很早以前，Ayukawa就对悖论、怪圈很感兴趣，这得益于莫比乌斯带——在三维空间中只有1个面的环带体，是多么荒诞而又有趣的存在！这使得Ayukawa对于经典几何的完美幻想破灭，而后一则悖论又使得Ayukawa对一度狂热于其中的形式逻辑产生疑虑（对于偏爱形式上完备产生美感的人来说，是件伤心的事）。这则悖论说，国王对应征者说，5间屋子里有1间关了狮子，但在你打开那一间之前，你永远不可能推测出来。应征者发疯了，因为在形式逻辑体系下，通过简单推理就知道这是无解的，命题本身是与假设矛盾的。然而这在现实中确是有解的。悖论并不存在对和错，它只是一种逻辑体系中的BUG。当然一旦新的体系替代了原来的，修正了BUG以后，悖论自然是“错的”，譬如数论中关于无限的理论出现后，阿基里斯追不上乌龟的悖论就自然成为一种谬论了。然而这没有意义，悖论永远不可能是理论体系的建设者，它更像是处刑者，从一开始就存在了，并在适当的时候被发现，并宣告一种理论体系的致命之处。如同无论人们多么不愿意接受歌德尔的结论，无论数学曾被认为是多么完备的体系，希尔伯特纲领还是失败了——甚至在今天显得可笑。离开了特定历史环境，悖论就不再是悖论了。譬如站在今天的来说，现实中的太多是伪悖论，若干年前的确是悖论，可现在随着理论体系的更新，已经变成谬论了（而且很遗憾的，那些看似有趣的，大多属此类），当然如果对现存理论体系的假设提出质疑，那另当别论。这本书严格得说，更适合当消遣读物，20多年前获得普利策奖就充分说明了这一点。当然，如果能引起对悖论问题的兴趣，Ayukawa还是觉得有意义的。中文版（乐秀成改写）不算太糟，但还是推荐英文原版（目前Ayukawa只收集到前两章）。1.1 绘画与音乐中的怪圈我第一次知道埃舍尔的名字是在十多年前。那时我津津有味地看着诺贝尔物理学奖金的获得者杨振宁博士所著的小册子《基本粒子发现简史》。我特别注意到杨振宁先生在前言中对埃舍尔先生允许他采用《骑士图》表示深深的谢意。我被这张图深深地吸引住了，因为埃舍尔以优美的图形及其镜像巧妙地表现了对称性的原理。这些原理在物理学的世界中起着极为重要的作用。可惜，迄今为止，中国人一般还不熟悉埃舍尔的作品，但是在西方他是一位别具一格、极有影响的画家。埃舍尔创造了一系列富有智慧的图画，其中有许多画体现了奇妙的悖论、错觉或者双重的含义。因此，在埃舍尔作品的崇拜者中间有许多数学家也就不足为怪了。当我们慢慢欣赏埃舍尔的画并在其中发现那些美妙的数学原理时，那是一种多么愉快的享受啊！埃舍尔的画往往表现了一些很深刻的思想，怪圈就是其中最常见的一种。我们先来看看那幅奇怪的版画《瀑布》(图1)。在画面的中央，瀑布倾泻而下，水花四起，还推动了水轮。汇集到水池中的水则顺着水渠哗哗地流去，一级一级地下降。突然水又流到了瀑布口！真是不可思议，可是在画面上却表现得明明白白。我们只能把这种周而复始的圈称作“怪圈”。我们再看那幅《上升与下降》(图2)。在这冰冷阴森的教堂里，僧侣们排成两队往前走。其中一队总是沿着楼梯往上走，另一队总是往下走。可是他们走的却是同样的楼梯，并且不断地回到原来出发的地方。真是妙不可言。这又是一个怪圈。所谓怪圈就是指这样一种现象，我们在某一个等级系统中逐步上升(或者下降)，结果却意外地发现又回到了原来开始的地方。有时我就用“缠绕的层次”来描述其中有怪圈的体系。怪圈还要在本书中一再出现，忽上忽下，时隐时显，希望读者能够细细地体会它的内在含义。有趣的是在音乐中也有这样奇妙的怪圈。为此我们先介绍一下近代西方音乐的鼻祖，被誉为“音乐之父”的J·S·巴赫。巴赫是颇负盛名的钢琴家、风琴家和作曲家。当时的普鲁士国王弗里德利希是他的崇拜者。他把62岁的巴赫邀请到自己的宫廷来，并向他展示了自己收藏的钢琴。这种钢琴在当时还是问世不久的珍品。巴赫在每一架钢琴上进行即兴表演，使得弗里德利希大为倾倒。当巴赫返回莱比锡后，他收到了国王自己创作的一部分乐谱。巴赫在这些乐谱的基础上写成了举世闻名的主题乐曲《音乐的奉献》，并把它奉献给弗里德利希国王。巴赫在这部作品中充分发挥了形式上的技巧。有趣的是，在这种登峰造极的技巧中就包含着怪圈。为了理解音乐创作中的怪圈，我们必须先谈谈“卡农”。卡农是音乐家们熟悉的，它就是重复地演奏同一主题。最简单的方式既是用不同的音部重复演奏，每个音部都比前一个音部延迟一段时间。大部分乐曲的主题与这种演奏方法是不协调的。适合多音部的主题必须使每个音符具有双重(或多重)的功能，它既是主题中的一部分，又必须与其他音部保持和谐。在《音乐的奉献》中，用一种特殊的卡农技巧构成了怪圈。它由三个音部组成。当最高音部演奏主题时，其余两个音部提供卡农式的协奏。这种卡农最大的特点就是神不知鬼不觉地进行变调，使得结尾最后能很平滑地过渡到开头。这种首尾相接的变调使听众有一种不断增调的感觉。在转了几圈之后，听众感到已经离开原来的调很远了。可是奇妙的是通过这样的变调又能回到原来的调上。这就是音乐中的怪圈。我们可以体会巴赫的创作意图，无疑他有这样一种想法，采用这种方法可以使升调的过程无限地进行下去。因此他在乐谱上专门注上了“陛下的荣耀也随着变调而增高”。我们不妨把这种卡农称为“无限升高的卡农”。如果我们把“无限升高的卡农”与埃舍尔的画《瀑布》以及《上升与下降》作个比较，就可以发现两者的相似性是极为明显的。巴赫和埃舍尔采用不同的艺术形式：音乐和美术，却表现了同样的思想：怪圈。埃舍尔用绘画表现的怪圈有许多不同的形式，有松弛的也有紧凑的。在《上升与下降》中，这种怪圈是比较松弛的，僧侣们要经过许多级才能返回原处。而在“瀑布”中怪圈就要紧凑一些，它总共只有6级。你也许已经想到了，这里“级”的计算有含糊不清之处。例如我们可以把《上升与下降》的系统算成是45级(按台级算)，也可以算成是4级(按楼梯算)。这种模棱两可性不仅表现在埃舍尔的画的怪圈上，也表现在其他形式怪圈的系统中。更紧凑的怪圈可以在《画画的双手》(图22)这幅画中看到。