log nn11的极限为零。但是现在假定我们按照下面的方式重新排列整数：先排好前9 个质数，然后排上第一个不是质数的数，再排好下9 个质数，然后排上第二个不是质数的数，这样一直无限地排下去。当整数按照这种顺序排好之后，莱新巴哈的定义表明任意选取的一个数目为质数的机会是9/10。我们甚至能把整数安排得使一个数目不为质数的机会为零。为了得到这个结果，先排第一个非质数——即4——然后再在第n 个非质数的后面排上已经排好的质数以后的n 个质数；这个级数的开始是：4，1，6，2，3，8，5，7，11，9，13，17，19，23，10，29，31，37，41，43，12，..。在这个排列中，在第（n＋1）个非质数之就将有n 个非质数和1/2n（n＋1）个质数；这样随着n 的增大，非质数的数目与质数的数目之比就趋近于0，而以0 为极限。从这个具体例子来看，显然如果我们接受莱新巴哈的定义，同时已知任何一个具有与自然数项数相同的类A，并且已知任何一个无限子类B, 那么一个任意选取的A为一个B 的机会将为0到1 之间的任何数（包括0和1 在内），这要看我们选择的把B 分配在A 中的方式来决定。由此可以看出，如果要把概率应用到无限集合上来，它一定适用于级数而不适用于类。这一点看来似乎有些奇怪。诚然，就经验界的数据来讲，这些数据都是按照时间顺序出现的，因而也就构成一个系列。如果我们愿意假定将有无限多个我们正在研究的那种事件出现，那么我们也能确定我们的概率定义只适用于按照时间序列排好的事件。但是在纯粹数学的范围之外，我们还不知道有什么无限级数，并且就我们所能得出的判断来讲，大多数系列都是有限的。一个六十岁的人死于癌症的机会是多少？显然我们可以计算这种结果，而无需假定征时间终结之前死于癌症的人数为无限大。但是照字面的解释来看，莱新巴哈的定义认为这是不可能的。如果概率依靠按照时间顺序而不是按照其它可能的顺序来排列事件，那么概率就不能成为逻辑的一个分支，而必须是关于自然过程研究的一部分。这并不是莱新巴哈的看法;相反，他认为一切真正的逻辑都是概然逻辑，并且古典的逻辑的错误就在于把命题分为真伪两种，而不是把命题当作具有这种或那种程度概率的东两。所以他本来无需引入象时间这类现实世界中偶然性的特点，只用抽象的逻辑说法就能够叙述概率论中最基本的内容。那种把概率当作统计的看法与莱新巴哈也在主张的那种认为一切命题由于缺少必然性而只具有不同程度的概然性的看法是很难结合在一起的。困难在于我们似乎陷入了无尽止的后退。假定我们说一个得瘟病的人死于这种病这句话带有概然性。这样说的意思是如果我们能够说出从最早的时代直到人类灭亡所有患瘟病的人所组成的系列，我们就将发现他们当中有半数以上死于这种病。因为将来和大部分过去都没有记载，我们就假定记载的情况是较好的样本。但是现在我们要记住我们的全部知识都只有概然性；所以如果我们在编写统计时发现记载上写着某甲得瘟病而死，我们一定不能把这个项目当作具有必然性而只能当作具有概然性的东西。为了发现它的概然性有多大，我们必须把它包括在一个系列中，比方说官方的死亡证明书中，而且我们必须找出某种方法确定死亡证明书有多大一部分是正确的。这里我们的统计中将有一个项目是：“布朗先生经过官方鉴定已经死亡，但是后来发现他仍然活着”。但是这句话又只能具有概然性，所以一定是记载的官方错误所组成的系列中的一个错误，这些错误之中有些后来发现并不是错误。这就是说我们必须收集人们错误地相信一个已被鉴定死亡的人后来却发现仍然活着的实例。这个过程永远也不会完结，如果我们的全部知识只具有概然性，并且概率又只是统计结果的话。如果我们想避免无尽止的后退，并且如果我们的全部知识只能具有概然性，那么我们就必须把“概然性”解释为“可信度”，并且必须通过统计以外的方法来计算。统计上的概率只能在真正的或假定的必然性的基础上来计算。我将在谈到归纳时再来讲莱新巴哈。