保罗。霍夫曼 《阿基米德的报复》前言阿基米德的头脑较之荷马有更丰富的想象力。——伏尔泰伊萨克。牛顿有句著名而又谦逊的格言：“我所以比别人看得更远，是因为我站在巨人的肩膀上。”当时，他心中确实铭记着古代最伟大的一位数学家，希腊叙拉古城的阿基米德。然而，阿基米德还是一位力学天才，在他众多的机械发明中，有水车，又称作阿基米德螺旋泵，是一种用于抽水进行灌溉的螺旋状泵。虽然人们对于阿基米德的生平以及他对自己的功绩的评价知之甚少，但多数评论家猜测，他对于自己在理论数学上的发现比实用发明更重视。例如，一个叫普卢塔克的写道：“而阿基米德具有这样一种崇高的精神，这样一种深奥的魂灵和这样一种科学理论的财富，虽然他的许许多多的发明为他赢得了声誉，并使他以‘超人的精明’而闻名，但他并不愿为这些课题著书立说，流传后世，而把一个工程师的工作和有助于生活需求的每一件艺术品都视为卑贱和和庸俗。他只潜心于研究那些不受生活品需求影响的精妙而有魅力的学科。”其他评论家则进一步认为，甚至当他从事杠杆、滑轮或其他机械研究时，他也是为了探索力学的普遍原理，而不是为了实际应用。实际上，阿基米德对于理论的偏重胜于实际到什么程度可能永远不得而知。但有一点是清楚的：在他的作品中，理论和应用之间的关系是紧张的，而这种紧张的关系一直持续渗透到以后22个世纪的数学之中。本书主要概述了数学所涉及的领域和范畴。我并不认为这本书包罗万象，然而它选择的主题很离奇，但它也只能如此。数学是世间每所大学都从事研究的一门学科，它至少像生物学一样有广泛的领域，在生物界中，某个研究人员正努力研究艾滋病毒，而另一个研究人员则在研究袋熊的社会化问题。我对数学的探讨犹如我在研究中国莱谱，到处品尝，识别常见的配料和特殊的风味。在仅仅用过一次中餐之后，你很难成为一名中餐美食家，但比起从未吃过中餐的人却又知之较多。数学亦如此。研究几个数学课题，是不可能掌握数学中一切重要的内容的，但比起那些一窍不通的人来，你对这些课题的感受却又深得多。目前已出版了许多论及数学方面的哲学基础的书籍，从某种程度上讲这是必然性的科学，因为它的结论在逻辑上是无懈可击的。还有许多作品却狂热地详述数学无穷大的性质和高维度的美。这种带有哲学式的、富有诗意的离题的论述却有它的市场，但却远没有涉及大多数数学家们所关切的问题。我在本书中主要描述的是那些数学工作者在实际中所遇到的地地道道的实用的问题。我还想批驳一个错误观点：仅仅肯花力气进行足够的运算，就可得到数学的任何结果，换句话说，如果你想解一道数学题，只需做足够量的运算就行了。即使你我缺乏解数学难题的能力，但我们也怀疑内行人士——这些理解数学符号的人——是否都能够对他们选择的任何一个问题经过潜心研究后找到答案。毕竟，我们的知识使我们相信数学是属于演绎推理，推断一个数学结果要像推论“所有人都必定要死的”和“苏格拉底是人”，因此“苏格拉底必定要死的”一样简单就好了！我写作本书的目的之一是要说明一种数学知识的局限性。在我们所考查的每个数学领域中，我要指出什么是已知的和什么是未知的。有时我们的知识是有局限的，因为某些领域刚刚开发，还没有多少数学家投身于对它的研究。知之甚少是这一问题的主要困难。此外，数学家的知识的局限性也是比较重要的因素。它表明，这些问题要从数学方面获得快速解简直是不可能的。数字中充满了新奇。数字和形状是人文料学中最早关心的课题，但有关的许多问题仍然令人费解。比一个素数的概念更简单的能是什么——一个大于1的整数，像3，5，17，或31等不能被1和本身之外的其他整数整除的数？早在古希腊人的时代就知道素数是无穷尽的，但是没有一个人知道孪生素数——成对的素数，如3和5，相差2，它们是否也是无穷尽的。没有人知道是否存在无限多的完全数，像6一样等于它所有因子（当然除去它本身外，即3，2和1）之和的整数。而且没有人知道一个完全数是否是奇数。匈牙利伟大的数论家保罗。厄尔多斯是一个证明素数基本定理的大师——他在18岁的时候，就提出了著名的论证：在每个大于1的整数和它的倍数之间一定有一个素数——他认为，数学家们还远远没有理解整数，更何况其他类型的数。他说：“至少还得再过100万年，我们才可能理解素数。”在数学上，对形状的理解也远远不够。在二维方面，关于什么形状可以在一定条件下用砖瓦贴盖表面的问题还有许多疑难未解之处。在三维的砖瓦贴面模拟中，形状的填充要尽可能使给定的空间密集，这对于许多基本形状来说仍悬而未决。但是，缺乏理论知识未必总是实用主义者的拦路虎，设计师罗纳德。雷施制造出三层半的复活节彩蛋就是明证。由于有关数字和形状的基本问题仍未解决，因此对计算机——一种复杂的数字工具——能做什么和不能做什么常常众说纷纭，并出现一些混乱状态，这不足为怪。我尽量避开那些关于人和机器的本质的含糊不清的形而上学问题，便于向人们展示人们所不了解的关于计算的理论局限性方面的问题。我要讲述图灵通用计算机的惊人之处——分成若干单元的一条纸。我要考查一种可能出现的局限性：计算机科学家认为，他们将能够证明某些仅仅在探索阶段的计算问题——包括旅行推销员在一连串的城市之间要选择的最短路线的问题——从来没有被计算机（或数学家）有效地解决。从理论转移到实践，我特意检验了汉斯。伯林纳和丹尼。希尔设计的对弈机和通用计算机，使“三个臭皮匠，顶过诸葛亮”的构想走向极端。要知道这些努力的整个结局如何还为时过早，但这两种机器的性能在某些领域，已经超过了传统计算机。从根本上说，旅行推销员问题无疑是数学问题，可是实际上已证明，用传统的数学方法解答它是无效的。在这本书里，我将介绍一种出现在设计选举系统或分配代表的问题中的类似的解决办法。从绝对意义上说，数学对这些问题是毫无帮助的。的确，数学证明了，它对开创一个完善的民主选举制在理论上无益，尽管缺乏完善的民主体制，但数学为公正的选举制和国会的公正分配方法指出了道路。传说阿基米德是在一时的愤怒之中设计出一个关于牧牛的极其困难的数字问题。他的报复一直持续了22个世纪，直到1981年，使用刚诞生的一台巨型计算机才彻底解决了这一问题。牧牛的问题多少有些编造的味道。但是，面对阿基米德的报复，一代代数学家所感受到的挫折常常类似于那些比较自然地出现的较简单的数学问题所造成的报复。这种数学本身造成的报复看来还没有迹象会消退。一个令人惊奇的宗教学生，解出了无穷大的平方根，这使他对计数烦躁不宁，他终于放弃了数学又继续学神。第一篇 数 字在古希腊，没有社会保险号码，没有电话号码，没有人口调查统计数字。没有选举后的投票数字，没有统计数据，也没有1099个表格要填。当时，世界还没有数字化，但数字在希腊知识分子的头脑中至关重要。确实，在公元前6世纪，萨摩斯的毕达哥拉斯通过研究数字创立了一种宗教，因为，他不仅把数字看成记数的工具，而且看成神圣、完善、友好、幸运及邪恶的符号。数学的一个分支称作数论，研究的是整数的性质，就是由古希腊人开创而且至今不衰的。以下3章专谈数论。在这几章里，我强调指出，某些最古老并且听起来是最为基础的问题仍然悬而未决。虽说其原因尚不清楚，但至今悬而未决这一事实本身却赫然耸立，从而排除了认为数字不过是某种刻板活动的看法。数论曾被视为数学最纯的分支；似乎对现实世界毫无实用价值。然而近年来，数论已变成密码学的一个强有力的工具。不过，正如我在第四章“比尔密码之谜”中所探讨的，至今还存在着数学分析无法破译的传奇密码。第一章 邪恶的数和友好的数现为麻省理工学院大学生的米歇尔。弗里德曼，1985年在布鲁克林高中毕业班就读时春风得意，获得了当年的威斯汀豪斯科学天才奖的第三名。为了他这一获奖项目，他不想用海虾、果蝇或扁虫来弄脏自己的手，也不想处理随便任何一个多年遗留下的理论上的问题。不，他只是挑选了堪称数学上最古老而未决的问题来对付。那是困扰着古希腊人和自那以后的每个人的一个问题：即存在奇数完全数吗？毕达哥拉斯及其好友认为，整数的完满性，即完全数是任何其所有除数之和（该除数本身外）等于该数本身的整数。第一个完全数是6.它可被1、2和3整除并且是1、2和3之和。第二个完全数是28.它的除数是1、2、4、7和14，这些数加起来为28.希腊人所知道的就是这些，尽管他们做过尝试，但没有发现奇数完全数。圣经评论家注意到，完全数6和28反映在宇宙的结构中：上帝在6天内创造了世界，月亮每28天绕地球一周。然而，使这些数字成为完全数的是其本身，而不是凭经验所了解的世界的任何联系。圣。奥古斯丁是这样表述的：“6本身是一个完全数，并不是因为上帝在6天内创造了万物才如此；倒不如反过来说才对：因为6是完全数，所以上帝在6天内创造了万物。即使不存在6天工作一说，6依然会是个完全数。”“数学的整个领域都极其散漫，”坦普尔大学数学教授小彼得。哈及斯说，“我研究完全数是出于闲散的好奇心，因为它可能是最古老的未决问题。研究它也许意义不大，然而这一问题如此古老，没有人认为对之进行研究完全是浪费时间。如果这一问题是5年前第一次提出来的，那它是决不会令人感兴趣的。”无论在哪一领域，达到完善总是很难的，偶数完全数也不例外。但是，人们至少知道它们是存在的。我们已发现了30个偶数完全数，最大的是一个由13万位阿拉伯数字组成的庞然大物：2216，090（2216，090-1）。也许第三十一个完全数不会出现了，因为早在2300多年前数学家就已知道有无穷多的素数（即只能被1和它本身整除的数），但在同一时期，他们却不能决定完全数是不是无限的。要是在俄国茶室或“四季”咖啡馆里喝着可乐会见米歇尔。弗里德曼我会很高兴的，但他宁可让我们在斯替韦桑特中学他的校长办公室中见面，而该校是曼哈顿数学家和科学家的中心。传说，爱因斯坦不能做加减运算，但可在睡梦中研究高深的数学。米歇尔的情况也可以这么说。在选择我们会见时间这种简单的事情中就体现了出来，因为这位杰出的小伙子不适于将中学时间——“第三节”和“第五节”——转换成我们常人所遵照的小时和分钟。然而一旦我们真聚到了一起，这位腼腆的天才就口若悬河地谈论起来，一下成了使人兴趣盎然的人了。米歇尔告诉我：“去年我为一位数学老师写一篇论文，我知道关于奇数完全数的问题。这问题使我感兴趣，因为它很简单，可还没人找到答案。”接着，米歇尔首先回顾了完全数的历史。古人只知道4个完全数，它们是：6，28，496和8，128.欧几里得认识到——大概只有古希腊的神祗才晓得他是如何知道的完全数 ………… 位数1. 21 （22-1 ） =6…………1 2. 22 （ 23-1 ） =28…………2 3. 24 （25-1） =496…………3 4. 26 （27-1） =8，128…………4 5. 212 （213-1） =33，550，336…………8 6. 216 （217-1 ） =8，589，869…………056…………10 7. 218 （219-1） =137，438，691，328…………12 8. 230 （231-1） =…………19 9. 260 （261-1） =…………37 10. 288 （289-1） =…………54 11. 2106 （2107-1） =…………65 12. 2126 （2127-1 ） =…………77 13. 2520 （2521-1 ） =…………314 14. 2606 （2607-1 ） =…………366 15. 21，278 （21，279-1） =…………770 16. 22，202 （22，203-1） =…………1，327 17. 22，280 （22，281-1） =…………1，373 18. 23，216 （22，317-1） =…………1，937 19. 24，252 （24，253-1） =…………2，561 20. 24，422 （24，423-1）=…………2，663 21. 29，688 （29，689-1） =…………5，834 22. 29，940 （29，94l-l）=…………5，985 23. 211，212 （211，213-1）=…………6，751 24. 219，36 （219，937-1）=…………12，003 25. 221，700 （221，701-1）=…………13，066 26. 223，208 （223，209-1）=…………13，973 27. 244，496 （244，497-1）=…………26，790 28. 286，242 （286，243-1）=…………51，924 29. 2132，048 （2132，049-1）=…………79，502 30. 2216，090 （2216，091-1）=…………130，100这4个数是由公式2n-1（2n-1）当n=2，3，5和7时推出来的。算式如下：n＝2，21（22-1）=2（3）=6 n=3，22（23-1）＝4（7）＝28 n＝5，24（25-1）＝16（31）＝496 n＝7，26（27-1）＝64（127）＝8，128欧几里得看出，在全部的4个算式中，2n-1是素数（3，7，31和127）。这种发现促使他证明一个重要的定理：当2n-1为素数时，那么公式2n-1（2n-1）则得出偶数完全数。欧几里得的证明使得完全数理论有了一个兴旺的开端。但由于其他数学家的短视，这一理论进展缓慢。许多思想精微的人自以为他们看出了数字模式，其实这些数字并不存在。如果他们看得更远一点，他们就会发现这种模式是虚幻的。古人观察到，前4个完全数都是以6和8结尾的。进一步说，最后一个阿拉伯数字似乎是6，8，6，8地交替出现。所以有人推测，完全数最后一个阿拉伯数总会是6或8，并且它们会继续交替出现。第五个完全数——古代人并不知道——的确是以6结尾的。但第六个完全数也是以6结尾的，这就打破了交替出现的模式。然而，关于最后一个阿拉伯数字总是6或8这一点，古人还是正确的。今天，数学家可以研究30个完全数——比古人多出7倍以上——但他们还必须找出尾数为6和8的模式。古人还观察到，第一个完全数有一位数字，第二位完全数有2位数字，第三个有3位数，第四个有4位数。所以他们推测，第五个完全数会有5位数。在欧几里得故去17个世纪后发现了第五个完全数，它赫然具有8位数：33，550，336.并且位数继续迅速增多，以下3个完全数分别为8，589，869，056；137，438，691，328；和2，305，843，008，139，952，128.欧几里得证明了一旦2n-1是素数，那么2n-1（2n-1）就会得出一个完全数，但他并没有说n的哪一个整数值会使2n-1成为素数。