而最紧凑的怪圈要数《画廊》(画23)了。这幅画中之画包含着自身。我们可以说画廊中的一幅画包含着它自身，也可以说这个城市包含着它自身。怪圈的内在含义也是在有限中包含无限的概念。它不仅仅是一个圈，而且是埃舍尔纳著名作品《变形》(图4)中表现得极为明显。我们从作品的某点出发，随着画面的逐级变化而向前走去，走着走着却突然回到了原来出发的地方。1.2 怪圈与悖论在巴赫和埃舍尔创造的这些怪圈中，存在着无限与有限的矛盾，荒唐与真实的对比，往往会给人以强烈的悖论感。这种直觉表明，在怪圈中包含着深刻的数学原理。事实也确实如此。就在我们生活的这个世纪里，有一个影响深远、与之呼应的重大数学发现，这就是哥德尔在数学系统中发现了怪圈。这种怪圈可以说是起源于一个古老的逻辑悖论。它在历史上被称为爱皮梅尼特悖论。爱皮梅尼特是—个克里特岛人。他说：“所有的克里特岛人都撤谎。”假如他说的话对的，那么作为克里特岛人的爱皮梅尼特就是在撤谎，那么他的话就是错的。反之，假设他的话不对，那么作为克里特岛人的爱皮梅尼特就没有撒谎，他的话就是对的。无论采用哪一种假设，都是无法自圆其说的。我们也可以把这个悖论表述成更为简洁的形式。这就是“我说的这句话是错的”。这是和《画廊》一样的单级怪圈。因为这个句子中的“话”可以指这个句子本身。这就是说一个句子在描述这个句子本身。以后人们又发现了许多其他形式的悖论。尤其是在本世纪初，随着集合论与数理逻辑的发展，在数学和逻辑中发现了许多悖论。其中最著名的有康托尔悖论和罗素悖论。在这些悖论中好像都有一个共同的“犯罪”，这就是自我相关，或者就是我们所说的“怪圈”。罗素悖论用形象的语言来描述，就是有一位理发师声称，他给所有不给自己理发的人理发。那么这个人是否给自己理发呢？如果他给自己理发，就违背了自己的声明。如果他不给自己理发，也没有兑现自己的诺言。用集合论的述语来说，罗索悖论就是定义这样一个集合A，它由所有不属于A的元素a组成。那么A是否属于它本身呢?如果A不属于A，那么按照集合A的定义，它就属于A。如果A属于A，那么按照定义它就是不属于A的元素。显然在罗素悖论中，最关键的地方就是假定一个集可以自己属于自己。这就是自我相关。因此，要想排除悖论很自然就会想到，要防止自我相关和造成自我相关的条件的出现。罗索和怀特海就是在这种思想的指导下写出《数学原理》的。他们竭力想把“怪圈”从逻辑、集合论以及数论中驱除出去。他们的基本思想是把集合分成各种等级。最低一级的集合只能以那些“对象”而不能以其他集合为元素。较高一级的集合只能以对象或者更低级的集合为元素。这样每个集合都被安置在某一个等级上，也就排除了一个集合以自己为元素的可能性。如果我们把所有的集合分成两类。第一类集合不能以自己为元素，也就是说自己不能属于自己，我们称为r型。第二类集合可以以自己为元素，我们称为s型。那么在《数学原理》规定的系统中就只有r型的集合。这样进行分级，可以使集合论中不再出现悖论。但是付出的代价是必须引进人为的分级和禁止生成某种类型的集合。例如所有集合的集合，或者所有不属于A的集合，也就是我们所说的s型集合。这种理论可以用来对付罗素悖论，但是无法对付爱皮梅尼持悖论。因为用同样的方法对付爱皮梅尼特悖论就要对语言进行分级。于是就有所谓的对象语言、有描述语言的元语言，还有描述元语言的元元语言，等等。我们模仿《画画的双手》把上述悖论写成两句的形式：下面这句话是错的。上面这句话是对的。如果按照分级理论的规定，上面这句话是描述下面这句活的，因此它属于更高一级。但是按照同样的道理，下面这句话应该比上面这句话属于更高一级。因此这两句话不能同时满足分级理论的要求，也就是说它们不能同时有意义。如果说把集合进行分级的理论还是貌似有理的，那么把语言进行分级就是十分荒唐的。当我们谈论各种事物时，是决不会意识到自己在不同的层次之间上窜下跳的。例如“我在这本书中评论了分级的理论”。这是很普通的一句话。但是在严格分级的语言系统中它就要受到双重的禁止。首先，在这句话中谈到了“这本书”，它只能在“元书”所属的层次中出现，而不能在“这本书”所属的层次中出现。其次，这句话居然谈到了我，这是我无论如何不允许谈论的。这个例子清楚地说明了，如果把严格分级的理论引进我们所熟悉的日常语言中来，将是多么荒谬。由此可见，如果用这种方式来弥补由于悖论出现而造成的缺陷，即排除任何形式的自我相关，实际上是走过头了。它把美妙的语言结构变成了没有价值的僵尸。也许有入会辩解说，这种分级的理论可以适用于形式语言而不是我们用的日常语言。但总这恰好说明了，这种理论只有在我们人为拼凑的系统中，为了避免悖论才有用处。而为此作出的牺牲，却是在这种人为的系统中加上生硬的限制。这样的理论系统虽然是一致的，却是乏味的、令人生厌的。你一定会感觉到这里有什么地方不对头了。不过还应该指出的是，在本世纪韧，数学家们并没有把语言中无法排除怪圈看得那么严重。他们至少可以这样安慰自己，语言是不严格的，而数学却是严密无隙的，只要能在数学理论中排除怪圈就可以了。于是数学家们为自己确立了这样的目标，建立一座形式系统的大厦，过座大厦的基石是一些公理，然后严格按照形式逻辑推导出系统中的每一个定理，而整个系统是完全确定的，不会相互矛盾的。在这样的系统中可以排除任何悖论的出现。这就是《数学原理》的目标，它要用逻辑来推导出所有的数学成果而又不会产生矛盾！这种目标确实是激动人心的，但是当时谁也无法肯定，采用罗素和怀特海所提供的方法，能否囊括所有的数学成果；也无法知道，这种方法能否永远保持一致，即完全排除悖论的出现。杰出的德国数学家(也是研究数学基础的元数学家)希尔伯特沿着罗素开辟的道路勇往直前。他向数学界提出了一个明确的任务：严格地按照罗素和怀特海所描述的方法，证明《数学原理》所定义的系统既是一致的(无矛盾)又是完备的(该系统的理论框架中容纳了每个正确的数论命题)。这就是数学史上著名的希尔伯特纲领。