目前我想讲清楚我个人关于数学的概率与自然的进程之间的关连的看法。让我们就伯诺利的大数定律的一个实例进行具体说明，选择的是可能有的最简单情况。我们已经看到如果我们列出由n 个不是1 就是2 的个位数组成的所有可能有的整数，那么如果n 大的话——比方说不小于1000——可能出现的整数中有极大多数会具有相同数目的1 和2。这只是下面这个事实的一个应用，即在（x＋y）n 的二项展开式中当n 大时靠近中间的系数的和接近所有系数的和，这个和就是2n。但是这和如果我常常抛掷钱币我将得到出正面和出反面的数目大概会相等这个说法又有什么关系？一个是一件逻辑事实，而另一个则显然是一件经验的事实；它们之间的关连是什么？就“概然性”的某些解释来说，一个包括“概然性”这个词在内的命题永远不能成为一个经验命题。人们承认不大可能的事可能发生；而可能的事却可能不发生。由此可以看出：实际发生的事并不说明先前一个概然性的判断是对还是错；每个可以想象的事件进程在逻辑上都可以和每个可以想象的事前的概然性估计不相冲突。否定这一点只能通过我们主张很少可能的事不会发生，而这一点正是我们没有权利来主张的。特别是如果归纳只断言概然性，那么不管发生的是什么事都可以和归纳的真和伪同时存在。所以归纳原理并没有经验的内容。这是一种归谬证法，表明我们必须把具有概然性的事情和实际发生的情况结合得比我们有时做的更为紧密。如果我们坚持有限频率说——直到现在我还没有发现不这样做的理由——我们将说如果我们已知“a 是一个B”断言“a 是一个A”具有概然性，那么我们的意思是说事实上B 的大多数分子是A 的分子。这是一个关于事实的命题，而不是一个关于a 的命题。并且如果我说一个归纳论证（经过适当方式表达和限制之后）使其结论带有概然性，我的意思是说它是一类论证当中的一个，这类论证中大多数具有真的结论。现在如果我说钱币出正面的机会是一半，那么这句话可能表示的意思是什么？首先，如果这句话为真，这就是一件经验的事实；从这件事实不能得出抛掷钱币只有出正面和出反面两种可能性的结论。如果能够这样，我们就能推论出一个生人叫作爱本兹?威尔克斯?斯密士的机会是一半，因为只有两种可能的选择，即他叫这个名字或者不叫这个名字。就某些钱币来说，出正面的次数多于出反面的次数；就另外一些钱币来说，出反面的次数多于出正面的次数。如果我不确指某个钱币而说出正面的机会是一半，那么我的话的意思是什么？我的断言，同其它一切自认具有数学的精确性的关于经验的断言一样，一定只是近似性质的。我说一个人的身高是6 英尺1 英寸，我说这活时已经打出了误差范围；即使我发誓来说这句话，我也不会因为后来发现我的说法与实际相差百分之一英寸而犯伪誓的罪。同样，如果发现0.500001 比我把钱币出正面的机会估计为0.5 更为精确，我也不会被人认为是说了谎话。可是是否有任何证据能让我认为0.500001 比0.5 要好，这却值得怀疑。在概率问题上，象在其它问题上一样，我们也是采用接近符合事实的最简单的假设。比方说拿落体定律来讲。加里略做了一定次数的观察，这些观察大体符合S＝1/2gt2 这个公式。没有疑问他可能发现过一个函数f（t）使得S＝f（t）更加精确地符合他的观察，但是他却宁愿要一个简单的足以符合观察的公式①。同样，如果我抛掷钱币2000 次，出正面的次数是999 次，而出反面的次数是1001，我就可以把出正面的机会看成一半。但是我用这句话所表示的精确意思到底是什么？这个问题显示出莱新巴哈定义的力量。按照他的说法，我所表示的意思① 参看杰弗雷著《概率论》和《科学推论》。是：如果我相当长久地继续做下去，出正面的比例迟早将达到总在接近1/2左右；事实上，它与1/2 之差将小于任何不管怎样小的分数。这是一个预言；如果预言正确，我的概率估计就正确，如果预言不正确，我的概率估计也不正确。有限频率说能够用什么理由来反对这一点呢？我们必须把概率是多少与概率可能是多少区别开来。