由于使2n-1为素数的前4个n值为前4个素数（2，3，5，7），可能有人推测：如n为素数，2n-1也会是素数。那么，让我们来试试看第五个素数：11.如n=11，2n-1则为2，047，而2，047并非素数（它是23和89的积）。真实情况是：要使2n-1为素数，n必须是素数，而n为素数并不就意味着2n-1是素数。事实上，对于n的大多数素数值来说，2n-1并不是素数。由2n-1一式得出的数列现在称作默塞纳数列，马林。默塞纳是17世纪的巴黎僧侣，他在尽僧职之余抽空进行数论的研究。根据欧几里得的公式，每发现一个新的默塞纳素数，就会自动出现一个完全数。 1644年，默塞纳自己说，213-1，217-1和219-1这3个默塞纳数是素数（8，191；131，071和524，287）。这位僧侣还声称267-1这个巨大的默塞纳数会是位素数。在250多年的时间里，没有人对这一大胆的声言提出疑问。1903年，在美国数学协会的一次会议上，哥伦比亚大学教授弗兰克。纳尔逊。科尔提交了一篇慎重的论文，题为：论大数的分解因子。数学史家埃里克。坦普。贝尔记下这一时刻所发生的事：“一向沉默寡言的科尔走上台去，不言不语地开始在黑板上计算267.然后小心地减去1，得出21位的庞大数字：147，573，952，589，676，412，927.他仍一语不发地移到黑板上的空白处，一步步做起了乘法运算：193，707，721×761，838，257，287两次计算结果相同。默塞纳的猜想——假如确曾如此的话——就此消失在数学神话的废物堆里了。据记载，这是第一次也是惟一的一次，美国数学协会的一位听众在宣读论文之前向其作者热烈欢呼。科尔一声不吱在他座位上坐下。没人向他提任何问题。”在欧几里得证明他的公式总是得出偶数完全数的大约2，000年之后，18世纪的瑞士数学家伦纳德。尤勒证明，该公式将得出全部的偶数完全数。这样，我们就可以用另一种方式提出奇数完全数问题：是否存在不是由欧几里得公式得出的完全数呢？为弄清最近取得的进展，年轻的米歇尔。弗里德曼埋头翻阅过期杂志：《计算数学》、《数论杂志》、《数学学报》及一堆决不会在咖啡桌上看到的其他期刊。他甚至参阅理查德。盖伊的艰深的经典著作《数论中的未决问题》，该书不仅讨论完全数，而且还探讨十几个其他神秘专题：“近超完全数”、“友谊图表”、“优雅图”、“贪婪规则系统”、“纽环游戏”、“达文波特-施尼茨尔系列”、“半友善数”、“友善数”和“不可接触数”。米歇尔知道，困于这一棘手问题的数论学家们验明：如果真有奇数完全数存在的话，所必须具备的各类特征有：它必须被至少8个不同的素数整除，其中最大的一定要大于300，000，次大的也要大于1，000.如果奇数完全数不能被3除，它至少应被11个不同的素数整除。此外，当一个奇数完全数除以12时，它应有余数1；当它除以36时，它的余数应该是9.我们从这些验证中能得出什么结论呢？对奇数完全数的限制越多，奇数完全数存在的可能性就越小。1973年，彼得。哈吉斯运用这样的限制条件并借助于计算机肯定地证明了1050以下没有奇数完全数。米歇尔从盖伊的书中看到，自1973年以来，其他数论家“渐渐地把奇数完全数不可能存在的上限推到10100，尽管有人对后面这一证明表示怀疑”。既然与盖伊一样有权威的人对这些证明提出质疑，米歇尔决定重新研究更低限问题。他运用 IBM PC机及一组限制因素，包括一些文献中极少提到的来自印度的限制因素，证明在1079之下不存在奇数完全数，1079有8个素数因数——这是一个奇数完全数所能有的最少的素数因数的数目。米歇尔说：“我在论文中只是引用了盖伊的话：以前（关于奇数完全数低限很高）的证明是可疑的。当我参加威斯汀豪斯决赛时，我决定检查其他一些证明，但没有发现它们可疑的原因。因此，我给盖伊打了电话，他告诉我，数学家不喜欢由计算机做出的证明，因为你没法知道：编程序的人出继漏了吗？计算机出故障了吗？”即使该计算机的计算错误（比如说在别的计算机上）被检查出来，但由于那些证明本身常常很长并且很复杂，因而除了原作者没人对它们一步步地仔细加以审查。只有哈吉斯的证明（整整长达83页！）曾由其他数学家全面地审查过，并宣布为有充分根据。米歇尔哧哧地笑了，他不无骄傲地说：“我的证明也是可疑的。威斯汀豪斯的人们不是没有理解就是满不在乎。就我所知，没人真正审阅过我的论文。”根据他的论文及其他辅助材料，米歇尔成了从多达1，100名参赛者中选出的40名威斯汀豪斯决赛选手之一。他们40人被召到华盛顿，在那儿决出10位优胜者。米歇尔解释说：“一旦你来到华盛顿，那几乎就不是根据你的论文来看了。一组科学家对你进行面试，他们会问：”你如何测出太阳与地球间的距离？你如何测出华盛顿纪念碑的高度？‘有一女孩说：“用卷尺测量。’有位科学家领带上面附有半张元素周期表，他就元素周期表问题向每个人提问。有些人注意到了领带并径直读出答案。我不这样，因此我不得不记住氧的质子数及电子层数。”米歇尔补充说：“向我们提问的还有一位精神病医生。”我吃了一惊。“当我谈到精神病医生时，人们都感到吃惊。他向人们询问他们的家庭生活。威斯汀豪斯想发现未来的诺贝尔奖获得者。那才是他们的大事。他们希望在前10名中有未来的诺贝尔奖获得者。”米歇尔解释说，过去有5名威斯汀豪斯决赛选手（一年有40个，并且这种竞赛一直进行了44年）获得诺贝尔奖，但这5人之中，只有1人是前10名的。米歇尔耐心地向我解释，威斯汀豪斯这种做法还不如随意选择呢。（每年从40名中随意选择10名会在前10名中产生出1.25名诺贝尔奖金获得者。至于怎么会有0.25个科学家到斯德哥尔摩去领奖就只能留给数学家去想象了。）那些精神病专家显然是被请来从参赛者中发现获诺贝尔奖人物的苗子，以便提高他们的比例的。米歇尔接着说：“我的指导人在我的申请中写道，我不会放过一个问题，我是非常固执的。因此，精神病专家就固执一事整整问了我15分钟，‘你怎么个固执法？你考虑过固执会给你今后的生活造成损害吗？你是否会就是因为你曾经反对过某些建议而根本拒绝接受呢？’”既然米歇尔成功地进入了前10名，那也许可以说固执是荣获诺贝尔奖桂冠者的部分品性。对威斯汀豪斯（以及米歇尔）来说，不幸的是：没有数学或计算机科学方面的诺贝尔奖。如果他一心要获得这方面的诺贝尔奖，恐怕最终只好去摆弄海虾了。其实，米歇尔如果放弃完全数会更有利于他的健康。其他研究完全数时间太长的人结果都不可避免地陷入到古人的数字神秘主义中去。文艺复兴时的数学家米歇尔。施蒂费尔和彼得。邦格斯没能解开完全数之谜；施蒂费尔错误地宣称，除6以外的所有完全数可被4整除，邦格斯也就尾数做出错误的判断。他们在摆弄过数字的完满性之后转向了相反的性质——罪恶，他们是在那个臭名昭著的凶数——666——上发现罪恶的。华莱士。约翰。斯坦霍普——保罗。内森的科幻小说《牛顿的天赋》中的物理学家——为这一想法所困扰，即牛顿和往日其他科学巨子一定在乏味的数学计算上费了很多的时间。试想一下可怜的牛顿由于算术上的简单错误而无休止地拖延了重力的发现的情形吧！当斯坦霍普发明了一种背囊大小的时间机器时，他决定到1666年的英格兰去——当时牛顿正处在他的黄金年华，恰巧，那年还是那场世纪性瘟疫的最后一年——送给牛顿一个袖珍计算器。斯坦霍普的动机无疑是要把牛顿的非凡的大脑从乏味的计算中解脱出来。可是，牛顿害怕这个计算器，尤其是它通红的数字显示：“上帝是我的救主，它是魔王的发明吗？它的眼睛闪耀着魔鬼王国的颜色呢。”“你不能不相信你自己的眼睛，”斯坦霍普回答说，“让我演示给你看它是如何工作的。我只要按几个钮就可以给你除两个数。”斯坦霍普随便地按了几个数：81，918除以123.当得数亮出来时，牛顿立刻双膝跪倒在地并开始祈祷。然后，他站起来，猛地从火炉中抓起一把烫手的拨火铁棍向斯坦霍普掷去，斯坦霍普这才慌忙逃回到今日的时空坐标中来。牛顿粗暴的反应可由斯坦霍普不幸选择的数来解释：81，918除以123正巧是666：凶数。信仰宗教的牛顿在可怕的红灯中惊恐地看到倒下的大天使在他面前悸动的指纹。据说，正是这次与魔鬼的遭遇才促使牛顿写神学著作。虽然这个精妙的故事是虚构的，但它在精神上与牛顿迷恋于玄奥和超自然是一致的。牛顿就宗教和神学问题写下了130多万字的著作。他写了多方面的文字来解释先知的语言，他无疑对《圣经》关于凶数666的预测很熟悉。由于其他研究科学和数学的人都陷于666的神秘性中，因此有必要探求一下该数是如何得此恶名的。在中世纪，一群以希伯来神秘主义哲学家闻名的犹太学者就异教徒指出《圣经》中明显的矛盾、琐屑和谬误做出了睿智的回答。这些哲学家声称，《旧约》中的许多内容是用密码写成的。这是《圣经》显得紊乱的原因。然而，一旦破译出密码，一切都会豁然开朗，神的真谛也就被揭示出来了。破译的主要方法是隐语解法：通过对所有字母进行处理，将一个词或短语转换成数，以预定数值代替每个字母，并算出这些数字之和。他们认为该字母或短语与其他具有相等的和的词或短语有关。例如，《创世纪》第十八章第二节：亚伯拉罕举目观看，“瞧！有3个人在对面站着”，但没有指明这3个人是谁。神秘主义哲学家们运用隐语解法发现这3个人是大天使米歇尔、加百列和拉斐尔。如果把希伯来原文的字母“瞧！3个人”代之以相应的数，它们的和为701，与“这些是米歇尔、加百列和拉斐尔”字母相应数之和相等。神秘主义哲学家们通过类似的数学破译密码法回答了《申命记》第三十章第十二节中提出的问题：“谁替我们上天去？”这些词的希伯来文所有字母合在一起得出的和与“割礼和耶和华”和希伯来语所有字母之和相等，这意味着上帝认为割礼是去向天国的通行证。这种以数学解《圣经》的方法激发了犹太学者对数学的兴趣。基督教神学家们很快采用了神秘主义哲学家们的神秘分析方法。《新约》本身实际上推动了在姓名与数字之间寻求对应关系的应用，正是在那儿第一次出现了666这个数。《启示录》第十三章第十一节警告邪恶力量：“我又看见另有一个兽从地中上来。有两个角如同羊羔，说话好像龙。”7行后，我们知道了这只兽是与666这个数相关的一个人：“在这里有智慧，凡有理解力的人可以计算兽的数字：因为这是人的数字，他的数字是六百六十六。”但这人是谁呢？上文所述诱使我们对人名使用隐语解法来确认这头兽。这头兽是敌基督或假基督。在《圣经》里所记的时代，假基督被认为是罗马皇帝。他通过创立一种异教而对上帝的统治进行挑战，这种异教崇拜皇帝并有自己的教士。《圣经》评论家怀疑这头兽是罗马皇帝尼禄，但要从他的名字中得出666来需要经过多次处理。如果把尼禄的名字用希腊语写成尼罗恩，再加上独裁者的称号，然后将独裁者尼禄合译为希伯来文，再将字母转为相应的数字，总数相加之和就是666.不管怎样，神奇地把该兽描绘成名数为666的人使得一代又一代的占数家绞尽脑汁。在16世纪，数学家们也参与其中。德国修道士米歇尔。施蒂费尔研究过代数和数论。他是首先使用加号+和减号-的人之一。他偷偷地把对该兽之数的奇特解释写入一本论代数的经典著作中去。施蒂费尔决心指摘教皇利奥十世的品性，他要对宗座之名进行曲解。他把十拼成DECIMUS（拉丁语“第十”），然后按罗马人的习惯把U改为V而得DECIMVS.他从LEO DECIMVS中挑选出为罗马数字的字母——L，D，C，I，M和V，作为额外增添而从LEOX中加进X.这样，施蒂费尔通过以数代替这些罗马数字而计算出该名字的数值：L（50）＋D（500）＋C（100）+I（1）＋M（1，000）＋V（S）＋X（10）=1，666.啊！多了1，000.施蒂费尔想，数值为1，000的M一定是代表mysterium（神秘）。他从这组字母中除去神秘正好得出了666.他做出这一发现后背弃了出家人的誓言而成为马丁。路德的追随者。如果施蒂费尔把注意力集中到该教皇拉丁语尊号之一的罗马数字上，他就会更为令人信服地获得同样的结果，该尊号为Vicar－ius Filii Dei，其计算结果为：V（5）＋I（1）＋C（100）＋I（1）＋U（5）+I（1）＋L（50）+I（1）＋I（1）＋D（500）＋I（1）=666.尽管如此，施蒂费尔还是努力获得了他想要的东西。罗马天主教徒为这种叛逆的发现所激怒，威胁要杀死他。1522年，他避难到路德自己的家中。路德很高兴有一个新的皈依者，但要他忘记占数那玩意儿。施蒂费尔没有理会这一劝告而开始从《圣经》中搜寻世界末日到来的线索。他深信世界末日是1553年10月18日，并到处传播这一消息，结果被捕。随着这一天的临近，他教区的教民倾其积蓄大肆吃喝。而当他们 10月 19日一早醒来看到世界依旧平静时，他们想杀死这个骗子，由于路德的干预，施蒂费尔才免于一死。对施蒂费尔来说，一生中面临两次死亡威胁已经够受的了，因此他放弃了预言而全身心地投入到数学中去。结果他成了16世纪德国一位杰出的代数学家。我要补充的是，施蒂费尔对那头野兽的数字的解释并非没有引起争议。他的同时代人、长达700页《数的奥秘》一书的作者彼得。邦格斯试图悄悄把该数应用于路德本人。选取马丁。路德的名字 Martin Luther，姓用拉丁语则成MARTINLUTERA.然后，让A至I的字母代表1—9的数字（I和J按当时的习惯可以互换），K到S的字母代表10—90（均乘以10），T到Z代表100至700的数（均乘以100）。邦格斯根据字母和数之间的这种联系看出M（30）＋A（1）＋R（80）＋T（100）+I（9）＋N（40）＋L（20）＋U（200）＋T（100）＋E（5）＋R（80）＋A（1）=666.想想看嘛！除666外，《圣经》为趣味数学提供了许多启示。如果《圣经》中运用的某个数不是像100或1，000这样的大整数，古人就认为该数有神秘的意义。一般来说，如果一个数被发现有某些别致而简单的算术特征——往往与一连串整数的和或积有关，那么这个特别的数则具有了神秘的意义。例如，在约翰福音的第二十一章第十一节中，耶稣和他的门徒在太巴列海成功地进行了一次捕鱼行动。当他们把那网鱼拖上来时发现有153条鱼：“西门。彼得就去把网拉到岸上，那网盛满了大鱼，共153条，鱼虽然很多，网却没有破。”153在数学上有何特殊之处呢？想一想，然后我再透露实情。首先，153=1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17.换句话说，它等于1至17间所有整数之和。但153的魔力还不止这些。它可用另一种重要方式来表示：153=1＋（1×2）＋（1×2 ×3）＋（1×2× 3× 4）＋（1×2×3 ×4×5）。现代数学家会更简练地写出这一等式：153=1！