当希尔伯特提出这个纲领后，就有人尖刻地批评这种说法是一种循环，你怎么能呢？这似乎是要抓住自己的头发把自己举起来。 (我们看来是无法摆脱这种该死的怪圈了。)希尔伯特意识到这种困难性。他进一步加以说明，这种关于一致性和完备性的证明只能依赖于“有限”的推理步骤。这个目标曾经在本世纪的前30年中使许多伟大的数学家绞尽脑汁。但是到了1931年，哥德尔发表了他的论文《论＜数学原理＞中形式上不可判定的命题及其有关系统I》。这篇论文彻底推翻了希尔伯持纲领，因为它指出了没有一种公理系统可以导出数论中所有的真实命题，除非这种系统是不一致的，即存在着互相矛盾的悖论。因此企图证明《数学原理》所示系统的一致性是徒劳的。如果能够找到一种证明，仅仅使用《数学原理》中的方法，那就会得到哥德尔定理最神秘的结论：《数学原理》本身是不一致的！于是怪圈成了逻辑和数学中无法驱除的幽灵。1.3 数学和思维中的怪圈哥德尔的研究成果使得希尔伯特纲领陷于破产。从此以后，数学家意识到，在严密的数学理论体系中也存在着漏洞。这种意识从某种意义上讲是痛苦的。过去被人们视为神圣的、万能的数学从理想天国的宝座上跌落到了尘世人间，它不再是完美无缺的。对于哥德尔定理的严格论证向来只是少数专家问津的领地。但是就和人类思想的其他伟大成果一样，哥德尔的基本思想是既深刻又清晰明了的。哥德尔的重要思想就是用数学推理来探索数学推理本身。这种使数学“反省”自己的概念被证明是非常有效的。它的主要成果就是哥德尔不完备定理。如果我们把这个定理比作珍珠，那么哥德尔的证明方法就是产生这颗明珠的贝母。珍珠以它的光彩和纯洁引人瞩目；贝母却是一种复杂的生物体，它的内部结构产生了这颗奇妙纯真的瑰宝。哥德尔定理指出，数论的无矛盾公理化的所有陈述中必定包含着不可判定的命题。从这颗珍珠本身很难直接看出其中的怪圈，因为它被掩藏在自己的贝母——它的证明过程中了。这个证明是以自我相关的形式语言写成的。哥德尔意识到可以把自我相关进行表述的思想运用到数论体系中来，他创造了这种表述的方式，于是他就克服了主要的障碍。为了阐述哥德尔思想，需要先说明一下它所涉及的数论系统。数学家们可以证明，非欧几何公理系统的无矛盾性与欧几里得几何公理系统的无矛盾性是等价的。而欧几里得几何公理系统的无矛盾性又与算术公理系统即数论系统的无矛盾性等价。因此我们可以把数论看成数学理论大厦中最基本的组成部分。只要证明，在数论的形式系统中存在着不可判定的命题，那么也就证明了，在数学理论中无法把怪圈排除出去。但是我们知道，一般来讲，整数既不是一种陈述，也不是关于它们性质的陈述。因此数论中的陈述也不是关于数论陈述的陈述。那么如何才能使数论反省自己呢？哥德尔意识到，要做到这一点，首先耍把命题的陈述及命题的推理过程数字化。只有用数字以某种方式代替命题的陈述，命题的推理过程才能成为数宇的运算，达种运算过程才能数字化。只有这样，形式数论系统中的陈述才能成为关于数论陈述的陈述。他终于找到了这种方法，这就是通常称为哥德尔编码的方法。这是一种逻辑命题的各种形式符号与数之间的同构关系。哥德尔编码是整个理论的结构核心。运用这种技巧，数论中的陈述就可以从两种不同的层次来理解：既是数论中的陈述，又是关于数论陈述的陈述。有了哥德尔编码，我们就可以设法把爱皮梅尼特悖论搬到数论的形式体系中来。不过，需要说明一点，他最后移植过来的并不是这样的定理，“数论中的这个命题是错的”，而是说“数论中的这个命题是无法证明的”。如果我们把爱皮梅尼特悖论看成是形式逻辑系统中无法驱除的怪圈，那么哥德尔编码就建立了形式逻辑系统中命题与数论中某些数的同构。他还进一步实现了在形式数论系统中的自我反省。也就是说，他在形式数论系统中构造了与上述悖论同构的怪圈。哥德尔理论指出，由于自我相关的怪圈存在，人们面临着二择一的两难境地。要么在逻辑思维中可以是不一致的；要么导致另一个意想不到的结果，我们无法用逻辑去证明所有看来是用逻辑提出的问题，这就是不可判定性。数学家们接受了后一种选择，因为严格的数学理论如果允许不一致性就会导致数学大厦整体的崩溃。当然，哥德尔定理对任何一致的公理系统都是适用的，因此这个成果对于逻辑学家、数学家以及对于数学基础感兴趣的哲学家都是一个巨大的冲击。它宣告，无论怎样复杂的形式系统都无法表现整数的完备性。这在当时看来，简直是祸从天降！当哥德尔的论文问世时，世界正处于发展电子计算机的边缘。不过计算机的发展历史可以追溯到巴期卡、莱布尼兹和贝比奇的时代。与哥德尔的数学成果相对应，图林在计算机科学理论中指出了，即使可以设想的最有效的计算机也存在着无法弥补的漏洞。后来人们发现这个结论与哥德尔定理是等价的。于是哥德尔理论的影响便超出数学的疆域而扩展到人工智能及思维的研究。到了20世纪50年代，机器智能看来迫在眉睫了。电子计算机的功能迅速扩大，许多以前被人们认为只有人的思维才能完成的智力活动，逐渐都由电子计算机轻而易举地应付过去了。但是，随着每一道旧的障碍被克服，又出现了新的障碍。谁也不知道人的智力行为与非智力行为的确切界线究竟在哪里。也可能认为存在这种明确界线的想法本身就是愚蠢的。人工智能的研究最感兴趣的就是把一大堆严格形式化的规则搭配在一起，告诉不灵活的机器如何变得灵活起来。但是什么样的“规则”才能控制智力行为呢？这些规则一定可以分成不同的等级。有许多规则是“简单明白的”。还有一些是修改简单规则的元规则。然后还有元元规则。人工智能的灵活性就来自大量的不同规则和这些规则所划分的不同层次。这些层次的自相缠绕就是人工智能中的怪圈。这直接或者间接地关系到人工智能的核心。哥德尔定理和图林定理并不意味着机器是不可思维的。事实上，现在还无法说清楚人的思维究竟是一种什么过程。人们对于自己的大脑研究越深入，对于思维过程了解得越多，就越感到原来的想法是多么错误。大脑的活动是以神经细胞为基础的。但是仅仅在这个层次上是无法理解大脑思维活动的。