关于概率是多少的问题，这要决定于我们正在研究的抛掷的类。如果我们是在研究抛掷一个特指的钱币，那么如果在钱币的整个存在期间，这个钱币在全部n 次抛掷当中将出m 次正面，则该钱币出正面的概率就是m/n。如果我们是在研究一般的钱币，那么n 就将是在世界历史的全部过去和将来中抛掷钱币的总数而m 就将是抛掷钱币将出正面的数目。为了不让问题的范围铺得太大，我们可以只研究本年内英格兰抛掷钱币的数目，或者只研究从事概率研究的人所列出的抛掷钱币的数目。在所有这些实例中，m 和n 是有限数，而m/n。是在这些已知条件下出正面的概率。但是上面所说的概率没有一种是已知的。我们因此必须对它们作出估计，这就是说，找出某种确定它们大概是多少的方法。如果我们要坚持有限频率说，这将表示我们的出正面和出反面的系列一定是某些有限类的系列之一，并且我们必须具有关于整个这一类的有用知识。我们将假定人们已经观察到在由某个特指的钱币的10， 000 次或更多次抛掷所组成的每一个系列中，在第5000 次抛掷以后出正面的比例相差不会超过2ε，这里ε是很小的数。然后我们就可以说：就每个观察到的实例来说，某个特指的钱币在第5000次抛掷以后出正面的比例总在p—ε和p＋ε之间，这里P 是决定于钱币的一个常数。从这个实例推论到一个尚未观察到的实例是归纳的问题。如果使这个推论正确，我们将需要一个公理，即（在某些外界条件下）在所有观察到的实例中出现的一个特点在所有实例的很大一部分中也将出现；或者我们至少需要某个可以导出这种结论的公理。然后我们就能够从观察到的频率推论出可能出现的概率，按照有限频率说来解释概率。上面所说的只是一种理论的大意。根据我所主张的理论，我想强调的要点是：每个概率叙述（与仅属可疑的陈述相对而言）都是关于一个系列中某一部分的事实叙述。特别是不管归纳原则是真还是伪，它都要断言作为一件事实来看，某些种类的大多数系列从始至终都具有一种特点，在这个系列的大量连续的项目中都有这种特点出现。如果这是事实，归纳论证就可能产生概率；如果不是事实，归纳论证就不能产生概率。我现在不是探讨我们怎样知道它是否是一件事实；这是我要留到我们所从事的研究的最后部分来谈的一个问题。在上面的讨论中，我们将看到我们已经在许多论点上与莱新巴哈取得一致的意见，同时却一直不同意他给概率所下的定义。我对于他的定义所抱的主要反对意见是这个定义所依靠的频率是假言性质的和永远不能确定的。我同他的分歧还在于我比他更明确地把概然性和可疑性区别开来，以及我认为与必然逻辑相对待的概然逻辑从逻辑上讲并不是最基本的东西。第五章凯恩斯的概率论凯恩斯的《概率论》（1921）提出了从某种意义上讲与频率说正好相反的一种理论。他主张演绎中所用的那种关系，即“P 蕴涵q”是一种也许可以叫作“P 多少蕴涵q”的关系的极端形式。“如果关于h 的一种知识”，他说，“证实一个具有a 程度的对于a 的合理信念，我们就说在a 和h 之间存在着一种具有a 程度的概率关系”。我们把这种关系写成：“a/h＝a”。“在两组命题之间存在着一种关系，凭借这种关系，如果我们知道了第一组命题，我们就可以把某种程度的合理信念加给后一组命题”。概率基本上是一种关系：“说‘b 是可能的’和说‘b 等于’或‘b 大于’是同样没有用处的”。我们可以从“a”和“a 蕴涵b”得出“b”的结论；这就是说，我们可以完全不谈前提而只肯定结论。但是如果a 对于b 的关系使得关于a 的一种知识把对于b 的一种概然的信念变得合理化，我们就不能对于与a 无关的b 作出任何结论；没有任何相当于证明推理中废除一个真的前提的东西。按照凯恩斯的说法，概率是一种逻辑关系，这种关系也许只有用合理信念的程度的说法才能得出定义。但是从总的方面看来，凯恩斯却倾向于用概率关系的说法来给“合理信念的程度”下定义。他说合理的信念是从知识得来的：我们对于p 有α程度的合理信念，这是因为我们知道某个命题h 并且还知道p/h＝α。