+2！+3！+4！+5！如果一个数后面跟着一个感叹号，你就可以得到从1到该数本身所有整数的乘积。这种运算被称作求阶乘。一位学者大致按照这种方法发现如果把153中各位数的3次方相加也可得出153.可简单地表示为，153=13＋53+33.据数学作家马丁。加德纳说，1961年，菲尔。科恩（以色列约纳姆人）告诉英国反传统周刊《新科学家》说，153潜藏在每个含有因数3的数中。我要留给读者自己去推算科恩在《新科学家》中谈及的内容。不过这里有一个提示：选取3的任何倍数，计算出其各位数字3次方之和。再计算出得数的各位数字3次方之和。就这样不断地算下去。我们再来看看《圣经》中的另一个数：220.《创世纪》第三十二章第十四节记载，雅各布给以扫220只山羊（母山羊200，公山羊20）以示友好。但为何是220呢？毕达哥拉斯的信徒们探求出作为“友好”的特别数字，而220则是这些数字中的第一个。友好数的概念是基于人的朋友是一种变相自我这一看法而来。毕达哥拉斯曾说：“一个朋友是另一个我，如同220与284一样。”这两个数在数学上有何特别突出之处呢？原来，220和284相互等于对方真除数之和（真除数是能被一个数整除的所有除数[ 包括1，但不包括该数本身] .）220的真除数为1，2，4，5，10，11，20，22，44，55和110.果然，1＋2+4＋5＋10＋11+20+22+44＋55＋110=284.而284的真除数为1，2，4，71和142，它们之和为220.虽然古人对友好数很感兴趣，但第二对友好数（17，196和18，416）直到1636年才由皮埃尔。弗马特发现。到19世纪中期，许多有才能的数学家为发现一对对的友好数做了长期而艰苦的努力，结果发现了60对友好数。而直到1866年，才发现次最小的一对友好数：1，184和1，210，它是由一位16岁的男孩发现的。现代数学家将友好数的概念从一组2个扩展到一组3个。在一组友好的3个数中，任何一个数的真除数之和都等于其他两个数之和。103，340，640；123，228，768和124，015，008就是如此。另一组友好的三个数为1，945，330，728，960；2，324，196，638，720和2，615，631，953，920.但对我来说，这种数看起来不像友好数。诚18然，如伟大的创造性数学家约瑟夫。马达奇所说，3个一组的友好数并不易发现，在上面这一组数字中3个数分别有959，959和479个除数。数学家们虽然注意到了“保障来自反复”这一古老谚语，他们可不是见好就收的人。有人想看看如果选一个数，算出其真除数之和，然后再算出该和的真除数之和，如此往复无穷，会出现什么样的情形。在大部分时间里，计算总是索然无味，但如果你一直这么做下去，就会难得地在某处回到了原来数上。以12，496为例，其真除数为1，2，4，8，11，16，22，44，71，88，142，176，284，568，781，1，136，1，562，3，124和6，248.这些数相加，得14，288.再把14，288的真除数相加，得数为15，472（如果你不相信可以自己试一试！）。再做两次这样的运算，会先后得出14，536和14，264.现在看14，264的真除数，它们分别为1，2，4，8，1，783，3，566和7，132.将这7个除数相加，噢，你看，是12，496.如果你不怕浪费时间的话，就从14，316这个数开始做同样的运算。你会在28轮后重新得出这个数！第二章 阿基米德的报复当那位伟大的印度数学家斯里尼瓦萨罗摩奴阇得了结核病住在伦敦医院时，他的同事G.H.哈迪去看望他。这位哈迪从来就不善于激起谈兴，他对罗摩奴阇说：“我是乘坐出租车来的，车的牌号为1729.对我来说，这个数字似乎很枯燥，我希望它不是个凶兆。”“胡说，”罗摩奴阇回答说，“这个数字一点也不枯燥，相反它非常有趣。它是可以用两种不同方式表示的作为两个3次方之和的最小数。”（罗摩奴阇不知怎么立即就辨别出1729＝13＋123和93＋103.）罗摩奴阇死于1920年，年仅32岁。他是一位数论学家，是研究整数属性的数学奇才。数论是数学中最古老的领域之一，在一定程度上说也是最简单的领域。数当然是数学最普遍的基础材料，然而，关于它们仍然还有许多根本问题没有解答。公元前3世纪，当波加的阿波罗尼奥斯天真地继续研究阿基米德的大数时，可能不知晓等待他以及数代数学家的将是什么。“我要让你们看一看谁懂得大数，”阿基米德想。据说，他出于报复之心而虚构出关于牧牛的计算问题，解决这一问题所需的数字是如此庞大，以致直到最近才得以解决。而且，解决这一问题的并不是人而是机器：世界上最快的电脑。提出类似牧牛这类极其困难的问题只不过是阿基米德许多令人难以置信的功绩之一，这些功绩使他在他那个时代就成了一个传奇式人物。公元前212年，罗马将军马塞卢斯围困了西西里的叙拉古港，该城之王希伦请求王亲阿基米德驱逐60艘敌舰。阿基米德不久前发明了杠杆（他因此说了这句名言：“给我一个支点，我会搬动整个地球。”），他将杠杆和滑轮结合在一起制成巨大的吊车，这些吊车将那些入侵的战船吊出了港口。在战斗中，吊车还得到弩石弹射器和凸面镜的协助，凸面镜把阳光聚焦到船上使船着火。结果，罗马舰队遭到了毁灭。马塞卢斯说：“我们不要和这个几何怪物进行战斗了，他拿我们的船当杯子，从海中舀水。”阿基米德使敌人3年不敢接近。后来，有一个晚上，当叙拉古人忙于宗教庆典时，罗马士兵攀上城墙并打开城门。当马塞卢斯的军队蜂拥而入时，他告诉部下说：“任何人都不得斗胆对阿基米德妄动一个手指头，这人是我们的座上宾。”马塞卢斯的一个士兵在庭院中找到阿基米德，其时，阿基米德正在沙地上画几何图形，这位士兵违抗指令而拔出了剑。阿基米德请求说：“我的朋友，在你杀死我之前，请让我把我的圆画好。”这位士兵没有等待就把剑刺向阿基米德，阿基米德躺倒在地，喃喃地说：“他们夺走了我的躯体，但我将取走我的灵魂。”说完安然死去。按照阿基米德的愿望，人们在他的墓碑上刻了一个圆柱体，柱体里面是一个球体——象征着他的骄傲的发现：球的体积是装下该球的最小的圆柱体体积的三分之二。这个传说有多少是真的呢？阿基米德无疑是位机械天才。有充分证据表明他设计出能将50磅弩石抛出300英尺远的弩石弹射器。但近来对技术史的研究排除了他建造了能从海中吊起敌船的吊车的可能性。这种神话的根据可能是他发明过一种将他自己（不动的）的船吊到岸上来的吊车式的装置。许多科学巨匠包括加利莱奥。伽利略和法国博物学家布丰伯爵，乔治-路易斯。莱克勒都对阿基米德用镜子焚烧敌船感兴趣，它与儿童用放大镜点燃纸片非常相似。理论上说这种镜子是可以制造的，但它要有一个保持太阳光线聚焦于移动目标上的可变焦距，普通镜子是做不到这一点的。（1747年，布丰声称用一个复杂的镜子使150英尺远的木头着了火，并熔化了140英尺远的铅。）不管怎样，阿基米德不会费力去制造一个特别镜子的，因为那时已经出现了一种简单而高效的燃烧武器：将石脑油与一种同水接触即自动燃烧的化学物质相混合装入罐中，人们把这种罐子掷向敌船。对阿基米德之死的生动描述可能相当真实，尽管人们会对他所说的话表示怀疑。公元前75年，伟大的罗马演说家西塞罗来到阿基米德的墓旁，发现墓碑上刻有外切一个球的圆柱体。牛群的问题是怎么回事呢？它真是首先由阿基米德提出来的吗？别管阿基米德是否真是出于一时赌气而凭空想出这个问题的，人们知道他确曾推算过这个问题，因此至少有2，200年的历史了。这个问题开始是这样的：“啊！朋友，如果你智慧过人，那就专心致志算出那天那群公牛的数目吧。它们曾在西西里岛的大平原上吃草，按毛色它们被分成4组：乳白牛、黑牛、黄牛和花斑牛。每组中的公牛数占大多数，它们之间的关系为：1、白公牛=黄公牛＋（1/2＋1/3）黑公牛2、黑公牛=黄公牛＋（1/4＋1/5）花斑3、花斑公牛=黄公牛＋（1/6＋1/7）白公牛4、白公牛=（1/3＋1/4）黑牛5、黑公牛=（1/4＋1/5）花斑公牛6、花斑公牛=（1/5＋1/6）黄牛7、黄公牛=（1/6＋1/7）白牛该问题继续说：”啊！朋友，如果你能算出每群中公牛和母牛的数目，你还是称不上无所不知或精通数字，也不能被列入智者之列。“于是该问题涉及到其数学的本质部分：解7个带有8个未知数的等式（4组不同颜色的公牛和4组相应颜色的奶牛）。原来，这些等式并不难解。事实上，它们有无限多的答案，而牛群总头数的最小数值为50，389，082，这些牛可以在西西里6，358，400公顷的大平原上自由自在地吃草。然而，阿基米德并未就此停止。他对公牛数目另外又提出了两项限制条件，从而使这问题变得难多了：8.白公牛＋黑公牛＝一个平方数。9.花斑公牛＋黄公牛＝一个三角数。问题最后说：“如果你已算出这群牛的总数，噢！朋友，你俨然就是一个征服者了，不消说，你就是数字科学方面的专家了。”阿基米德的牛群问题由于采用了三角数和平方数的概念而与华达哥拉斯的工作有关。公元前6世纪，毕达哥拉斯及其追随者用圆点布置成三角、四方或其他几何图形来表示数。如3、6和10这些数被称为三角数，因为它们可由构成三角的圆点来表示：西门从海中拽出的鱼的数目153也是一个三角数。由于同样的原因，像4，9和16这些数被称为平方数，因为它们可以用圆点布置成正方形来表示：不要以为古人为断定某个特定的数是否可以由特定的几何圆点图形表示而耗费长时间去胡写乱画，要知道，解决这一问题存在一种纯数的方法。所有三角数都可由连续的整数（从1开始）相加得出；如 3＝1＋2，6＝1＋2＋3，以及10＝1＋2＋3＋4.所有的平方数都可由整数的平方得出：4＝2×2，9＝3×3，及16＝4×4.由于用三角数和平方数对公牛进行限制，牛问题变得非常棘手，两千年里没有取得真正的进展。1880年，一位德国研究者在经过枯燥计算之后表明：符合所有8项条件的最小的牛头数为一个有206，545位数的数，该数是以776开头的。阿基米德可能是一个有魔力之人，但他决不是个现实主义者：西西里小岛上决不会容下这样一群牛。正如一位数理论家所说：“即使它们是最小的微生物——不，即使它们是电子，一个以从地球到银河的距离为半径的圆也只能包含这种动物的很小一部分。”但没人认为缺乏现实感会妨碍数学研究。20年后的1899年，伊利诺斯希尔斯伯勒的一位土木工程师和他的几位朋友组成希尔斯伯勒数学俱乐部，致力于发现余下的206，542位数。经过4年运算后，他们最后宣布，他们发现了12位最右边的数，又另外发现了28位最左边的数，但后来证明他们算的数都弄错了。60年后，3位加拿大人运用计算机首次发现了全部的答案，但他们从未予以公开发表。1981年，当出自劳伦斯。利弗莫尔国家实验室的克雷1号巨型计算机的47页硬拷贝缩印在《趣味数学》杂志上时，全部的206，545位数才最终公布于世。当时，克雷1号是世界上运算最快的计算机。克雷巨型计算机是昂贵的——最新型号值2，000万美元，实验室和公司不会买它来解决古老的数论问题。购买它是用于配制新的药物，勘探石油，破译苏联密码，在好莱坞电影中造成辉煌的特别效果以及模拟太空武器。然而，人们常常让巨型计算机解决数论史上棘手的计算问题，以便证明它们是否运转正常。计算这种问题的好处是可以轻易地对其答案——即使以前不知道这些答案——进行检验：将它们还原到其等式中去。阿基米德的牛群问题正是在劳伦斯。利弗莫尔实验室检验克雷1号时得以解决的。这台巨型计算机仅用10分钟就发现了206，545位数的答案，并两次检验了这一问题的运算。让我们以一个阿基米德曾处理过而我们也许能解决的问题来结束本节吧。希伦给金匠一定量的金子（设其重量为W）制造皇冠。当希伦收到那顶皇冠时，他请阿基米德鉴定它是否含有全部的金子，或金匠是否偷走了一些而代之以较廉价的金属。公元前1世纪著名的罗马建筑师维特鲁威是这样记载的：“阿基米德反复琢磨这一问题，一天他偶然来到洗澡间，在那儿，他注意到，当他坐进浴缸里，漫出浴缸的水的数量等于他浸在浴缸中的身体所排出的水量。这一点向他暗示了解决这一问题的方法，于是他立即欣喜地跳出浴缸，光着身子向家奔去，并大声喊着他已发现了他寻找的东西。因为当他跑的时候，他反复大声地用希腊语叫道，我找着啦！我找着啦！”他找到了什么？阿基米德领悟到：既然金是密度最大的金属，那么，重量为W的纯金皇冠的体积会比同样重量搀假的金皇冠的体积要小些。他让一个容器装满水并投进重量为W的金子。然后他将溢出来的水收集起来，这些水的体积与该金子的体积相等。下一步他让另一个容器装满水，皇冠在监督之下被放入水中。果然，它排出的水体积较大，证明那位卑劣的金匠偷去了希伦国王的金子。第三章 素数的滥用原子说——相信事物不可分割——不仅指导着古希腊人研究物质而且指导着他们对数的研究。欧几里得及其同时代人认识到，某些整数如 2，3，5，7及11是根本不能被除尽的。这些只能被它们自身和1整除的数被称为素数。那些不是素数的数——如4，6，8，9，10等等——有另外的除数。这些数被称作合成数（非素数），因为它们每个数都各自由某些素数“合成”。例如，4＝2×2，6＝2×3，8＝2×2×2，9＝3×3，及10＝2×5. 1985年9月，当休斯敦的谢夫隆地球科学公司对被称为克雷X－MP型的新式巨型计算机进行使用检验时，它在以每秒做4亿次运算的速度工作了3个多小时后发现了人（或机器）所知的最大素数。大约在2300年前，欧几里得就证明存在无限多的素数。但迄今还没有人发现素数的模型或产生素数的有效公式。由于没有模型可参照，发现新的最大已知素数没有任何窍门，这一发现的新闻不仅迅速地传遍了数学界而且传遍了整个世界。美国哥伦比亚广播公司《晚间新闻》节目的主持人瓦尔特。克伦凯特专门在电视上插播了一个素数的轻松故事，而全国公共广播电台仍然有这样一个栏目。谢夫隆计算机求得的创纪录的素数多达65，050位数。这个有65，050位数的庞大数字是一个梅森数，它等于2的216，091次幂减1，要把这个数全部列出来要占去本书30页纸。“我们只是偶然地运算了足够的数而得出这一新素数的，”谢夫隆的一位副总裁告诉新闻界说，“让该机器开动并进行运转，证明它健全无损是我的职责，其结果是令人感兴趣的……但这些结果肯定无助于发现石油。”寻找更大的素数并探求其性质与寻求奇数完全数一样都是数论的一部分。数论表面上简单。其主要定理可以表述得人人都可理解，但证明起来——如果是已知的话——却需要艰深而复杂的数学运算。例如1742年，生于普鲁士的数学家克里斯琴。哥德巴赫猜想每个比2大的偶数都是两个素数之和。