人工智能的研究启示我们，在思维过程中存在着错综复杂的层次，这些层次的自相缠绕很可能在思维过程中起看关键性的作用。其实人的思维早就开始探索思维本身，这也是一个绝妙的怪圈！2.1 奇妙的唱机与唱片为了说明怪圈与哥德尔定理之间的关系，先让我们来讲一段小故事。（阿基里斯去访问乌龟，并在他家里消磨时间。）阿：上帝啊！你的收藏品可真多。你收集了这么多唱片，那你究竟喜欢什么样的唱片呢？龟：我认为巴赫的作品最棒。不过我最近感兴趣的却是—种特殊的音乐。我把它称作“粉碎唱机的音乐。”阿：这可真是一种古怪的音乐。难道是你举着大锤，按照贝多芬《惠灵顿的胜利》的节奏把唱机一个一个地砸碎？龟：可不是这么回事。懂得这种音乐的人并不多。这要从我的朋友蟹来说起。有一天他来我这儿作客。他刚刚买了一架新唱机。按照店主的说法，它能重演任何声音。也就是说这是一架完备的唱机。阿：你肯定是不相信这一点的。龟：后来我就去回访他，并且带去一张我自己创作的唱片。唱片的曲名叫做：“我不能在唱机1上演奏。”我建议他和我一起来欣尝这张唱片。于是他就打开唱机把这张唱片放进去了。不幸的是，刚奏出几个音符，唱机就开始抖动起来、越抖越厉害，最后只听见“啪”的一声，唱机裂得粉碎。不用说这张唱片也跟着报销了。阿：真倒霉，可是店主不是吹嘘这是一架完备的唱机吗?龟：确实如此。阿基里斯，报道你也会和蟹一样天真，相信店主告诉你的一切吗？阿：我想这是因为店主在吹牛的缘故。龟：其实我在回访蟹之前就去过出售唱机的那家商店。我向他索取了设计说明书，分析了它的结构，并且发现确实有这样一组声音，如果它在唱机附近作响，就可以使唱机振荡，乃至于碎裂。阿：你这个恶毒的家伙！不用细说我也明白了。你录下的真是这组声音，还假惺惺地把它当作礼物去送给蟹。龟：你倒是够机灵的。不过事情并未因此了结。蟹并不相信他的唱机是有缺陷的。于是他买了一架更加昂贵的唱机。店主则向他许诺，如果他能发现一组在这架唱机上无法重演的声音，就包赔两倍的钱。于是蟹兴致勃勃地来找我。而我也很有兴趣再去看看。阿：我敢打赌，你一定又按照新唱机的结构泡制了一张新的唱片：“我不能在唱机2上演奏。”龟：你的思维很清楚，完全领会了问题的精神实质。当然，完全可以料想到，这架唱机又被震得粉身碎骨了。阿：我倒有—个主意。他可以买一架低保真度的唱机。这样就不会再重演使它自己毁坏的那组声音了。龟：可是这样一来就违背了原来的宗旨——可以重演任何声音。阿：我现在明白问题的两难性究竟在哪里了。这就是说任何唱机其实都是有缺陷的。龟：我不明白你为什么要把这叫做缺陷。问题的实质在于，你要唱机去做它根本办不到的事情。不过我的朋友蟹并不死心。他又自己设计了一架“奥米伽唱机”。这种唱机带有一架电视摄象机，能在唱片演奏之前先把它审视一番。它和微型计算机联结在一起，可以立即判定这组声音的性质。通过精密的计算，它可以知道这组声音对于唱机所产生的效果。如果唱机会受到破坏，它就可以通过—个内部装置将唱机的各部分重新组装，从而改变它的内部结构再来演奏唱片。阿：这下好了，你也没有办法了吧。龟：瞧你这到得意的劲儿，如果你懂得歌德尔定理，就不会这样得意了。这个故事有趣地说明了哥德尔定理的实质。存在着不能演奏的唱片就相当于存在着不可判定的定理。之所以存在着不能演奏的唱片就是因为唱机和声音之间必定存在着自我相关的怪圈。我们仔细分析一下这个故事，就可以看到，这个故事中的对话具有双重的意义——明显的和隐含的。唱片的纹沟也有两层意思。第一层意思，这是一种音乐。纹沟通过唱机成为空气的振动。第二层意思则是空气的振动反过来感应出唱机的振动。这第二层意思依赖于两个同构的链：(1)纹沟模式与空气振动之间的同构。(2)空气振动与唱机振动之间的同构。这里出现的“同构”是本章所要阐述的中心概念，也是理解哥德尔定理的关键之一。顾名思义，同构就是构造相同。插图29：歌德尔定理的基本原理我们知道，构造是事物之间的一种关系。数学系统的构造则表现为一些运算法则。可以用数学语言对于两个数学系统的同构进行精确的定义。两个同构的数学系统可以看成是等价的。有趣的是数学家发现两种结构之间的同构关系，往往像从天上掉下来一样突然。实际上，两种结构之间同构关系的发现在知识的进步中具有重要的意义。可以说，通过对同构的意识才使形式产生了意义。同构是一支神笛，它使无声无息的木偶获得了生命，成了活蹦乱跳的姑娘。采取更加直截了当的说法，同构就是一种保持信息的交换。回到我们所讲的故事中来，我们可以得出这样一组对应关系：唱机〈————〉数论的公理系统低保真度唱机〈————〉“弱”公理系统高保真度唱机〈————〉“强”公理系统“完备”唱机〈————〉完备的数论系统唱片〈————〉形式系统中的串可演奏唱片〈————〉公理系统中的定理无法演奏的唱片〈————〉公理系统中的非定理声音〈————〉数论的真实陈述重演的声音〈————〉系统中加以解释的定理无法重演的声音〈————〉真实的陈述而不是定理唱片标题〈————〉歌德尔串的隐含意义“我无法在唱机x上演奏”〈————〉“我无法在形式系统x中推导出来”这些对应关系并不是上述故事与歌德尔定理同构的全部内容，只是其中的主要部分。那么为什么会有这种对应关系呢？就是因为同构。在这个故事中，为什么会有无法演奏的唱片，这是容易理解的。唱片、声音、唱机之间的同构关系是形象的、明白易懂的。在形式数论中也存在着同构，要将一种推理过程形式化、严格化，都离不开同构。正是这些同构构成了不可避免的怪圈。因此我们还要从同构的本质谈起。2.2 符号的意义我们已经看到，在唱片与音乐之间存在着同构。虽然这两个系统性质完全不同，但是唱片纹沟的深和浅可以和音乐曲子中声音的强和弱一一对应起来。由此可见，同构本质上是一种映射，通过这种映射，一个系统的结构可以用另外一个系统表现出来。明白了这一点，我们也就可以知道，为什么同构在哥德尔理论中有举足轻重的地位。哥德尔理论要用教学推理来研究数学推理过程，这是借助于逻辑符号与数字之间的同构关系。