由此可以看出具有“p/h＝α”这种形式的某些命题一定在我们的前提之内。我们的知识一部分是直接得到的，一部分是从论证得到的；我们从论证得到的知识来自具有“p 蕴涵q”或“q/p＝α”这种形式的命题的直接知识。在每一个经过充分分析的论证中，我们一定具有关于从前提到结论的关系的直接知识，不管它是蕴涵关系还是某种程度的概率关系。关于h 和p/h 的知识引出对于p 的一种“适当程度的合理信念”。凯恩斯明确地假定一切直接的知识都是必然的，而够不上必然性的合理信念只有在我们觉察到概率关系时才能发生。按照凯恩斯的说法，一般说来概率是不能以数值来度量的；那些可以用数值来度量的概率是概率中很特殊的一类。他认为一个概率与另外一个概率可能不可以进行比较；换句话说，一个概率可能不大于也不小于，然而又不等于另外一个概率。他甚至认为就已知证据来讲，有时不可能比较p 和非p的概率。他的意思并不是说我们的知识不足以做到这一点；他的意思是说实际上并不存在相等或不相等的关系。他是照下面的几何图式来想象概率的：取两个点，分别代表不可能性的0 和必然性的1；然后我们就可以想象可以用数值来度量的那些可能性位于0 与1 之间的直线上，而其它的概率则位于从0 到1 之间的不同弯曲路线上。对于同一条路线上的两个概率，我们可以说比较接近于1 的较大，但是我们对于在不同路线上的概率却不能进行比较，除非两条路线相交，这种情况也是可能发生的。象我们已经看到的那样，凯恩斯需要有关概率命题的直接知识。为了在获得这类知识上做出一个起点，他考察并修正了一般所谓的“不充足理由原理”或者按照他的说法“无差别原理”。就其大意来讲，这个原理说如果没有已知理由选择几种可能当中一种而不是另外一种可能，那么这些可能就是同样可能的。在这种说法下，象他所指出的那样，这个原理产生矛盾。举例说，假定你一点也不知道某一本书的颜色；那么它是蓝色或不是蓝色的机会相等，因而各是1/2。同样它是黑色的机会也是1/2。所以它是蓝色或黑色的机会是1。由此可以得出凡书不是蓝色就是黑色的结论，而这是荒谬的。或者假定我们知道某一个人不是居住在大不列颠就是居住在爱尔兰；我们将把这些作为我们的可能选择，还是将把英格兰、苏格兰和爱尔兰，或者将把每个郡看作具有同样可能的地方？或者如果我们知道某种物质的比重介乎1 与3 之间，那么我们将把1 到2 和2 到3 之间的间隔当作同样可能的比重吗？但是如果我们研究比容，那么1 到2/3和2/3 到1/3 之间的间隔将是我们的自然的选择，这将使比重具有介乎1 和3/2 之间或者3/2 和3 之间的相等机会。这类悻论可以无限地增多。凯恩斯并没有因为这个理由而完全抛弃无差别原理；他认为我们可以这样叙述这个原理，使它一方面避免上面所说的各种困难，一方面仍然有用。为了这个目的，他首先给“无关”下定义。大致说来，一个不改变概率的附加前提是“无关的”；这就是说，如果x/h1h＝x/h,那么hi 对于x 和h 来说是无关的。例如，一个人的姓以M 开始这件事实对于他的生死机会来说就是无关的。可是上面的定义多少有些过于简单，因为h1 可能由两部分组成，其中一部分增加X 的概率而另一部分却减少X 的概率。举例说，一个白种人生存的机会由于居住在热带而减少，但是由于成为一个完全戒酒的人而增加了生存的机会（或者人们是这样说的）。事实可能是在热带居住的完全戒酒的白种人的死亡率跟一般白种人的死亡率一样，但是我们不应当说作为一个居住在热带的完全戒酒的人是无关的事情。所以，我们说h1 对于x/h 来说是无关的，如果375h1 当中任何一部分都不改变x 的概率的话。现在凯恩斯用下面的说法来叙述无差别原理：a 和b 相对于已知证据的概率是相等的，如果关于a 的有关证据都说明存在着关于b 的相应的证据；这就是说，a 和b 关于这种证据的概率是相等的，如果这种证据关于a 和b是对称的话。可是这里还要添上一项比较困难的条件。