根据这一分析，4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，10＝5＋5等等。数理论家借助于计算机将1亿以下的所有偶数都分成为两个素数之和，然而他们却没能证明哥德巴赫的简单猜想是普遍正确的。而这并不是因为缺乏尝试之故。过去两个半世纪以来，许多最有才能的数学家都曾思考过这一问题。在数学的所有分支之中，数论传统上一直是最远离物理现实的。数学其他深奥领域的抽象结果似乎已有效地用于物理、化学和经济之中。而对数论中的多数结果来说却并非如此。如果哥德巴赫猜想明天得以证明，数学家会欣喜异常，而物理学家和化学家将不知道如何应用这一成果——如果它确有应用价值的话。因此，研究素数被认为是最纯的数学，与应用无关的数学。几个世纪前，数论的这种纯性为它赢得了“数学皇后”的美称。然而在今天，这座宫殿里却出了问题。那最纯的论题——素数正在以国家安全的名义滥用自己。据报道我们政府所用的某些最好的密码是依靠素数创制的。在这些密码中，字母被转换成数字，其根据纯然是数学的：某些计算程序较易创制但极难破译。例如，计算机计算两个100位数的素数的积极其容易。但已知那个200位数的积去恢复那些素数除数却极其困难（当然，除非有人告诉你）。将这一点应用于密码使人茫无头绪。将电文译成电码的人必不能破解密码。将电文译成电码，他只需知道200位数的积。但要破译这段电文他得知道两个素数除数；而只知道其积是远远不够的。这种密码被称为公钥密码，因为它可以用一种很公开的方式来使用。如果我想收到秘密信件，我只需公布200位数的数字（并对如何用于编密进行解释）即可。然后，任何人只要他愿意就可以给我寄编成密码的信。因为只有我一人知道那两个素数除数，因此也只有我才能轻易地破译那些信件。然而，这种密码系统起作用的惟一原因是数论学家迄今依然不知如何将巨大的合成数化成构成它们的素数。佐治亚大学著名的素数学家卡尔。波梅兰斯说：“这种密码系统是对无知的利用。由于这种密码，更多的人卷入了对数论的研究。而致力于研究分解因子问题（寻找素数除数）而未获成功的数学家愈多，这种密码就愈可靠。”因此，这种密码系统的成功又以另一种方式仰赖于数论：要确认那相乘的100位数的素数必须运用尖端的数学方法。既然素数处于密码学的显要位置，我想考察一下关于素数何为已知的，以及何为未知的。很久以前，欧几里得就证明素数是无限多的。他2，300年前的证明依然是数学简明而别致的范例。欧几里得说，我们假设素数是有限的，那么其中之一——我们称之为P——就会是最大的。现设有一个比P大的数Q，Q等于1加上从1到P所有整数的积。换句话说，Q＝1＋1×2×3……×P.对于Q来说，很明显，从2到P的所有整数都不能整除它；每次除都会得出余数1.如果Q不是素数，它就会被某个比P大的素数整除。相反，如果Q是素数的话，Q本身就是一个比P大的素数。两种可能性都意味着比最大素数还要大的素数的存在。这当然就意味着，“最大的素数”这概念是虚设的。但如果没有这样一个怪数，素数就一定是无限的。长期以来，数学家们一直梦想着发现一种公式，运用这个公式代入从0到无穷大的n的整数值就可以得出所有素数。18世纪的大数学家列奥纳德。欧拉反复考虑用那个诱人的简单公式n2＋n＋41.如n＝0，该公式则得出素数41；如n＝1，得素数43；n＝2得素数47.的确，当n为0至39中连续的整数值时，欧拉公式得出的全是素数。但如n＝40时，这一公式突然不灵了。其得数1，681是41的平方。欧拉公式1963年，曾在洛斯阿拉莫斯从事早期原子弹研制性工作的卓越数学家斯坦尼斯劳。乌拉姆在一片纸上随意写出一串数字，它们是连续的整数，从1开始呈方形螺旋地向外扩展：乌拉姆的小草笺使他震惊的是，草笺中的素数——我已用线标了出来——都落在了对角纸上。乌拉姆受到这种偶然发现的鼓舞便与两个助手马克。韦尔斯和迈伦。斯坦一起研究从除了1之外的整数开始的方形螺线。从41到44的整数也构成了一个螺线。同样，素数也常常落在对角线上。从421至383这条长对角线与由欧拉的n2＋n＋41的公式所得出的素数是相对应的。乌拉姆的大草笺1963年，洛斯阿拉莫斯的马尼艾克二型主机储存了前9，000万个素数。“在洛斯阿拉莫斯我们也有一台第一流的图解计算设备，”韦尔斯回忆说，“因此我们对用计算机绘出素数图式感到异常激动。”马尼艾克二型为1，000万以下的所有素数都绘出方形螺线图。果然，许多数都神奇地出现在对角线上。欧拉公式n2＋n＋41在n为大数值时证明有令人震惊之效。马尼艾克二型计算出，在1，00O万以下的所有素数中，该公式可得出占总素数的47.5％。而当n值较低时，该公式工作得更有成效。当n值小于2，398时，得素数的机会一半对一半。而当n值小于100时，该公式得出86个素数，合成数只有14个。乌拉姆和助手们还发现了其他几乎与欧拉公式同样有效的生成素数的公式。公式4n2＋170n＋1，847计算1，000万以下素数的成功率为46.6％，并得出760个欧拉公式所不能推出的素数。公式4n2＋4n＋59的成功率为43.7％，同时得出大约1，500个不能由其他两个公式推出的素数。最奇怪的是，虽然这些公式都有很高的成功率，虽然在方形螺线中存在明显的对角线规则，但数理论家已证明与欧拉公式相仿的公式无一能生成全部的素数，或除素数外别无他物。但这一证明并未阻止浪漫主义者寻找素数的模式。在100以内的数字中有25个素数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89和97.这些连续的素数（以及随后无限多的素数）之间的间隔并无明显的范式可循。由于2是惟一的偶数素数，2与3也是惟一一对只相差1个的素数。相差2的素数——被称为孪生素数——又如何呢？在前25个素数中有8对孪生素数：（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），（29，31），（41，43），（59，61）和（71，73）。大约150年来，数字理论家就推测过，孪生素数就像素数本身一样是无限多的，但还没有人能证明这一点。在1966年，研究取得进展，那时，中国数学家陈景润证明：在只相隔两个的无穷对数字中：第一个数为素数，第二个数也是素数或是两个素数的积。（为两个素数之积的数被称为“殆素数”，这一叫法既表明了数学家们不可抑制的乐观主义，又证明了真正素数的发现之难。）乐观主义的另一表现是：陈先生证明了哥德巴赫猜想的较无力那一面的说法：每个“充分大”的偶数是一个素数和一个殆素数之和。“充分大”是素数文献中对“我知道我的证明对比某数Q大的所有数都有效，但我不知道Q是多少”的婉语。虽然短语“充分大”一词模糊不清，数学家们仍然认为陈的证明是过去30年来对素数理论意义最为重大的发现。人们对素数之间离得多开比素数如何相互靠近知道得更多一些。的确，很容易证明存在任意长的非素数的连续数列。让n！表示1到n的所有整数的乘积。这样，n！就可以被从2到n的每个整数整除。试想一下n！＋2，n！＋3，n！＋4……n！＋n的连续数列。这时，数列中的第一项n！＋2则可被2整除；第二项n！＋3可被3整除；第三项n！+4可被4整除；等等。在这个数列中有n—1个数，没有一个是素数。通过任意选择n的大小，你可以得出你想要的无素数的连续整数数列。但也有大量的长串素数数列。事实上，数理论家认为素数可以形成漫长的等差级数（由同样差分开的素数数列）。较短的等差级数是容易发现的。例如，素数3，5和7构成3项差额同为2的等差级数。（1944年，有人证明有无限组等差级数的3个素数。）素数199，409，619，829，1039，1249，1，459，1，669，1，879和2，089构成一个10项共同差额为210的等差级数。至于更长的级数，由于初始的素数和共同差额急剧上升，因而难于发现它们。然而，1983年，保罗。普里查德在康奈尔发现了19个呈等差级数的素数；初始素数为8，297，644，387，共同差额为4，180，566，390.一些数学家甚至推测存在任意长连续素数的等差级数。例如，连续素数1，741，1，747，1，753和1，759构成4项差为6的等差级数。然而，现在还没人能证明这一猜想，更不必说素数不必是连续的等差级数这一根据相对不足的猜想了。对于素数，我们知道什么又不知道什么？对此可写一篇长篇论文。再举一个简单例子就足已。有人已证明在比1大的任何数和其倍数之间至少有一个素数。（这个证明的一个令人震惊的后果是：在n位数中至少有3个素数——n可为任何正整数。）但无人知道在任何比1大的数的平方和其相邻数平方之间是否有一个素数。既然素数本身没有已知的模式可循，那么数学家在努力证明它们时明显显示出杂乱无章也许是惟一合适的做法。某些基本定理——如有无限多的素数，它们之间有任意长的间隔——已简单明了地得以证明。其他定理，如哥德巴赫猜想依然有待证明。虽然没有一个自重的数学家对其正确性表示怀疑。为取得进展，数理论家采用了证明关于“殆素数”和“足够大的数”的办法。这一领域需要出现另一个欧几里得或欧拉。在那之前，我们可能依然处于这种奇妙的状态：依赖于秘密通讯的政府和工业继续从数学家的无知中获利。对数理论有兴趣的读者不妨对这些未被证明的猜想动动手和计算器。如果猜想是正确的，证明工作可能会采用技术数学的成果，这是门外汉所做不到的。但如果与所期望的相反，它们碰巧是错的，全部所需要的则是一个反例。据历史记载，那些最具数学头脑的人也会出错。欧拉声称，1个5次方的数决不会等于两个5次方的数、3个5次方的数或4个5次方的数之和。（换句话说，不存在满足等式x5=y5＋z5条件的整数x、y和z；不存在满足等式a5=b5＋c5+d5条件的整数a，b，c和d；也没有满足等式m5=n5+o5+p5＋q5条件的整数m，n，o，p和q.）两个世纪后的1966年，这一断言受到驳斥，因为发现了一个反例：144的5次方正是另外4个5次方的数——即27，84，110和133——之和。如果推断未获证明的猜想不是你的事，考虑考虑某些数也许是。但不要再犯哈迪的错误：早早地就把出租车号斥为无趣的。前不久我乘机远行。当我为一本小说所吸引住时，邻座那位坐卧不安的同伴笨嘴拙舌地试图激起谈兴：“我们乘坐的是407号飞机。对我来说，这个数似乎很枯燥，我希望它不是个凶兆。”“胡说，”我从书中抬起头来答道，“这个数字一点也不枯燥，相反，它非常有趣。它是等于其各位数3次方之和的最大的3位数。”那人直盯着我，好像我是个疯子，但他拿出一张便条开始不停地草算起来。他做了一路的计算，而我却可以不受打扰地读完我的小说。第四章 比尔密码之谜密码学——编制和破译密码的科学——日益成为那些能够获得最新计算机技术的数学家所从事的量性学科。今天在军队和私人企业中所使用的密码与昨日的密码截然不同，总的来说是变得更为难以破译了。然而，尽管取得了这些进步，这种新型的数学密码在许多场合也不管用，而对一些古老的密码，最先进的破译技术仍然无法解开。密码学一定有很长的历史，因为早在公元前1世纪，据说凯撒大帝就曾用过极简单的代换式密码，在这种密码中，每个字母都由其后的第三个字母（按字母顺序）所代替。当凯撒说：“Hw we，Eu-xwh！”而不是“Et tu，Brute！”（“你这畜生！”）时，他的心腹会懂得他的意思的。值得注意的是，大约2，000年后，联邦将军A.S.约翰逊和皮埃尔。博雷加德在希洛战斗中再次使用过这种简易密码。《旧约》中发现的一个密码与这同样简单。在《耶利米书》第二十五章第二十六节和第五十一章第四十一节中，先知为通天塔写了Sheshach.希伯来文第二个字母（b）被倒数第二个字母（sh）所取代。第十二个字母（l）被倒数第十二个字母（ch）代替。（这些元音次序错乱，但在希伯来文中，元音不大重要。）这种密码被称为Ath-bash——一个由希伯来文第一个字母（a）、最后一个字母（th）、第二个字母（b）和倒数第二个字母（sh）组成的单词。最初代换式密码的缺点是可以通过分析每个符号出现的频率而轻易地被破译。在每种语言中，冗长的文章中的字母表现出一种可对之进行分辨的频率。例如，e是英语中最常用的字母，其出现频率为八分之一。最好假定长长的密文中最常用的符号代表e.如果密码分析者根据频率数能破译出9个最常用的字母e，t，a，o，n，i，r，s和h，一般来说他就可破译70％的密码。最现代的译密技术也是以古老的频率分析法为根据的。频率分析法还可以用来对单词中的字母的位置及其组合进行分析。例如，全部英语单词中有一半以上是似t，a，o，s或w开头的。仅10个单词（the，of，and，to，a，in，that，it，is和I）就构成标准英语文章四分之一以上的篇幅。编成密码的词汇量越大，用频率分析法译密就越容易。在激战方酣时，电文接连不断地从战场和司令部之间来回发送，其中少不了密电。第一次世界大战时，德国人每月用无线电播送200万编成密码的文字。在第二次世界大战时，盟军最高统帅部常常一天就播发200万字的编密文字。在凯撒密码（即Athbash）那种系统中，与明文相对应的密码符号都是按照某种模式编制的，而这些模式又不难发现，所以人们不用费多少气力就可以发现这种模式。例如，如果对凯撒密码文进行频率分析后表明：h代表e，w代表t及d代表a，那么，密码分析者就会怀疑，每个密码字母代表着按a，b，c字母顺序的前3个字母。然后他会核实他的怀疑是否正确。预感与猜测无疑是译密的关键，因为易于使用这些方法并检验它们是否有效。如果不是因为使用了频率分析的话，苏格兰的玛丽皇后是不会掉脑袋的。她那时常常用简单的代换式密码写不忠实的信件，并以此卖弄自己比凯撒和耶利米更高明。她任意选用密码符号，并用毫无意义的符号写信。然而，英国特工处的奠基人弗朗西斯。沃尔辛厄姆极力排除了那些无意义的符号，并计算剩下符号的频率。结果，他破译出玛丽阴谋暗杀伊丽莎白女王并继承她的皇位。正是根据这种密码分析法，玛丽被宣判犯了叛国罪而被处决。如果玛丽知道15世纪意大利建筑师莱昂。巴蒂斯塔。阿尔贝蒂的做法的话，她也许会免遭杀头。阿尔贝蒂为破坏频率推算法而提出了一个他称之为“群王”的令人惊讶的方案。在这种方案中，明文中每一个字母都可由每个密码符号来表示。实质上，它是用一个以上的密码字母来对某个特定的密码单位进行编密。这种密码叫做多字母体系密码；阿尔贝蒂的思想是现代密码学的基础。阿尔贝蒂系统采用了下列表格。表的上面是大写字母，即众所周知的密钥字母，它们是用于发现表中的密码字母的。