这种同构关系使得数字具有了意义。一般来讲，形式符号容易给人一种错觉，好像它是人类意志的自由创造，可以和现实的世界毫不相关。然而同样的事实是，那些和我们关系密切的形式符号，如词汇、数字、逻辑符号，都是人类文化进化过程的产物。它们与现实世界有着密切的联系。这座联系的桥梁就是同构。我们来看这样—个例子。假定有一个形式系统只有3种不同的符号：p q -我们把它称为pq系统。系统中的串都由这3种符号组成。在这个系统中还规定了这样一些规则和公理：公理：xp - qx -其中的x只由连字符号 - 组成。不过x所代表的连字符号串必须是相同的。规则： 如果x、y、z都代表连字符号的串，己知xpyqz为一个定理，那么xpy - qz - 也是定理。这里的pq系统是一种典型的形式系统。所谓形式系统是由一组定理及其变换规则构成的系统。形式系统的定理是由形式符号组合而成的串，这些串可以按照规定的法则进行运算而生成新的串。随意规定的串就是公理。按照规则由公理或定理生成的串就是定理。所谓形式系统的推理，就是严格按照形式系统的规则逐行生成新的定理，直到我们所需要的串出现为止。这个过程也叫做形式证明。粗一看，这个pq系统只是一些生疏的、其名其妙的符号和枯燥乏味的规则。但是如果我们运用一下方才谈到的同构，那么就要刮目相看了。也许有些细心的读者已经注意到了，pq系统的定理具有加法的含义。我们可以把p看成加法，把q看成等于。于是看来毫无意义的串--p---q-----就成了我们熟悉的算式2+3＝5。在这个例子中，我们得到了一个很好的同构原型。这两个同构系统之间的对应关系为：p +q =- 1-- 2等等有时我们也把这种对应关系称为翻译。这是一种低层次上的对应。还有一种高层次上的对应，就是形式系统的定理与实际陈述之间的对应。如果你对—个形式系统—无所知，要想了解这些形式符号的意义，既要寻找一种有意义的方式来翻译。也储是说，寻找一种可以产生意义的同构关系。这就像破译密码一样。不过对于一个形式系统来讲，这种意义只是被动的，而不是主动的。我们可以通过翻译来了解形式系统定理的意义，但是却不能根据意义去创造这些定理。要创造形式系统的定理，只能严格按照形式系统本身的规则。对于同样的pq系统，我们也可以用一种完全不同的方式来翻译。p 等于q 从……减去- 1-- 2等等于是前面的串就同构于“2等于从5减去3”，这意味着，这种形式系统所反映的现实世界并不是单一的。不过这些不同的方面是相互同构的。对于同样的形式符号可以赋于不同的意义，这是一种非常重要的现象。采用同构的方法，我们可以对一个未知的形式系统中的某个串作出一种解释。但是我们怎么能知道这种解释是合理的呢？这就需要用同样的解释去检验这个形式系统中的其他定理。如果对于系统中每一个定理的解释都是有意义的，那么这种解释就是合理的。如果一个形式系统中的定理是有限的，那么这个检验过程总是有限的。但是我们怎么能够知道一种解释对于一个有无限定理的形式系统也是合理的呢？这个问题就涉及到无限和递归的概念，我们将在后面讨论这些概念。同构赋于形式符号以意义。这也意味着形式符号可以把握现实世界。然而形式系统真的具有这种能力吗？或者说，这种能力究竟有多大？埃舍尔有一幅发人深省的画《解放》(图5)。从画面中我们可以看到规则图形与不规则图形(飞鸟)之间的奇妙对比，在两者之间有一个花哨的过渡区域。如果把现实世界比作自由飞翔的鸟儿，把形式系统比作规则的图形，那么这些鸟儿真的能受形式系统规则的约束？是否在现实世界与形式系统之间也存在一个奇妙的过渡区域呢？2.3 破译运用同构和翻译机制可以使我们理解形式系统中符号的意义。我们可以用这种方式去揭示某种结构的内部信息。但是并不是所有结构的内部信息都能用这种方式揭示出来的。这一点在生物遗传和生命过程中十分重要。按照一般的说法，遗传的信息是贮存在脱氧核糖核酸DNA的双螺旋体中。从DNA分子(基因型)转变成生物体(表现型)是通过一系列非常复杂的过程，其中包括各种蛋白质的制造，DNA的复制，细胞的复制，各种细胞的分化等等。一般可以把生物体的结构归因于DNA的结构，归因于这种结构所携带的信息。奥斯瓦德·艾弗里在1946年指导进行的实验首先提供了这方面的证据。他的实验表明，只有DNA才能传递可以遗传的性质。人们可以改变生物体中某些分子的性质、例如某些蛋白质的性质，可以使一些生物体产生很明显的特征。但是这些特征是不能传结下一代的。只有改变了DNA分子，改变的性质才能遗传给后代。改变遗传信息是构造一种新生物的唯一途径。因此，看来人们被迫要接受这样的观念，在DNA的结构中包含了表现型结构的信息。这就是说，两者之间有着同构关系。但是这种同构并不是一般数学意义上的同构，而是一种奇异的同构。我们之所以要区分“基因型”和“表现型”并不是多此一举。一般意义上的同构简单地将一个系统的结构映射到另一个系统中。唱片与音乐之间的同构就是这样。但是DNA基因型结构与生物体表现型结构之间的同构就完全不一样了。要使这种同构在实际中实现，需要一种极为复杂的机制。如果你想在自己基因的DNA上找到哪一部分与你的鼻子或者指纹的形状有关，那是不可能的。这就好像你要在一段音乐中找到表达激情的朗音符一样可笑。因为激情这种“意义”是通过较高的层次来表现的，是通过这段音乐中较大的“块”而不是单个的音符来表现的，是通过一组音符以及它们之间的相互关系来表现的。同样，“基因的意义”——关于表现型的信息——是包含在DNA的整体中的。显然，现在还没有人能理解这种语言。因为把基因型转换成表现型的机制远比基因型本身复杂得多。我们可以把基因看成一种开关，它能够触发这些机制来达到转换的目的。DNA的一部分能够引发蛋白质的制造。这些蛋白质则能够引发几百种生化反应。这些反应又引起复制DNA本身的操作……这样多级引发的最后结果才是表现型的生物体。也许有人会说，这种表现型揭示了潜在地包含在DNA中的信息。