“我们必须把那些事例除外，在它们当中所涉及的各种选择之一本身就是同一形式的次一级的各种选择的析取命题”。如果这个条件得到满足，这些选择相对于这种证据来说就叫作不可分的。凯恩斯给“可分的”下了下面的正式定义：一个选择（ ）j a相对于证据来说是可分的，如果已知，而“（ ）”和“（ ）或hh jj b（ ）”意义相等，这里（ ）和（ ）是不相j 容(a) 的，但当hjj b 为真时每个(c) 都是可能的。这里（），（）b(a) ， （ ）都是同一命题函项的j cj a j值，这是很重要的一个条件。这样凯恩斯最后把下面这个原理当作一个公理接受下来，即根据已知证据，如果（1）这种证据关于a 和b 是对称的，（2）相对于这种证据来说，j a j b j a j b（ ）和（ ）是不可分的，那么（ ）和（ ）就具有相同的概率。经验主义者对于上面的理论可能提出一个一般性的反对理由。他们也许可能说这个理论所要求的关于概率关系的直接知识显然是不可能的。演绎的证明逻辑——这种论证可能这样说——之所以可能是由于它由重言式组成，由于它只不过是换一下文字来重新叙述我们原来就有的命题。如果它所做的超过了这一点——比方说如果它从“凡人皆有死”推论出“苏格拉底是有死的”，那么它依靠的是关于“苏格拉底”这个词的意义的经验。只有重言式可以不靠经验得知，凯恩斯并没有主张他的概率关系是重言式。那么他的概率关系是怎样得知的？因为显然它们不是从经验得知的，这是按照关于知觉的判断是从经验得知的那种意思来说的；人们也承认概率关系当中有一些并不是推论出来的。因此，如果人们承认的话，概率关系会构成经验主义认为不可能的一种知识。我对于这个反对理由抱有很大同情，但是我并不认为我们可以认为它具有决定性的意义。如果我们来讨论科学推论的原理。我们就将发现：除非我们具有某种如果照严格意义来讲的经验主义为真就不会有的知识，否则科学就是不可能的。不管怎样，我们不应当武断地假定经验主义为真，虽然我们努力找寻可以与经验主义相容的关于我们的问题的答案是合理的。因此上面的反对理由不应该让我们完全抛弃凯恩斯的理论，尽管它对于我们接受凯恩斯的理论形成一定的阻力。关于凯恩斯似乎不曾加以充分注意的一个问题存在着一种困难，即关于前提的概率是否赋予已经成为可能的命题以合理的可信性，并且如果事实是这样的话，又是在什么外界条件下发生的？凯恩斯认为说“很可能有p”和说“p 等于”或“p 大于”同样没有意义。照他的讲法，没有任何相当于演绎推论中废除一个真的前提的东西。然而他却说如果我们知道h，并且我们还知道p/h＝α，我们就有理由给p 以“适当程度的合理信念”。但是当我们这样做的时候我们就不再是表示p 对于h 的一种关系；我们是在用这种关系来推论出关于p 的某种情况。我们可以把这种情况叫作“合理的可信性”：并且我们可以说：“p 在α程度上是合理可信的”。但是如果使这句话成为关于p 的一个真的叙述，而无需提到h，那么h 就不能是任意规定的。因为假定p/h＝α，p/h＝α′；假定h 和h′都是已知的，我们将给p 以α程度还是α′程度的合理可信性？就我们知识的任何特定状态来说，这两种答案都不可能同时正确。如果“概然性是人生的指南”这句话是真理，那么就我们知识的任何特定状态来说，必然有一个概率比任何其它概率都更紧密地与p 结合在一起，而这个概率对于任意规定的前提来说都不是与之相关的。我们必须说这个概率就是在我们把h 当作我们的全部有关知识时所得出的概率。我们可以说：已知作为某个人的必然性知识的任何一组命题，并把这组命题的合取命题叫作h，那么就有许多不是这组命题的分子的命题对这组命题具有概率关系。如果p 是这样一个命题，并且p/h＝α那么a 是就那个人来说的属于p 的合理可信的程度。我们一定不能说如果h′是所说的那个人所知道的某个真的命题，但不及h，并且如果p/h＝α′，那么就那个人来说，p 具有可信度α′；它对于一个可以用h′表示他的全部有关知识的人来说，将只具有这种可信度。