表的左边是明文字母，也是大写的。在发出信息之前，通讯各方必须就一种被称为密钥词的口令取得一致。要为某一段信息编密，就得在明文上面重复地写密钥词。例如，密钥词是 LOVE（爱），明文信息为 SEND MORE MON－EY（送更多的钱来）。发送信息者则写：密钥：LOVE LOVE LOVEL明文： SEND MORE MONEY在每个明文字母之上的密钥词字母指明表中那个密码字母应用来给那个特定的明文字母编密。SEND中的S应由字母L代表（因为LOVE中的L正落在SEND中的S上面），于是在表中S横栏和L竖栏的相交处发现了密码文字母d.同样，字母O则代表SEND中的E，于是在E横栏和O竖栏的相交处发现了其密码文符号——S：运用这种方法对全段信息进行处理，我们发现SENDMOREMONEY相应的密码文为DSIHXCMIXCIIJ：密钥词：LOVE LOVE LOVEL明文：SEND MORE MONEY密码文：DSIH XCMIX CIIJ译密的过程与此类似：在密码文上方反复地写上密钥词，明文就可从表中适当的字母中解出。这种系统的可爱之处在于即使偷听者得到这种表，但他如没有密钥词也不会知道很多。在战时，由于要特别保密，密钥词经常变换。但粗心大意地使用，最保密的密码也会泄密，这使破译密码在实际中比在理论上要容易得多。外交和军事通讯通常都以特有的诙谐语（“敬礼”和“谨上”等）开头和结尾，它们是密码分析者的线索。某些特有的名称，尤其是那些特别长的名称也会泄露天机。例如在第二次世界大战时，德国通讯设备就用密码说过Wehrmacht-nachrich tenverbin dungen——德国国防军通讯情报处。通过对敌人进行引诱常常可以获得信息。 1942年 5月，美国最高统帅部得知一支由11艘战列舰、5艘航空母舰、16艘巡洋舰和49艘驱逐舰组成的庞大日本舰队不久将要出击，但不知道出击地点。日本无线电播音员一次又一次地提到AF.AF是代表加利福尼亚、阿拉斯加、中途岛还是其他什么地方呢？为弄清这一问题，美国情报官员指示美国中途岛驻军用无线电向珍珠港播报淡水快用完的信息。中途岛驻军照办了。此后不久，美国人截获了日本人报告AF地区用水短缺的消息。当攻击来临时，美军已严阵以待了。美军在数量上处于劣势的情况下击退了日军，从而取得了中途岛大海战的胜利。即使密码不会被泄露出去，它也会被破译出来，因为它有着内在的弱点，这些弱点常常为发送者所忽视而被足智多谋、进行窃听的密码分析家所利用。阿尔贝蒂的多字母体系密码在 300年中一直被认为是无懈可击的，但是在19世纪60年代，一位昔日的普鲁士步兵弗里德里希。W.卡希斯卡发现了几个内在的弱点。例如，他发现，如果对一个不止一次出现的明码字母每次都用同样的密钥字母进行加密，那么就会出现同样的密码文。如在SENDMORE MONEY短句中，密钥字母LO两次把明文MO列加密成XC：密 钥：LOVE LOVE LOVEL明 文： SEND MORE MONEY密码文：DSIH XCMI XCIIJ重复的密码文XC表明了密钥词的长度。一般来说，在重复文字中从一例到另一例之间的密码文字母数是密钥词字母的倍数。如果密码文数位经常重复的话，密码分析家就能计算出密钥词的长度，并因此计算出所运用的密码字母表的数目。这样，要知哪个密码文字母来自哪个密码字母系列就只是一个分类问题了。而就每个密码字母系列来说，频率分析法将解出明文字母。在阿尔贝蒂密码中，只要密钥保持秘密状态，即使加密法——密码字母系列表——为人所知也不会危及这种密码的保密性。而正在利用创新的数字方法的现代密码学者——如我们在上一章所见——把这一趋势推向极端：可以在加密方法和密钥都公开的情况下而不泄密。换句话说，给一段文字加密不像破译它那么困难。在当今时代密码术日益电脑化之时，技术上的故障可以造成严重的后果。如果说曾有过某种形势，即需要运用一种现代数学提供的、而实际上又不可译解的密码的秘密通讯方式的话，那就是在1985年10月。某日凌晨，里根政府从情报人员处获悉：埃及总统霍斯尼。穆巴拉克谎称4名巴勒斯坦恐怖主义分子劫持了意大利阿基勒。劳罗号巡逻艇，并在轮椅上谋杀了69岁的莱昂。克林霍弗后不知去向。其实，与穆巴拉克公开声称的相反，劫艇者依然在埃及领土上，并准备偷偷地乘机离开这个国家。当美国情报人员极力想确定恐怖主义分子计划乘坐的飞机——一架停落在开罗附近航空基地的埃及航空公司波音737飞机时，五角大楼的反恐怖主义专家们迅速提出了一项计划：在侦察机和雷达干扰机的配合下，用F－14公猫战斗机阻截这架民用的要出逃的飞机。同时，里根总统和往常一样。当中央情报局和五角大楼采取紧急行动对，他在芝加哥外面的萨拉。李餐馆吃午饭，品尝烤制食品。一份来自华盛顿的火急（也是秘密的）电讯打断了他的饭后闲聊。总统的顾问向他简述了迫降埃及航空喷气机的大胆计划。里根对他听到的汇报表示赞成，但在点头签字之前，他要了解这将危及多少人的生命。几个小时后，里根登上了去华盛顿的“空中一号”，并同国防部长卡斯珀。温伯格通话，温伯格正乘军用飞机飞往他缅因州巴港的夏日之家。总统通过一条公开的无线电短波频道像通常一样说话，没用暗语，也没用高技术的玩意儿改变他的声音，他命令并不情愿的温伯格执行这一大胆的使命。一位业余无线电报员收听到总统鼓动性命令的每一个单词，这位偷听者的兄弟则不失时机地与哥伦比亚广播公司新闻部取得联系，但广播公司却没有报道总统的命令。哥伦比亚广播公司新闻部不是《纽约邮报》“第六版”，它想要第一手材料：或者是无线电报员本人（而不是他的兄弟），或者是偷听到的谈话录音带。几个小时后，埃及航空公司的飞机正按哥伦比亚新闻部所听说的那种方式迫降。《纽约时报》后来引用白宫的一位官员的话说：“他们（里根和温伯格）乘坐的是两架不同的飞机，拥有两种不同的密码系统。本来他们可以通过另一种密码系统进行联系，但时间紧迫，于是他们决定不走密线。他们认为这种信息还没重大到需要保密的程度。”但你可以肯定，如果一位业余无线电报员偷听到他们的谈话，那么明显在监听“空中一号”所有无线电通话的苏联人也会偷听到。如果克里姆林宫不表现克制的话，那么，美国F-14战斗机遇到的可能是苏联空军中队的米格战斗机而不是无防御能力的民用客机了。当时间急迫时，需要精密设备和复杂的数学方法的密码就不现实了。例如，在激战时，命令必须一接到就执行，没有很多时间去破译密码。如果里根和温伯格懂得一种相对不清的外语，他们也许会说这种语言的。布尔战争时，英国在各营地之间传递情报的通讯员说的就是拉丁语。这至少给偷听者们带来些障碍。第一次世界大战时，在法国的美国远征军统帅担心德国人在监听每项通讯，他在军团的印第安人中发现了一种奇特的通讯方式，这些印第安人能说26种难懂的语言，其中只有5种语言有书写文字。当8个乔克塔印第安人用战地电话传布命令时，他们发出了第二营从丘弗里“巧妙撤退”的声音。在美国参加第二次世界大战之前，军方对许多土著美国语言进行研究并确定纳瓦荷语为理想的战场通讯语言。在该部落之外只有 28人知道这种语言，而该部落中无人同敌方有任何联系。纳瓦荷语像中文一样极为难学，因为其字义取决于发音中的微妙变化。而且，不存在纳瓦荷语教科书；只能从土著人那儿学到这种语言，五角大楼所幸的是，所有讲这种语言的土著人全在美国境内。既然纳瓦荷人有5万多，肯定有许多身强力壮的人被征召入伍。在二战临近结束时，420名纳瓦荷人以其特别的方式帮助了美国海军从所罗门岛向冲绳岛推进，他们以一种特殊语言大声喊叫命令，这种语言使日本最高统帅部难以破译对方的情报，只得进行快速的部队调动。虽然越来越多的数学家从事密码学研究，越来越多的巨型计算机被用来编制和破译密码，但那些古老的密码依然使他们头痛并耗费着他们的时间。在一个半世纪前写成的著名的比尔密码——它明显在某个地方藏有1，700万美元的地财——依然耗去了“美国最有能耐的密码分析家至少10％的精力”，曾在斯佩里通用计算机公司干了20多年的主任计算机科学家、电脑密码统计性分析的先驱卡尔。哈默说，“决不应吝于做出这种收效甚微的努力”。哈默补充说：“这项工作——即使是那些走入了死胡同的工作——也为推动和改善计算机的研究做出了贡献。”遗传下来的比尔密码源于1820年1月，当时，一位个头高高、皮肤黝黑、长着一双乌黑发亮的眼睛和一头乌黑发亮的头发、朴实而漂亮的陌生人骑马来到弗吉尼亚林奇堡的华盛顿旅馆。来人受到该旅馆老板罗伯特。莫里斯——富人知道他喜欢宴请宾客，穷人知道他慷慨大方——的欢迎，陌生人自我介绍说他叫托马斯。杰弗逊。比尔。他在巡视院子并检查为他和他的马准备的旅馆设备后告诉莫里斯说，他打算在那儿呆一个冬天。比尔精神饱满，谈锋极健，又是一位殷勤的客人，他的阳刚之美受到太太们的倾慕，遭到男人们的嫉妒。他以长长的故事来娱悦其他宾客，这些故事涉及每个可以想象得出的主题，但他对他的家庭、他的出身和他的住处却只字不提。那年的3月底，他一声不响地离开了这家旅馆，无人知道他的去向。此后两年间，无人知道他的消息。后来，1822年1月，他突然又出现在这个旅馆，他还像从前那么友善，只是比以前更为黝黑更为潇洒了，他那齐整而被晒黑了的躯体表明他曾经历过一次重大的户外探险。每个人，尤其是女人们欢迎他的归来。春天来到时，比尔又不见了。他留下了一个锁着的铁盒，莫里斯打算把它藏起来，等他回来再说。夏天，莫里斯收到比尔的一封来信，信头是圣路易，5月9日。在信中，比尔描述了他遇到野牛和野蛮灰熊的情形。（那时，圣路易是一个小小的边境城市。）“我现在不能决定我会离开多久，”信继续说，“肯定不少于两年，也许更长。”“我想谈一下关于那个我留下托你保管的盒子的事……它里边装着几份信件，它关系到我自己和许多其他同我做交易者的命运；万一我死去，其损失是无法挽回的，因此你会明白警惕而小心地保护它的必要性，以防巨大灾难的发生。盒内还装有几封写给你自己的信，它们会使你了解我们所从事的事业……如果我和我的同伴自这封信上的日期起10年内不来认领，你就打开它，只要把锁去掉就行。”“你会发现，除了给你的信以外，其他信件如不借助于线索是难以理解的。这种线索我留给了这里的一位朋友，它是密封着的，它是寄给你本人的，上面签有‘1932年6月前不予递送’的字样。凭借这把钥匙，你会全面理解要你做的一切事情……向你最美貌的夫人致以最真挚的祝愿，向诸位太太表示问候，向好奇的朋友——如果有的话——表示谢意，最后，郑重地向你本人致以最高的敬意，我同过去一样依然是你忠实的朋友，托。杰弗。比尔。”不用说，莫里斯再也没有收到比尔的信。至于他是被印第安人所杀，或是为野兽所吞食，亦或曝尸于野还是饿殍而亡那就任凭读者去想象了。1832年夏天到了，莫里斯却没收到允诺从圣路易寄来的线索。根据比尔的信，莫里斯本可以在那年砸开那只盒子，但由于忙于其他事务，他直到1845年才打开它。他在里面发现了两封写给他的信——一封很长而内涵丰富的信和一封短而平淡的信——一些陈旧的收条和几张写满一连串数字的纸。长信所注的日期为1822年1月4日，信是这样开始的：“当你熟读此信，发现你从未见过、你从未听到过姓名的伙伴对你的荣誉表示极大的信赖时，你一定会感到震惊。其原委是简单易说的。我们必须在这儿挑选一个人，在我们一旦身遭不测时实现我们的愿望，你为人诚实，名誉无可挑剔，又有商人般的精明，因此他们选中了你而没选中其他一些比你更有名，但也许没有像你那样可靠的人。正是怀着这种目的我两年前拜访了你的住所，这样，我可以通过亲身观察来看你是否与你名声相符。”接下去这封信描述了比尔和一队29个快乐的“喜爱探险，尤其是那些带有危险的远征”的伙伴们如何于1817年4月开始到西边广袤的大平原进行两年的打猎冒险活动。1818年春，大约在圣塔。菲以北300英里处，这个打猎队在恶劣的气候中拖着疲惫不堪的身体追赶着一大群野牛进了一个深深的峡谷。他们追赶累了，于是拴上马搭起了帐篷。当他们正准备晚饭时，他们中一位眼尖的瞭望者在岩石的缝中看到有金子。信中说，在以后的18个月中，他们在友好的印第安人的帮助下挖出金子，还有银子。然后，比尔和他的几个好友把这些财宝拉到弗吉尼亚，他们打算把它们隐藏在那里的一个他们以前曾到过的洞中，这个洞“在贝德福德县的布法德酒馆附近”。然而到达该洞后，比尔认为它作贮藏库不合适，“附近的农民经常到洞里去，他们把它作为甘薯和其他蔬菜的贮藏所”。因此，他们选择了另一个隐蔽的地点。然后，比尔又来华盛顿旅馆登记住宿。他对莫里斯像人们所称颂的那样可信感到满意，于是再次冒险西行加入他同伴之列。1822年秋天，他将大量的金银带回弗吉尼亚，把这些贵重金属贮藏在那个隐蔽地点，并把锁着的盒子委托给莫里斯。至于那3张难以理解的文件，上面写满了数字，信中写道，这些文件如用允诺给予的密钥破译出，就会揭示出隐藏处的确切地点、贮藏处具体所藏之物以及这30个冒险家的姓名和地址。该信指示莫里斯把这份财宝分成31等份，留一份给自己作为其服务的报酬，而将其余的各份分给30个债权人的亲属。“最后，我亲爱的朋友，”比尔写道，“我请求你不要让虚假而无用的拘谨妨碍你接受并拿走指定给你本人的那份。它是一份礼物，不仅是我个人而且是我们队所有成员送给你的礼物，并且它并不微薄得与你给予我们所需要的帮助不成比例。”盒子中的东西无疑勾起了莫里斯的好奇心。但驱使他的并不是贪婪之心，而是希望不辜负那个魅力超凡的猎艳者和他29个未知同伴的信赖，他们因喜爱大胆冒险而结合在一起。“这些人生性莽撞好动，他们这种性格的魔力诱使他们越来越远离尘世，终于为之丧生”。莫里斯在其一生余下的 19年中致力于发现财宝，但由于没有那份神秘文件的密钥而不能有任何进展。在他临终前的1863年，他把那只盒子的事告诉了詹姆斯。沃德，沃德是一位酒馆侍者，有家有口，处事谨慎，他积了足够的钱以便能花时间寻找那些无法捉摸的财宝。莫里斯认为，让沃德知道比尔的秘密是对他施以恩惠，可能还是一桩丰厚的惠赐。其实相反，它成了沃德的祸根。他开始沉溺于密码之中，他努力破译出第二页密码，揭示了所隐藏财宝的内容（2，921磅金子，5，100磅银子，按今天的标准就是价值约为335万美元的珠宝），但未发现埋藏地点，他更不能自拔了。“当碰巧揭示出第二页的内容时，我喜悦的心情简直无法形容”，沃德写他本人。然而，这次意外发现虽然使他一时欣喜异常，但却是他最大的不幸，为了那个今已证明是纯粹的子虚乌有之物，他放弃了家庭、朋友和一切正常的追求……当作者回想起为了这一希望他那焦虑的日日夜夜，他的深夜煎熬，他的代价，他的希望和他的失望时，他只能得出了这样的结论：莫里斯先生这一遗产，虽然他的本意是好的，却使沃德因福得祸。