但是恐怕不会有人会认为，自动电唱机的喇叭所播出乐曲“揭示”了包含在一对键钮里的信息。因为过对键钮只是引发了自动电唱机中与信息者关的机制。但是我们完全有理由说，用唱片演奏出来的乐曲确实揭示了包含在唱片纹沟里的信息。这有几方面的理由：(l)看来乐曲并不是隐含在唱机的机制中。(2)可以以任意的精确度使输入(唱片)与输出(乐曲)之间匹配起来。(3)征同一架唱机上，用别的唱片就会播出别的声音来。(4)唱片和唱机根容易彼此分开。DNA复制生物体的过程依赖极为复杂的细胞内的化学过程。这些过程并没有录制在DNA上。因此，可以有两种截然不同的观点。一种观点认为，生物复制的大部分信息是在DNA之外的机制中，DNA只是起了一种开关的引发作用。另外一种观点则认为，所有的遗传信息都贮存在DNA内部，只是采用一种极复杂的方式。按照第一种观点，要揭示DNA的含义离不开相应的生化过程。按照第二种观点，只原有足够的智慧就可以揭示DNA的内在含义。一般来讲，揭示一个形式系统内部结构的含义就是寻找受形式规则控制的符号与现实世界之间的同构。对于比较复杂的同构，需要较多的“设备”才能从形式符号中抽象出意义来。这些设备包括硬件和软件。如果这种同构非常简单，或者很熟悉，那么我们就会因为它的显而易见或者习以为常而只看到符号得意义，却忘记了产生这种意义的同构。最明显的例子就是人们的日常语言。我们现在设想，有一张巴赫奏鸣曲的唱片被带出了太阳系，甚至被带出了银河系。如果那儿有高等智力的生物得到了它，一定会被它的形状吸引住，竭力想揭开它的秘密。即使它们的智力暂时还做不到这一点，他们也会在原则上相信，这里一定包含着某种信息。这种信念就是建立在破译的基础上。今天，关于破译的思想在天文学、语言学和军事等领域已经被广泛地接受了。有—个突出的例子，就是破译用人们不懂的语言和字母写成的古文。我们本能地感觉到，在这种古文中一定包含着某种粮信息。而且，一旦这种古文的语言被破译了，没有人会怀疑，这些符号的意义究竟隐藏在哪儿。显然这些意义是在原文内，而不是在破译的方法之中。这就像乐曲是在唱片里而不是在唱机内一样。我们可以将一分包含意义的形式符号称为消息，并将这分消息分为3个层次：(1)结构消息；(2)外部消息；(3)内部消息。结构消息是通过载体的总体结构含蓄地传递的。它告诉人们：“我是一份梢息，如果你有能耐就来破译我。”恐解了结构消息就是承认有破译的必要性。认识到破译的必要性就转入第2个层层次，即外部消息。这种消息包含在消息的符号形式和结构里，它能告诉我们怎样理解内部消息。理解外部消息就是构造或者了解翻译内部消息的方法。内部消息是我们最终的目标，是这份消息所耍传递的信息。例如我们在音乐中体验到的激情、基因所产生的表现型特征、碑文中记载的古代文明中的王权或仪式等等。理解内部消息就是要把传递的意义提取出来。为什么其他星球上的高等生物看到唱片就会想到其中一定隐藏着什么信息呢？首先就是因为唱片的几何形状，其次是因为唱片上螺旋状的非周期性纹构。如果把这种盘旋的纹沟展直，就像是一条一千多米长的手写体符号。DNA的分子形状也与此相仿。不过它用的“字母”是4种不同的碱基。其实早在艾弗里确定DNA与遗传信息的关系之前，物理学家薛定锷就已经预见到遗传信息贮存在“非周期性的晶体结构”中。这就启示我们，如果在非常规则的几何构形中发现了非周期性的结构，那就很有可能隐藏着某种内部消息。图24为此提供了一些出色的例子。这3种层次在海边捡到的瓶子上也可以明显地表现出来。当人们捡起瓶子，看见它封着口，里面又装有干燥的纸条，马上就会了解消息的第一个层次。然后打开瓶盖，取出纸条，查看上面所写的符号。也许这是用日文写的。这时并不需要知道它的内部稍息，只要从字母形状的某些特征就可以识别出来。最后一步才是用日语去理解纸上所写的内容。无线电短波的监听者也全面临同样的问题。首先他要确定自己听到的声音是一种消息而不是静电干扰。然后判定它的语种或电码。最后才是了解它的内容。这些例子似乎证明了这样的论点，没有一种消鬼本身就有意义。哪怕最简单的消息，理想了解它的内部消息，首先就必须了解它的结构消息和外部消息。这就是说需要借助于“自动电唱机”，要把唱机的一部分信息加到这种消息上去才能理解它的意义。这看来好像是一种恶性循环。你要想理解任何一份消息就必须先有一种消息告诉你如何去理解它。但是，我们都知道，这不是一种无意义的循环。因为我们确实能够理解消息。这是怎么回事呢？因为我们的智能并不是抽象的东西，而是具有具体的物质基础：大脑。大脑的结构是长期进化过程的产物，它的功能受到物质运动规律的支配，它们是物质性的实体。因此，我们的大脑在运行时并不需要有谁来告诉它们应该怎样运行。看来大脑配备着“硬件”，可以识别哪些东西是消息，而且能够破译这种消息。这种最起码的提取内部消息的能力使得掌握语言的过程能够像滚雪球一样进行。因此，这种先天性的硬件就像唱机一样，为我们理解消息提供了辅助的消息。由于大脑具有相同的结构，这种人类的自动电唱机也是类似的。这就为统一的“语言”提供了基础，从而使得结构消息和外部消息可以在人们之间进行交流。最后，让我们来看过样一个例子。假设我们看到有一块方整的金属板上刻着上下排列的两个点。(见图25)虽然我们猜测这里可能隐含着什么信息，但是很难发现它。如果我们看到一块金属板上刻着这些点：那就很容易发现，这就是费波那奇数列。实际上，从这样一些数可以有把握地推出费波那奇数的定义。如果我们把最初的一对值(1，1)看成是“基因”，那么按照费波那奇数的递归定义就可以展开整个数列(表现型)。但是仅仅给出“基因”(第一块金属板)，我们无法获得重构表现型所需要的信息，即级数的定义。而从更长的“基因”(第二块金属板)运用智能就可以得出由基因展开成表现型的机制。一且获得了这种机制，那么从短的基因也能展开成表现型的级数。2.4 音乐和绘画中的同构同构不仅赋与形式符号以生命，也是音乐和绘画中的灵魂。巴赫在《音乐的奉献》中得心应手地驾驭的卡农技巧就是一种同构。