可是这一切凯恩斯无疑是会全部承认的。事实上，反对理由只是针对叙述上的不够严密，而不是针对这个理论的基本要点。一个更为重要的反对理由是关于我们认识p/h＝a 这类命题的方法。我现在并不是先验地论证我们不能认识它们；我只是探讨我们怎样才能认识它们。我们可以看到如果我们不能给“概率”下定义，那么就必然有不能证明的概率命题，因此如果我们要承认这些命题，我们就必须把它们当作我们的知识的前提的一部分。这是所有以逻辑方式表达的系统的一个共同特点。每个这类系统必然要从一组未下定义的名词和未加证明的命题开始。显然一个未下定义的名词不能在一个推论出来的命题中出现，除非它已经在未加证明的命题中至少有一个命题中出现过，但是一个下过定义的名词却不需要在任何未加证明的命题中出现。例如，只要人们认为算术中有未下定义的名词，那么就必然也有未加证明的公理：皮阿诺有三个未下定义的名词和五个公理。但是如果我们给数和加法下逻辑的定义，算术就不需要在逻辑的未加证明的命题之外再有什么未加证明的命题。所以就我们所研究的实例来说，如果我们能给“概率”下定义，那么凡是出现这个字眼的命题可能都可以通过推论得出；但是如果不能给它下定义，那么如果我们想要知道有关它的知识，就必须有一些包含这个字眼的命题，而我们认识这些命题并不需要外来的证据。凯恩斯拿什么样的命题作为我们概率知识的前提这一点并不十分清楚。我们直接认识具有“p/h＝α”这种形式的命题吗？如果概率不能以数值计算，那么α是什么东西？或者我们只认识等式和不等式，即p/h＜q/h 或者p/h＝q/h？我认为后老是凯恩斯的看法。如果这样的话，这门学科的基本事实就是三个而不是两个命题的关系：我们应该从一种三元关系开始P（p，q，h），意思是说：在已知h 的条件下，p 的概率小于q 的概率。然后我们也许可以说“p/h＝q/h”.. 的意思是“既不是p（p，q，h），也不是p（q，p h）”。我们应当假定当h 不变时，对于p 和q 来说，P 是不对称的和传递的。(，) 凯恩斯的无差别原理如果被我们接受的话，它将使我们能够在某些外界条件下证明p/h＝q/h。就凯恩斯认为正确的限度来看，概率计算可以在这个基础上建立起来。上面的等式定义只有在p/h 和q/h 可以比较时才能采用；如果（象凯恩斯认为可能那样）其中一个既不大子另一个，而它们又不相等，我们就必须抛弃这个定义。我们可以通过关于两个概率一定可以比较的外界条件的一些公理来解决这个困难。如果它们可以比较，那么它们就位于从0 到1 之间的一条路线上。在上面的“p/h＝q/h”.. 的定义的右边，我们就必须补充说p/h和q/h 是“可以比较的”。让我们现在重新叙述一下凯恩斯的无差别原理。他所要做的是建立使p/h＝q/h 成立的外界条件。他说这种情况将在两个条件（充分的但却不是必要的）得到满足的情况下发生。设为（ ）并且为（ ）；那么对于p j aq j ba和来说，一定是对称的，而（ ）， （ ）一定是“不可分的”。h j a j bb如果我们说A 对于a 和b 来说是对称的，我们的意思大概是说如果h 具有f（a，b）这种形式，那么f（a，b）＝f（b，a）。这种情况特别发生在f（a，b）具有g（a），g（b）这种形式时，这也就是当h 提供的关于a 和b 的知识是由分立的命题所组成，其中一个命题是关于a 以的而另一个命题是关于b 的，并且两者都是一个命题函项的值的时候的情况。我们现在设＝（ ），q＝j bq＝j b（）， （）， bh＝（， ）。pf 我们的公理的大意一定是(a) 在一种适当的规定条件下，它使得（）和ja(a) j（b）的交换不产生任何差别。这就得出（，）＝（） （，）假定（）和（）j（） a /f ab j b /f ab j a j b对于f（a，b）来说是可以比较的话。这个结果得自这个一般原理