再来看看那些密码本身：第一页：1，700万美元财宝贮藏地点：71，194，38，1701，89，76，11，83，1629，48，94，63，132，16，111，95，84，341，975，14，40，64，27，81，139，213，63，90，1120，8，15，3，126，2018，40，74，758，485，604，230，436，664，582，150，251，284，308，231，124，211，486，225，401，370，11，101，305，139，189，17，33，88，208，193，145，1，94，73，416，918，263，28，500，538，356，117，136，219，27，176，130，10，460，25，485，18，436，65，84，200，283，118，320，138，36，416，280，15，71，224，961，44，16，401，39，88，61，304，12，21，24，283，134，92，63，246，486，682，7，219，184，360，780，18，64，463，474，131，160，79，73，440，95，18，64，581，34，69，128，367，460，17，81，12，103，820，62，116，97，103，862，70，60，1317，471，540，208，121，890，346，36，150，59，568，614，13，120，63，219，812，2160，1780，99，35，18，21，136，872，15，28，170，88，4，30，44，112，18，147，436，195，320，37，122，113，6，140，8，120，305，42，58，461，44，106，301，13，408，680，93，86，116，530，82，568，9，102，38，416，89，71，216，728，965，818，2，38，121，195，14，326，148，234，18，55，131，234，361，824，5，81，623，48，961，19，26，33，10，1101，365，92，88，181，275，346，201，206，86，36，219，320，829，840，68，326，19，48，122，85，216，284，919，861，326，985，233，64，68，232，431，960，50，29，81，216，321，603，14，612，81，360，36，51，62，194，78，60，200，314，676，112，4，28，18，61，136，247，819，921，1060，464，895，10，6，66，119，38，41，49，602，423，962，302，294，875，78，14，23，111，109，62，31，501，823，216，280，34，24，150，1000，162，286，19，21，17，340，19，242，31，86，234，140，607，115，33，191，67，104，86，52，88，16，80，121，67，95，122，216，548，96，11，201，77，364，218，65，667，890，236，154，211，10，98，34，119，56，216，119，71，218，1164，1496，1817，51，39，210，36，3，19，540，232，22，141，617，84，290，80，46，207，411，150，29，38，46，172，85，194，36，261，543，897，624，18，212，416，127，931，19，4，63，96，12，101，418，16，140，230，460，538，19，27，88，612，1431，90，716，275，74，83，11，426，89，72，84，1300，1706，814，221，132，40，102，34，858，975，1101，84，16，79，23，16，81，122，324，403，912，227，936，447，55，86，34，43，212，107，96，314，264，1065，323，328，601，203，124，95，216，814，2906，654，820，2，301，112，176，213，71，87，96，202，35，10，2，41，17，84，221，736，820，214，11，60，760.第二页：财宝的具体内容：115，73，24，818，37，52，49，17，31，62，657，22，7，15，140，47，29，107，79，84，56，238，10，26，822，5，195，308，85，52，159，136，59，210，36，9，46，316，543，122，106，95，53，58，2，42，7，35，122，53，31，82，77，25O，105，56，96，118，71，140，287，28，353，37，994，65，147，818，24，3，8，12，47，43，59，818，45，316，101，41，78，154，994，122，138，190，16，77，49，102，57，72，34，73，85，35，371，59，195，81，92，190，106，273，60，394，629，270，219，106，388，287，63，3，6，190，122，43，233，400，106，290，314，47，48，81，96，26，115，92，157，190，110，77，85，196 46，10，113，140，353，48，120，106，2，616，61，420，822，29，125，14，20，37，105，28，248，16，158，7，35，19，301，125，110，496，287，98，117，520，62，51，219，37，37，113，140，818，138，549，8，44，287，388，117，18，79，344，34，20，59，520，557，107 612，219，37，66，154，41，20，50，6，584，122，154，248，110，61 52，33，30，5，38，8，14，84，57，549，216，115，71，29，85，63，43 131，29，138，47，73，238，549，52，53，79，118，51，44，63，195，12，238，112，3，49，79，353，105，56，371，566，210，515，125，360，133，143，101，15，284，549，252，14，204，140，344，26，822，138，115，48，73，34，204，316，616，63，219，7，52，150，44 52，16，40，37，157，818，37，121，12，95，10，15，35，12，131，62 115，102，818，49，53，135，138，30，31，62，67，41，85，63，10，106，818，138，8，113，20，32，33，37，353，287，140，47，85，50，37，49，47，64，6，71，33，4，43，47，63，1，27，609，207，229，15，190，246，85，94，520，2，270，20，39，7，33，44，22，40，7，10，3，822，106，44，496，229，353，210，199，31，10，38，140，297，61，612，320，302，676，287，2，44，33，32，520，557，10，6，250，566，246，53，37，52，83，47，320，38，33，818，7，44，30，31，250，10，15，35，106，159，113，31，102，406，229，540，320，29，66，33，101，818，138，301，316，353，320，219，37，52，28，549，320，33，8，48，107，50，822，7，2，113，73，16，125，11，110，67，102，818，33，59，81，157，38，43，590，138，19，85，400，38，43，77，14，27，8，47，138，63，140，44，35，22，176，106，250，314，216，2，10，7，994，4，20，25，44，48，7，26，46，110，229，818，190，34，112，147，44，110，121，125，96，41，51，50，140，56，47，152，549，63，818，28，42，250，138，591，98，653，32，107，140，112，26，85，138，549，50，20，125，371，38，36，10，52，118，136，102，420，150，112，71，14，20，7，24，18，12，818，37，67，110，62，33，21，95，219，520，102，822，30，38，84，305，629，15，2，10，8，219，106，353，105，106，60，242，72，8，50，204，184，112，125，549，65，106，818，190，96，110，16，73，33，818，150，409，400，50，154，285，96，106，316，270，204，101，822，400，8，44，37，52，40，240，34，204，38，16，46，47，85，24，44，15，64，73，138，818，85，78，110，33，420，515，53，37，38，22，31，10，110，106，101，140，15，38，3，5，44，7，98，287，135，150，96，33，84，125，818，190，96，520，118，459，370，653，466，106，41，107，612，219，275，30，150，105，49，53，287，250，207，134，7，53，12，47，85，63，138，110，21，112，140，495，496，515，14，73，85，584，994，150，199，16，42，5，4，25，42，8，16，822，125，159，32，204，612，818，81，95，405，41，609，136，14，20，28，26，353，302，246，8，131，159，140，84，440，42，16，822，40，67，101，102，193，138，204，51，63，240，549，122，8，10，63，140，47，48，140，288.第三页：探险者亲属的姓名和地址：317，8，92，73，112，89，67，318，28，96，107，41，631，78，146，397，118，98，114，246，348，116，74，88，12，65，32，14，81，19，76，121，216，85，33，66，15，108，68，77，43，24，122，96，117，36，211，301，15，44，11，46，89，18，136，68，317，28，90，82，304，71，43，221，198，176，310，319，81，99，264，380，56，37，319，2，44，53，28，44，75，98，102，37，85，107，117，64，88，136，48，151，99，175，89，315，326，78，96，214，218，311，43，89，51，90，75，128，96，33，28，103，84，65，26，41，246，84，270，98，116，32，59，74，66，69，240，15，8，121，20，77，89，31，11，106，81，191，224，328，18，75，52，82，117，201，39，23，217，27，21，84，35，54，109，128，49，77，88，1，81，217，64，55，83，116，251，269，311，96，54，32，120，18，132，102，219，211，84，150，219，275，312，64，10，106，87，75，47，21，29，37，81，44，18，126，115，132，160，181，203，76，81，299，314，337，351，96，11，28，97，318，238，106，24，93，3，19，17，26，60，73，88，14，126，138，234，286，297，321，365，264，19，22，84，56，107，98，123，111，214，136，7，33，45，40，13，28，46，42，107，196，227，344，198，203，247，116，19，8，212，230，31，6，328，65，48，52，59，41，122，33，117，11，18，25，71，36，45，83，76，89，92，31，65，70，83，96，27，33，44，50，61，24，112，136，149，176，180，194，143，171，205，296，87，12，44，51，89，98，34，41，208，173，66，9，35，16，95，8，113，175，90，56，203，19，177，183，206，157，200，218，260，291，305，618，951，320，18，124，78，65，19，32，121，18，53，57，84，96，207，244，66，82，119，71，11，86，77，213，54，82，316，245，303，86，97，106，212，18，37，15，81，89，16，7，81，39，96，14，43，216，118，29，55，109，136，172，213，64，8，227，304，611，221，364，819，375，128，296，11，18，53，76，10，15，23，19，71，84，120，134，66，73，89，96，230，48，77，26，101，127，936，218，439，178，171，61，226，313，215，102，18，167，262，114，218，66，59，48，27，19，13，82，48，162，119，34，127，139，34，128，129，74，63，120，11，54，61，73，92，180，66，75，101，124，265，89，96，126，274，896，917，434，461，235，890，312，413，328，381，96，105，217，66，118，22，77，64，12，12，7，55，24，83，67，97，109，121，135，181，203，219，228，256，21，34，77，319，374，382，675，684，717，864，203，4，18，92，16，63，82，22，46，55，69，74，112，135，186，175，119，213，116，312，343，264，119，186，218，343，417，845，951，124，209，49，617，856，924，936，72，19，29，11，35，42，40，66，85，94，112，65，82，115，119，236，244，186，172，112，85，6，56，38，44，85，72，32，47，73，96，124，217，314，319，221，644，817，821，934，922，416，975，10，22，18，46，137，181，101，39，86，103，116，138，164，212，218，296，815，380，412，460，495，675，820，952.