即导句与伴句之间的同构。卡农的花样繁多。当伴句与导句的音程完全相同或者相差8度时，称为同度卡农。如果伴句比导句低5度音程称为5度卡农。如果伴句高于导句4度音程称为4度卡农。伴句与导句可以有时间上的差异，也可以通过速度的变化来分出层次。速度加快为增时卡农，反之则为减时卡农。有一种卡农结构是在伴句中把导句的主题变为它的倒影。这看来似乎是—种古怪的旋律交换，然而在听众的耳朵里却显得十分自然。还有一种巧妙的卡农结构是在伴句中把导句的主题按照时间顺序颠倒一下。人们把这种卡农亲昵地称作蟹式卡农，即逆行传农。(图27)尽管卡农的形式多种多样，但是万变不离其宗。在每一种形式的卡农中，伴句都保留了导句主题的全部信息。从这个意义上讲，由每一个伴句都可以使导句的主题完全复原。充分运用卡农技巧的《音乐的奉献》是巴赫的杰作，也是一个值得人们不断地去发掘的宝库。其中有一支三部赋格曲、一文六部赋格曲、十部卡农和三重奏鸣曲。这支十部卡农是巴赫写过的最复杂的卡农。奇怪的是巴赫并没有把它全部写出来。这就好像是给弗雷得里希国王出了一个意味隽永的谜。埃舍尔则把卡农变成了图画(图13)。看到这幅妙趣横生的《“逆行卡农”》，读者也许会联想到各种图案设计中形形色色的“卡农”。图形的平移是有音程差的“卡农”。图形的镜象变换则是倒影“卡农”。用数学的语言来描述，这些图案是通过对称性的交换而构成的。这些变换的共同特点是同构性。这些变换的乘积仍然是一种同构交换。这也表明同构的关系是可以传递的。图案变换的同构性还表现在它们的“相似性”上。这且说的“相似性”并不是指几何学中图形的相似性。让我们看看《蝴蝶》(图12)中的“相似性”。把—只蝴蝶映入另一只蝴蝶并不是严格地保持各部分之间的比例关系．而只是保持某种相互关系。更确切地讲是保留某种相互关系的信息。而这就是同构。3.1 从一个数学难题谈起为了进一步阐述哥德尔定理的内容，我们必须和—些抽象符号构成的形式系统打交道。也许有的读者对于这些抽象的表示方法感到不习惯，甚至不耐烦。不过我们还是希望读者有耐心去慢慢熟悉这种抽象的形式，这对我们在深一层次上理解哥德尔理论是必不可少的。我们所面临的是一座形式符号的大厦。形式符号是这座大厦的砖瓦，它们代表着公理和定理。形式推理的规则是这座大厦的框架，体现了整个系统的结构。我们把整座大厦称为形式系统。其实在上章阐述同构概念时，我们已经简单介绍了形式系统的概念，并且结出了一个具体的形式系统，即pq系统。为了使读者对于形式系统有更切实的理解，并引起一些读者对它的兴趣，我们在这里提出一个有关形式系统的数学难题。有兴趣的读者可以认真地思索一番，甚至拿出纸笔演算一番。我们先构造一个MIU系统。这个系统中只有3种将号，叫M、I、U。这些符号构成的串称为系统中的定理。先给定一个定理为MI，也可以说这是公理。现在要问：“你能否根据下面的4条规则由MI产生MU？”这4条规则是：规则1：如果一个串的最后一个符号为I，则可以再加上一个U。规则2：如果有一个串为Mx那么可以再加上x而生成Mxx。这里的x代表任何一个由M、I、U组成的串。规则3：如果串中出现连续的3个I，那么可以用U代替III而得到一个新串。不过不能用III去代替U。规则4：如果串中出现UU，那么可以把UU删去。我们应该如何来考虑这个难题呢？我们可以设想有一个长生不老的妖怪，他热衷于在MIU系统中，运用上面几条规则来生成各种串。步骤1：把4条规则应用于公理MI，由此生成2条新串：MIU，MII(规则3、4不适用)。步骤2：把4条规则应用于步骤1生成的新串MIU、MII。由此产生了3条新串MIIU、MIUIU、MIIII。……采用这种方法迟早会产生系统中的每一条定理(见图版27)。而我们要解决的难题是，MU是不是该系统中的一条定理？一般来讲，这就是检验定理的问题，或者说定理的判定问题。用构成系统中所有定理的方法来判定某一条串是否为系统中的定理，这并不能保证。这个过程以有限的步骤来完成。而这恰恰就是问题的关键所在。在我们所出的难题中，只有一条公理，推导的规则是简单明了的，构造定理树也不困难。按理说定理的判定是可以做到的，但是判定的结果并不是显而易见的。不少读者大概仍然无法判定，MU是不是系统中的一条定理。不过问题的解决往往取决于你从什么角度去看，也就是找到合适的同构机制。如果我们把注意力集中在I的数目上，那么就会发现，这个MU难题实质上是一个用语言掩盖着的自然数难题。如果我们计算每个定理中I的数目就会发现，它好像永远不会为0。不但如此，我们可以进一步证明，I的数目永远不是3的整数倍。我们先来看规则1和4。它们保持I的数目不变。然后看规则3，它永远不会凭空使I的数目为3的倍数。这就是说，在原来的定理中，如果I的数目不是3的倍数，那么经过这种变换后仍然不是3的倍数。只有在作为输入的定理中，I的数目为3的倍数，才能保持这种性质。规则2也是这样。要使加倍后的数能被3整除，就需要原来的数也能被3整除。总之，这些规则都不能使I数目不为3的倍数的定理凭空产生这种性质。公理中I的数目为1。按照刚才的分析，运用这些规则决不会使新定理中I的数目为3的倍数，当然也就不能为0。因此MU不是MIU系统中的定理。当然，并不是所有的这类问题都能这样容易地解决的。但是我们至少已经看到了，有一个难题可以归结于数论中的问题而得到解决。我们还将进一步看到，有一种方法可以将所有形式系统中的问题归结于数论中的问题。这要归功于哥德尔所创造的一种特殊的同构，即哥德尔编码。我们以MIU系统为例，可以在系统的特号与数字之间建立这样的对应关系：M 3I 1U 0这种对应关系完全是任意的。我们称这些数为哥德尔数。采用哥德尔数，就可以从两种不同的层次去理解系统中由数字构成的串。一方面，可以把它们的运算看成是定理的变换；另一方面，又可以把它们看成是一般数字的运算。现在设m、n为任意的自然数。于是这几条规则的算术运算就可以表述成：1．