 个A 都是B 的情况下，第n 个A 将是一个B 的概率。如果有任何一个小于1 的数，并且所有的Q 都小于它，那么n 个Q 的乘积小于这个数的n 次乘方，并且在n 增加时趋近于零。这样，如果有某个不能达到必然性的概率，例如p，使得在已知概括性命题为伪和n-1 个A 已经是B 的情况下，在n 足够大的时候第n 个A 将是一个B 的机会永远小于p，我们的条件就可以得到满足。很难看出这种条件在经验界所提供的材料上会发生失败的情况。如果这种条件发生失败的情况，那末如果ε是任何一个不管多小的分数，而n 是任何一个不管多大的数，并且如果前n 个A 都是B，但并非所有的A 都是B，则