沃德是如何设法破译出第二页的呢？密码文中数字的数目大大超过了26个（字母表中字母的数目），沃德想，既然如此，这些数字是不是有可能与比尔曾依次编号的文件中的单词相对应呢？考虑到这一点，沃德试着对许多著名文件中单词的字母进行编号并用那些字母代替密码文中的数字。“这全都是徒劳无益的，”沃德写道，“直到后来，《独立宣言》为其中一张纸的数字提供了线索而重新激发了我的希望。”沃德的做法是给《独立宣言》中每个单词的第一个字母进行编号。例如，他这样给前9个词进行编号：他从这些单词中发现1＝W，2＝1，3＝T，4＝C，5＝0，6＝H，7＝E，8＝1，9＝B.你已经可以看到比尔有两种办法给字母I加密：2或 8.等到他给整个《独立宣言》编号之后，他对许多字母无疑就有了众多的选择。通过自由运用所有这些选择，他借助频率分析法破译难以译出的密码文。这样，由于沃德碰巧发现了适当的密钥——《独立宣言》——而破译了这段密码，他运用这一密钥而推断出下列一段文字：“我在离布法德约4英里处的贝德福德县里的一个离地面6英尺深的洞穴或地窖中贮藏了下列物品，这些物品为各队员——他们的名字在后面第三张纸上——公有。第一窖藏有1，014磅金子，3，812磅银子，藏于1819年11月。第二窖藏有1，907磅金子，1，288磅银子，另有在圣路易为确保运输而换得的珠宝，价值1.3万美元，它们藏于1821年12月。以上物件稳稳地包在带有铁盖的铁罐之中。该窖穴用石头粗糙地砌成，那些铁罐就放在坚硬的石头之上并用其他石头覆盖。第一页描述了该窖穴的确切位置，因此，找到它并无困难。”这段文字，尤其是最后一行激发起沃德的兴趣，他花了越来越多的精力去破译其余密码。然而，尽管他做了尝试，但却毫无进展。“随着时光的流逝，”沃德写道，“我从比较富裕降到赤贫的地步，并使那些我有责任保护的人遭受痛苦，这也是无视于他们的忠告的结果。终于，我注意到他们的状况，并决心立即并永远割断与这件事的一切联系，如果可能的话，尽力弥补我的过失。为做到这一点，并使我再也不会受到诱惑，我决定把这件事全部公开，卸下我对莫里斯承担的责任。”于是，1894年，他出版了一份比尔密码的报告书，这份报告是我们今天了解该密码及或许由其所获得的大量财宝的惟一资料来源。我向你叙述的每一个有趣的细节——比尔高高的个头，黝黑的皮肤，莫里斯与富人和穷人都合得来，猛兽吸引着比尔及其猎队——全都出自沃德之口。然而却没有一项独立的证据：没有证明的信件，没有日记，没有遗嘱，也没有有关财宝的证明。而且，比尔想象中给莫里斯的盒子没有保存下来，声称在盒子里的信和加密的文件也是如此。如果沃德是一个喜欢恶作剧的人，那他一定精通此道：他赢得了一次历时最长也是代价最大的骗局。如果你想一想计算机为破译这些密码所花的全部时间就知道这一点。哈默说：“我们用计算机摆弄的那些数字需要100万人花10亿年时间才能用纸和笔重演一遍。”20世纪60年代，一些密码分析界最富智慧的人（和许多最拙劣者）组成了一个秘密协会——比尔密码协会——以便他们倾其知识和才智去发现那堆难以捉摸的财富。哈默就是该协会的一位著名成员，他对未经译解的比尔文件中的数字的分布做了大量统计、试验，并总结说，这些数字并不是随意写出的，它一定隐含着一段英文信息。多数密码学家同意哈默的分析，但存在一段文字并不意味着全部的东西就不是一场骗局。谁说这段文字就不是像“你是世上最大的笨蛋，大脑迟钝”这类的话呢？纽约密码协会主席路易斯。克鲁做了些另一种统计试验，目的是对沃德的写作风格与沃德报告书中所引用的比尔信件的风格进行比较。克鲁发现，这两种写作风格颇为相似，他深信比尔的信是沃德写的。例如，沃德句子平均长度是28.82个单词，而比尔信中句子平均长度为28.75个单词。然而，克鲁的分析使得几位比尔密码协会的成员关掉电脑而洗手不干了。1981年，弗吉尼亚技术学院的一位好幻想而又务实的低年级大学生沃伦。霍兰赋予比尔的这项遗物以新的生命。霍兰没能在建筑业上取得成就，因为他难以从顾客那里收到钱。他说：“在那个行业，人们忘记了诚实，忘记了做人，他们总是强人所难。”由于心情抑郁，存款日减，他开始性情内向，博览群书，包括比尔密码的报告书以及有关许多财宝寻求者——他们在约 160年后仍然在弗吉尼亚的偏远山林中挖掘不已——的情报报告。虽然他也对这个故事感兴趣，但他不是那种要跑出去到野外挖掘的那种人——他在建筑业中干够了这些。后来，他有了！他通过神奇地投人所好而找到一条来钱的路子。他对自己写的一段话加密并拿到市场上去兜售，并为破译它的人颁奖。他只花了几个小时就给他所喜欢的几首诗编好密码，这些诗的作者是卡明斯，书名为“诗人的忠告”，说的正是你自己在一个努力要使你泯如众人的世界中的美德。霍兰的做法与比尔一样。首先，他选择密钥：不是《独立宣言》，而是卡尔。萨根写的《宇宙》的第六章。然后，他依次对单词进行编号，从本章开始的一段引语的第一个字开始，每个数代表一个词的第一个字母。最后，他用这些数码代替“诗人的忠告”中的字母。他决定将密码文写在拼板玩具上，这样，他制造出谜中之谜。这项工作容易，只花了一个下午的时间。难的是把这个谜推销到市场上去，这工作花去了两年时间。他想设立一个奖金为10万美元的破译奖，并打算以出售该谜来筹集这笔钱。但他想为该奖提供保险，怕万一卖得金额达不到10万美元。伦敦劳埃德保险公司拒绝为他作保，因为伦敦警察厅认为该密码可轻易被破译。最后他说服了一家美国保险公司，并找到了一个销售商推销该谜。这个被称作“密码员”的谜，从它投入市场到1985年3月被破译为止的两年时间中，销售了约 25万套。1984年冬，麻省理工学院27岁的计算机科学博士候选人阿兰。舍曼决定开设一门密码学小型课程，其目的就是要破译霍兰的“密码员”之谜。有6名学生，包括一名特别研究生罗伯特。鲍德温选了这门课。班上配备了一台当时最精密的个人用计算机——符号象征学3600型表格处理机，以及麻省理工学院计算机科学实验室所有其他设备，舍曼的办公室就设在实验室里。（他现为特福茨大学副教授，乘地铁上班有4站路。）对于计算机科学实验室来说，未破译的密码并不陌生。那儿的许多教授对密码学做出过杰出的贡献，但一般来说，他们更关心的是学术性和理论上的问题而不是去赢得破译商用之谜的奖金。然而，贴在实验室墙上的纸表明此地也是风尘之地。贴得最显眼的是那张 1984年7月 10日《世界新闻周刊》的超级市场文摘的前页，该页在突出位置刊登着“嫉妒的电脑杀死一流科学家：老机器使主人触电身亡——在他买了更先进的型号后”的故事。墙上还钉有苏联各种城市奇怪的街区地图。中央情报局过去曾在这层楼办公。在他们搬出这幢楼之后，麻省理工学院学生从一个垃圾桶中翻出这些地图，还有一些诸如《如何在城市跟踪人》的小册子。舍曼自己险些陷入诡计，这种诡计并不是中央情报局所干的间谍侦察，而是政府译密和编密总部国家安全局巧妙地运用计算机键盘所进行的窃听。这个政府组织中最秘密的部门甚至预算都保密，有人认为它的预算比中央情报局多一倍。其活动极为秘密，甚至它的雇员开玩笑说NSA不是National Security Agency（国家安全局）的缩写，而是 Never Say Anything（守口如瓶）的缩写。安全局负责有争议的“数据加密标准”，其他政府机构和私人公司可能使用这种复杂密码来为有关私人的档案材料保密。批评家指责安全局在提倡这种密码，称之为实际上是不可译解的，因为该局在这种密码中设了一个秘密活动门，每当它想给机密档案加密时，它可以毫不费力地工作。舍曼不属这些批评家之列，但他费了许多精力来研究“数据加密标准”的数学属性以及那些特性与该密码可靠性的关系。他研究出该密码有一种奇怪的特性：存在着与其编码相同的文字！一般来说，大家离开研究部门到安全局工作并不是因为受到突发的为国服务之心的驱使，而是因为该局对他们中的技术迷具有吸引力：国家安全局在马里兰的绝密设备明显比这个行星上任何其他地方都装备有更多的计算机。舍曼拒绝了该机构提供的工作，因为其严格的保密条例可能会使他无法再教授密码学或发表有关这个专题的论文。鉴于该局有名的保密命令，可以推测国家安全局一名雇员破译了比尔密码，但该局的条例禁止他报告其解法或正在黑幕的掩护下挖掘那些财宝。当我1985年春遇见鲍德温时，他表示出对“密码学议定书”感兴趣，运用密码学是为达到“较高的目标”。我要是问他何为较低的目标就好了；而我所能想到的就是国家安全局对莫斯科豪华轿车间的无线电通话进行有记录的窃听，在这些轿车中，克里姆林宫的头面人物透露了当地男按摩师的特别服务。但鲍德温没有鼓动就详细谈论起“较高目标”来。他告诉我如何能使用密码签名，以便在你用键盘与一台计算机通信时，你知道它是你正在与之联系的那台计算机而不是某种正模拟这台机器的可恶而手段高明的破坏者。另一个较高目标是给私人支票和信用卡收据加密，这样，除储户本人外无人知道他把钱花在什么上面。“支票应该是匿名的，”鲍德温说，“不应该让它对你的住址透露出一点痕迹，如果你给你情妇开支票那不关别人的事。”鲍德温向我演示了他们用于破译“密码员”的计算机系统。他打开程序，屏幕上出现了下面一段文字：注意：只有原始执行者才获准使用本系统，你是执行者吗？“为了禁止越权使用，我们只用了这简单的一招，”鲍德温说，“它要求人们遵守道义。”这种系统的思想是：使用者用备选的密钥文打字，计算机测出各种给该文编号的策略。一种策略是给每个单词的第一个字母进行编号，就像比尔给《独立宣言》编号一样。另一种方式是给每个字母编号。每种策略在文中各种标点处开始反复尝试。每种方式得出字母数字间的不同分配，然后计算机将之应用到密码文中去以图推断出一段英语文字来。由于计算机不会读英文，鲍德温和舍曼不得不设计一种能辨出抽出的文字是毫无意义的，还是有意义的方法。他们通过让它做统计试验而做到了这一点。计算机计算抽出的文字中某些字母对的频率，并将这种频率与已知的英语频率进行比较。如果频率相近，计算机则将抽出的文字贮存起来以供比它更有文化的主人细读。到目前为止，一切顺利。但该系统的成功有赖于鲍德温和舍曼用正确的密钥文打字。关于这一点，他们即使拥有现代密码学的一切手段也不会比沃德干得好多少。实际上，沃德本能更轻易地做到这一点，只因为在1820年时出版的文献较少，因而可供选择的候选密钥文也较少。不过，霍兰公布了几个秘密线索：“3.19”和“如果你知道它以C打头，它会有助于你吗？”这第一条线索想必是卡尔。萨根（Carl Sagan）姓名中的大写字母，因为 C是字母表中的第三个字母而S是第十九个字母。第二条线索适用于《宇宙》一书，因为它是以C字母开头的。时间一日一日地过去，仍没人破译出“密码员”。于是霍兰不断地透露出有用的线索，供给并鼓励人们给出难题者打热线电话。“1985年3月初，”，鲍德温回忆说，“霍兰透露出一条线索：密钥是《宇宙》第六章一个首字母系列。我们推断出他说的是单词的首字母，因为没有足够的行或句来构成由那些行或句的首字母组成的密钥。我们雇了个人打印这一章，到3月中旬我们一直在进行这个项目，但我们一直未获得相对应的文字。我们试了试霍兰实际上所用的策略：从第一个单词的第一个字母开始，编号为l，以此类推。到第二百五十六个单词时我们都很顺利，第二百五十六个单词是c，它是circa（大约）的缩略语。我们想，既然它代表着一个单词，霍兰一定会把这个c.算上的。而实际上他把它省略了，这意味着我们编号的其余每个字母都差一个数，这一微小差别产生出毫无意义的文字。”“还有其他一些特别的东西。萨根在某处写了 Jet Propulsion Laboratory（喷气推进试验室）的缩写JPL.这个JPL是算1个词还是算3个词呢？霍兰却把它删去了。这个c.，JPL以及其他一些混杂的东西——首字母缩略词、脚注、图片说明、用连字号连接的词以及文中的数字——打破了我们的程序。当我们开始时，我们把密钥文想象成与《独立宣言》相类似的东西，《独立宣言》不同于《宇宙》那样的现代文献，很少有那种混杂的文字。直到这种游戏的最后我们才感觉良好，看！我们的程序倍加小心地对数千个不同策略进行尝试——选择每个元音之后的字母或其他我们所能想出的不可思议之物，但它却不特别善于对该文进行处理，不善于确定什么是单词及什么不是单词。我们发现，处理首字母缩略语、脚注、用连结号连接的单词及其他混杂的词有大约60种不同的方法。我们没有指定这个程序做这些，我们也不打算用手将它们全部试一遍。”3月27日，舍曼和鲍德温设计出一种方法，能巧妙地识别信息部分与一部分密钥文的对应，这种方法避免了如何处理该文的特殊文字中出现的问题。他们注意到，在密码文中的许多地方，毗邻的密码符号号码数相近。比方说，在某处有这样一组号：867、877和860.其间最大差为17.把没有混杂的密钥文中的17个连续词（从860—877）集中起来，并依次将它们编上号，这样，他们就能推导出867、877和860的明文字母。他们实际上是在更为详尽的范围内这样做的，为的是可以推导出足够多的明文字母以便能对之进行统计数字分析。