如果生成了10m十l，就可以生成10×(10m十1)。2．如果生成了3×10m十n，就可以生成10m×(3×10m十n)十n。3．如果生成了k×l0m+3十111×10m十n，就可以生成k×10m+1十n。4．如果生成了k×l0m+2十n，就可以生成k×10m十n。公理则可表述为： 能生成31。这样的算术系统称为310系统。在这个算术系统中，可以生成的数起着形式系统的定理的作用。因此，问题就归结为，在这样的系统中能否出现30这个数？按照我们已经作出的分析，这是不可能的。如果你对这个问题进行了认真的思索，或者动笔进行了演算，那么你一定对于形式系统有了感性的认识。你懂得了形式符号、定理和形式系统三者是什么关系。什么是形式系统的规则和公理，它们如何决定了在系统中可以生成哪些定理。你也知道了公理和定理的区别仅仅在于，公理是任意规定，而定理则是由公理按照规则生成的。所谓形式推理是严格按照形式系统的规则，逐步生成新的定理，直到我们所需要的定理也现为止。这个过程也叫做证明。其实，我们对于形式系统并不陌生。我们可以回忆一下中学时代的几何学。所谓几何学命题的证明就是根据已知的几何定理和逻辑法则(起形式系统规则的作用)，从条件(已知的定理)推出所要证明的结果(需要证明的定理)。人们把这种训练称为“思维的体操”。看起来单调的体操动作可以使我们的体格强壮。看起来乏味的形式推理对于我们的思维也是不可缺少的。希望读者也能逐渐熟悉和运用形式系统。　3.2 一致性和完备性形式系统的推理是严格按照规则，从已有的定理产生新的定理。这种机械化的步骤可以使系统中的定理不断增加而形成庞然大物。形式系统是一座由公理、定理通过规则结合成统一整体的蔚为壮观的大厦。要使这座大厦能在狂风暴雨中巍然挺立，也能承受地震的考验，就必须满足一致性的要求。在这些定理中不能有相互矛盾、相互冲突的结果。否则这座大厦就会产生缝隙，从而使整座大厦倒塌。用逻辑学的语言来讲，一致性就是不容许在同一个系统中既出现一个判断为真的命题，又出现同一判断为假的命题。当然，可以有各种各样的一致性。逻辑上的一致性要求避免逻辑上的矛盾，这是形式逻辑的基础。数学上的一致性不容许出现违背数学理论的那些描述。物理学上的一致性则要求对物理现象的解释与物理定律密切配合。还有生物学上的一致性等等。不过一般来讲，人们感兴趣的往往是数学与逻辑的一致性同物理学上一致性的差别。逻辑与数学的一致性也就是形式系统内部的一致性，就是说对于系统内所有定理的解释不会产生矛盾。物理学上的一致性则是指形式系统与外部世界的一致性。这两种一致性在形式系统中是密切联系在一起的。埃舍尔的作品《相对性》(图8)表现了一致性与矛盾之间的微妙关系。它那栩栩如生的实体感诱使你去寻找一种有关此图的解释，使得图中各部分的解释不会产生矛盾。你也许会感到这些楼梯很好玩。因为在同样的楼梯上，人们行走的方向并不一致。我们可以把某个楼梯看作我们进行解释的基础，看成一个“确定性的小岛”，然后以此为基础来解释与它有联系的各部分。再根据已经获得解释的部分与其他部分的联系进一步推广我们的解释。这很像是在形式系统中运用规则进行定理的变换。对于一般的图，这个过程很容易进行到底，从而使全图获得一种令人满意的解释。可是在这幅图中就不是那么称心如意了。我们很快就会遇到麻烦，产生冲突。如果我们放弃所选择的“小岛”，而另外选择一个“确定性的小岛”还会遇到同样的麻烦。但是，我们又无法否认这些东西的意义。这些楼梯只能是楼梯而不可能是鱼、船或者什么别的东西。这幅画告诉我们，虽然一致性是一个可以明确定义的概念，一个形式系统要保持一致性似乎是理所当然的。但是对于一个具体的形式系统来讲，一致性并不是显而易见的，对一致性的判断有时是很困难的。如果说一致性是形式系统成立的基础，是保证一个形式系统中每个定理都有意义的必要条件，那么完备性就是对有意义的那些定理的最大程度确认。一致性表明形式系统的这种性质：“该系统中生成的每个定理都是真的。”完备性则指出：“每个为真的定理都在该系统之内。”完备性也叫完全性，同样不是一种显而易见的性质。欧几里得的《几何原本》提供了欧氏几何的公理系统，是数学理论中影响最深远的范本。但是它并不是完备的。希尔伯特在20世纪才把这个不完备的公理系统变成了完备的公理系统。他的不朽之作《几何基础》是一部重要的数学著作。希尔伯特明确地提出了关于公理系统的一致性、完备性和独立性的概念，并且以这些概念为基础来构造严密的数学理论。他是数学形式主义学派当之无愧的领袖。3.3 形式系统的结构我们知道了什么是形式系统中的定理和规则，有了一致性和完备性的概念，就可以进一步讨论形式系统的整体结构，讨论系统中的系统。还是以我们比较熟悉的几何学理论系统为例。欧几里得的《几何原本》系统地总结了当时已知的平面几何、立体几何的知识。它在二千多年中实际上成了数学的圣经。欧几里得是数学推理严密性的奠基着。《几何原本》从最简单的概念、定义出发，逐渐构造起几何学的庞大体系。在这个体系中，每个结果都只依赖于前面已经得到的结果。这很像是层层叠叠的巴比仑塔式的建筑物(图7)。不过这座建筑的框架是抽象的。因此，如果有一条定理的证明不正确，并不会有明显的裂缝，也不会因此而使整个大楼倒塌。事实上，在《几何原本》的证明过程中使用了许多日常的语言。这是一种不严格的、有时是难以捉摸的通信媒介，里面有许多隐藏的陷阱。不过欧几里得是位深刻的思想家和数学家，你无法在他的著作中找到“跳跃”的漏洞。他以五条公理为基础，构造了无穷层的几何学摩天大楼的最下面几百层楼。而且，他只用前面的四条公理推出了最初的28个命题。我们可以把这些命题说成是“四公理几何学”。人们常常把这称为“绝对几何学”。欧几里得显然有这样的愿望，能够用前面的四个公理推出第五公理，而不是把它作为一条公理直接加以规定。不过他没有成功，因而只好作罢。在他之后的许多世纪中，无数的数学家作过同样英雄的尝试，也都失败了。