与以前一样，该程序是把推导出的文字中成对字母的频率与已知的一般英语的统计数字相比较。3月29日，计算机找出了一段显示出适当统计数字的文字摘要。鲍伯开始寻找对应文字，一直到写出卡明斯的诗句。“真有趣，”他说，“但从统计上说，全部英语文章的99.8％都比诗更接近于普通英语。例如，该诗用了15次no和you两词。但与非英语相比，这诗与英语相近多了。我们所幸的是我们在这种统计中有足够的余地。”如果他们认为卡明斯很糟糕，他们应庆幸霍兰所爱的诗不是格特鲁德。斯泰因的诗。他们的程序拿什么处理“Rose is a rose isa rose”中字母的频率？对舍曼和鲍德温来说，不幸的是“密码员”竞赛提交答案的最后日期不像他们所认为的是3月的最后一天，这天只是最后一个营业日。“难以想象我们竟没有认识到这一点，”鲍德温说，“我们认为我们是麻省理工学院的学生，因此我们不一定要细读其规则。”实际上他们略感慰藉的是，他们赢得了全部的10万美元，不然的话，他们不得不与其他36位及时提出解答的人平分。“此外，”那个从不会放过任何一个计算机会的鲍德温说，“我们许诺过把奖金的一半给这所大学作为财政援助。其余一半由阿兰、打字员和我分掉。你知道，打字员之所以占一定的比例是因为我们不能支付他钱。那样算，我的一份是700美元。天哪，我做两天的咨询工作就可挣这么多钱。”如果咨询业务停顿，鲍德温总可以通过整理他们有关比尔密码的计算机化译密系统来追寻比尔的宝藏。不过，查明比尔的密钥文是个恼人的问题，迄今为止，无论是先进的密码术还是电脑数字处理都无济于事，此外，比尔可不像霍兰那样在附近向你透露线索。第二篇 形状人类在发明车辆、使用金属、创造文字之前就具备初步的数学知识。史前的人工制品表明人类早期借助于计数棒上的刻痕进行计算。例如：在捷克斯洛伐克出土的一根3万年前的狼骨上面，刻有55道深深的刻痕，5道刻痕为一组。早在埃及和美索不达米亚的古文化时期，人们就懂得几何学和算术，虽然现存的文物史料很不完备，不足以说明当时人们掌握这些知识的程度。亚里士多德认为，埃及僧侣们在闲暇时间里致力于研究，从而发展了几何学。但是希腊的历史学家希罗多德则认为，几何学能在埃及发展起来完全是出于需要。尼罗河每年泛滥的洪水淹没了沿河流域的大片农田，冲毁了农田地标。埃及人每年都要重新测量土地，需要掌握角度、方向和长度等方面的知识。无疑，建造埃及的大金字塔也需要几何学知识。大多数古代文化和原始文化表明，当时人们似乎对几何图形有所了解。当然，可能人类天生就有完整的图形概念。甚至“把妻子错认为帽子的人”——一位患有精神病、不能辨认人和物的音乐家奥利弗。萨克斯——却能识别几何形状。几何学作为数学的一个学科，今天仍然保持其活力，几何学家们仍在最简单的几何图形中有所发现。第五章 制作复活节大彩蛋凯。麦肯齐是加拿大艾伯塔省韦格勒维尔镇的一位议员，当她谈论起计划在镇里的一片荒地上建造一个3层半楼高的复活节彩蛋时说：“这是我所想到的最好的主意。”该镇位于埃德蒙顿市以东55英里，是一个寂静的乡镇。荒地对面是一家私人疗养院，这里经常受到龙卷风的袭击。韦格勒维尔镇的5，000居民大部分是乌克兰人，但麦肯齐本人不是。他们仍然保持着油画《皮桑基》里的基督教复活节的2，000年老传统，用鲜艳的颜色给鸡蛋绘出复杂的图案。1974年，为了庆祝加拿大皇家骑警队成立100周年，加拿大政府决定拨专款筹办庆祝活动。为什么不做一个巨大的彩蛋呢？麦肯齐想。鸡蛋象征骑警队为世代居住在韦格勒维尔镇的乌克兰人带来和平与安全。起初，麦肯齐的镇公所的同事们认为这事很可笑，但她还是说服他们接受了做彩蛋这一建议。他们猜测，拨款委员会在审查无数项建议，如有马背上的骑警、仰首高歌的加拿大鹅和金黄色的枫叶等雕像之后，会接受这一独具匠心的提议的。事实上，提交的许多建议都极其普通，毫无希望。也有许多关于整修老建筑物的提议，就连挂在墙上颂扬骑警的徽章也是事后才提出的。最后，韦格勒维尔镇收到地方商会提供的15，000美元的专款，于是立即寻找制造彩蛋的人。镇领导邀请一位受人尊敬的本地建筑师来制造世界上最大的装饰彩蛋，他也认为这事太可笑。几个月后，镇领导又请来这位建筑师检查其工作进展。他报告说，他认为是在哄骗他，所以他什么工作也没有做。镇领导又请了另一位建筑师，他觉得更可笑。在与6家设计公司商谈之后，镇领导与罗纳德。戴尔。雷施先生取得联系，他35岁，是美国犹他大学计算机学科副教授。雷施回忆说：“起初，我也认为这事很可笑，但是，当他们最终交给我这项工作时，我有一年半的时间不再笑了。”雷施所面临的问题是，有史以来，除了鸡能产蛋之外，还没有任何人制作过蛋形物，而且生物学家也不十分清楚鸡是如何制造蛋的。根据可以信赖的《大不列颠百科全书》收载，鸡每年大约产蛋3，900亿次。但家鸡，要生成一个完整的蛋大约需要24小时，开始时在鸡卵巢中形成蛋黄（卵细胞），初期的鸡蛋黄开始进行漫长旅行，走走停停、缓慢地通过输卵管。输卵管是一条从卵巢通到产道的管形通道。最初，鸡蛋停止不动3个小时，吸收从输卵管壁细胞中分泌出来的白蛋白（蛋白）。而后鸡蛋前进到输卵管的某一段，在那里停留1个小时，接受卵膜，成为蛋壳的内膜。最后，鸡蛋移向子宫，在那里停留24小时，积聚白垩质堆积物，这些堆积物硬化后成为蛋壳。至此，鸡蛋总是以较细的一端在前移动，但是在其产出之前半小时，它会急速翻转，所以在产蛋时，鸡蛋是粗端先产出来的。最初，鸡蛋是液体结构。在没有外力作用时，它是圆球形的，这种形状与其他物体的接触面最少。设有一定量的液体，在所有可容纳此液体的形状中，球形的表面积最小。雕鸮与翠鸟所产的蛋实际上都是接近球形的，但是大多数鸟蛋都类似于鸡蛋，都是椭球形的，这是由于输卵管肌肉收缩挤压着把蛋向前推，从而改变了鸟蛋的球形形状。事实上，所有形状本质上都具有某种功能，无疑，即使科学至今尚未证实形状的具体功能是什么，而蛋的形状也不例外。也许，这与蛋类的滚动有关。如果鸡蛋都是球形的，那么它们容易滚走。某些海鸟，如栖居在北部海域的一种海雀——嘴又细又长的海鸠，所产的蛋比起鸡蛋来，更不像球形。海鸠蛋的形状很像一只陀螺，其动力学结构使之滚动时不会直线滚走，而是紧绕着环形滚动。与筑巢鸟相比，海鸠就像一个冒失鬼，它摈弃鸟巢，把陀螺形的鸟蛋直接产在海岸边光滑的悬崖边缘上，这是海鸠的幸运。鸡蛋和许多其他鸟蛋都是一端比另一端粗些，这就是说蛋类能够在巢内紧密地堆放在一起，可比球形蛋堆放得要多。美国伯洛伊特学院鸟类学家乔尔。卡尔。韦尔蒂写道：“如果双胸斑沙》鸻（北美鸻科鸟一种小水鸟，以其悲哀、尖刺的叫声而闻名）的巢里4个鸟蛋排放混乱的话，母鸟就会将其细端朝内重新排列好蛋，非常像一块块薄馅饼，这不仅使亲鸟能更好地覆盖鸟蛋，而且由于其密集的排列使鸟蛋从鸟体上得到的热量散失得比较缓慢。也许，蛋类的形状还有助于增加强度。它毕竟需要在巢亲鸟的体重压力下不至于破裂。我们已经知道蛋的大小与蛋壳的厚薄度，鸡蛋的强度是蛋中比较强的，但它还不是非常强的，还不能像传说中所说的，能在大力士手中纵向紧握挤压下幸存下来。也许这位神话中的大力士能把一本电话号码簿撕成两半，（传说中的鸟蛋强度已被最新的广告用来招徕顾客，广告图片描绘了一个C形铁钳钳住的没有破裂的鸡蛋。）实际上，你也不会是一个只用单手打破鸡蛋的男子汉；而我在6岁时就曾用一只小脏手打破过鸡蛋。可见，科学是进步了，但厨房的地板却一塌糊涂。雷施说道：“如果一位壮汉在鸡蛋表面上均匀施加压力，他将不能压破鸡蛋。这在理论上可能是正确的。然而实际上，没有一个人能够均匀地施加压力，总会在某点上大于另一点，因而鸡蛋就会破裂。在许多教科书中，人们总想说明，若在一大堆鸡蛋的上下铺些灰泥，大象站在上面，也不会压碎它们。这也只能说明任何一种结构的真实性：如果你能正确地施力，那么结构就能承受。而在现实世界中，却从来没有正确施力的。”对此，雷施考虑，怎样工作才能使他从理论上和在实际中都成为一位理想的制作复活节彩蛋的人，他可以从图纸上的设计中看到那个高达31英尺、重达2吨半、像纪念碑一样庞大的复活节彩蛋。雷施的生活中有一句简单的座右铭“志在四方”。有时，他会离开美国几个月，到印度去思考，有时，他会在大学或研究中心附近开设商店，并从事他的几何图形艺术和计算机图形学研究工作。然而在大部分时间内，他都是到处走动，受聘于那些在几何设计方面需要帮助解决各种棘手问题的人，如他在韦格勒维尔镇的朋友们。由于雷施在数学或工程方面没有经过正式的培训，因此他所依靠的主要不是分析方法，而是靠他头脑中形成几何抽象概念的能力，然后用他自己的双手（目前则是用他的计算机打印机），把这种思维的抽象概念转化成为物理实体。他曾为设在弗吉尼亚州的美国国家航空航天局的兰利研究中心设计过预制的航天飞机舱室组件。这些组件能够紧紧地装在运载它们进入太空的航天飞机载货架上，在太空展开后可以连接在一起，形成巨大的太空站结构。影片剧本《星际旅行》的制片人曾雇用他设计一种外星飞船的嘴；制片人告诉他，要把嘴设计成貌似器官而且具有高科技的特点，他终于设计出这种神秘太空飞船的技术嘴，能够在其飞行途中吞没一切东西，包括星际飞船“企业号”在内。他也为荷兰的一家多国包装设计联合大型企业——范利尔皇家包装工业公司设计出一种高效的装箱方法，可把类似苹果和李子等球形水果更多地装入条板箱内。找出一种最密集地堆积各种不同几何状物体的方法，是数学中一个古老的问题，它曾引起过许许多多的争论。例如 1694年，伊萨克。牛顿就曾与牛津的天文学家戴维。格列高里进行过关于球形问题的争论，所有一样大小的球形，能够与任何一个同样大小的球形接触，其最多数目是多少，格列高里说是13个，而牛顿却认为是12个。这个问题的讨论持续了180年，最后证明牛顿是正确的。在第十三个球形的周围放置12个球形，是已知的最密集堆积球形方法中的秘诀。设想在类似桌面般的平面上把一串球排成直线。接着，紧靠着第一行球放上另一行球，并使这行球落入另一行各球之间；于是任何一个球都会与另一行的两球接触。放上更多行球，直到整个桌面放满为止。增加第二行球，须使它们处于第一行各球之间的空隙处。然后在第二行球的空隙处放上球。使其形成第三行球。如果这种层层放球方式不受桌面限制，而是放满整个空间，那么球形会占该空间的74％。换句话说，需要浪费26％的空间。没有任何人知道是否还有更密集的堆积方法。当雷施开始为范利尔皇家包装工业公司考虑苹果和李子的包装工作时，他假设球形水果要装在长方形的条板箱内装运，那么它们须按这两种已知的最密集排列方法中的一种装箱。他按该方法着手进行了几个月，直到他突然想到，已知的最密集的堆积方法是数学上假定整个宇宙都充满着球形。但是，在现实世界中，他所涉及的只是一个很小的有限体积，一个3英尺×4英尺的条板箱。由于这种意识，他认为自己是能够解决这个问题的，但是他却得到了重要的经验教训：世界本身会给人以各种各样的约束，而这些约束是纸上谈兵式的推理所难以发现的。（雷施拒绝透露他的解决方法，因为尚未获得专利权。）雷施喜欢说的一句话是设计就是“设计师与环境之间的一种来回反馈”——这也是对他自己的事业所做的描述。雷施是在美国密苏里州的独立城长大的，他回顾了关于他参加专业体育的情况。在中学时，他曾是一位获得足球、篮球和田径运动3项荣誉证书的优秀运动员，但是当他在大学3年级时，体检时发现心脏有杂音，迫使他完全放弃了体育。“我的双手总是好的，”雷施说道。他不再把全部精力消耗在运动场上，而是把它引向艺术，特别是雕刻艺术，为此，他获得美国衣阿华大学的奖学金。昔日在衣阿华大学时，他曾学习过工业设计，并一直在那里读书，直到1966年获得了大学主修课目的学位。但是，由于他在工程方面没有经过技术训练，因此不能在工业方面得到一份工作。雷施回忆说：“各类公司无不对我加以非难，因为我未修任何一门数学课程。当时，人们认定我一钱不值，而我也无可奈何。然而，今天我觉得我应该辩白。我能够制作东西，不像学校正在造就的那些聪明的傻瓜，他们身为工程师，能够理解所有抽象化概念，但却不能制作螺母和螺栓。使我感到高兴的是，现代的几何图形的设计，是在物理学、化学和计算机科学领域学科做出重大成就的关键。”雷施的设计方法是采用一些基本的、最小的图形、同时探讨可以变换成为比较复杂结构的所有方法。“我已经从事一种职业，”雷施说道，“一种研究最简单的形式，即一张纸的职业。”并且探求以各种各样的方式弯曲和折叠一张纸时会出现什么样的形状。雷施接着说：“它不是折纸艺术，目的在于产生一种可以认识的形状。我所感兴趣的只足创造一种有规则的、积木式的形状。”而且，他已经这样做了——有些工作可以说是多余的。整整20多年，他已经把许多单片形式（纸张、铝箔和其他材料）变换成为可展示某种图案或规则结构的三维形式。他曾经在一些艺术陈列馆内展出许多较有意义的作品，而且他相信，沿着这条道路走下去，某些作品可以获得专利权，然而他不能证明，用单张纸折叠成为重复图案的所有可能的方法。雷施还说道：“我承接了制作复活节彩蛋的工程项目，因为我认为它不难。当时，我刚好用纸折成了圆顶形结构的图样。这种结构看来很像鸡蛋的一端，因此我认为，我可以制作出两个这样的圆顶形结构，并在它们之间放置一个鼓起的圆桶，再把三者连接在一起。”那么，它就会立即成为一个复活节彩蛋。雷施已经开发出一种计算机程序，可对折叠纸的结构进行模拟，因此他认为，只要稍加修正，它就可以模拟鸡蛋。雷施回忆说：“当我承接这项工作时，我曾以为，在人类历史上，一定有人研究过理想鸡蛋的数学。”他指望，通过对鸡蛋数学与他的几何学模拟加以比较，能够分析判断出这项模拟令人满意的程度。然而，雷施很快发现，在文献中没有关于鸡蛋的理想公式。对于许多已有名称的形状，文献中不仅含有代数式，而且还有作图的方法。以圆形为例，它很简单，是一平面上所有与该平面内某点等距离的各点集合。要作一个圆，可把一根细线的一端环绕系在一支铅笔上，另一端用图钉固定在一张纸上。绷紧细线，并使铅笔直立在纸上，环绕着图钉转动铅笔，结果就画出一圆形。在某一点上，扭转摆动甚至能使这个简单作图过程成为人们的笑料，在这个问题上，我曾从数学家马丁。加德纳那里听到：“妈妈，妈妈，为什么我总是绕着圆形走？”“闭嘴，孩子，不然我把你的另一只脚也钉死在地板上。”从圆形到球形则是很容易的一步，想象把孩子的一只脚（或者细线的一端）钉死在三维空间中的一点上，然后沿四面八方转动小孩挺直的身体（或者绷紧的细线端上的铅笔），观察小孩头部（或者铅笔尖）所画出轨迹的形状，换句话说，你可以把球形看成是急速旋转圆形所扫过的形状。当然，鸡蛋更接近于椭球形（它是急速旋转椭圆形所扫过的形状），而不是球形。即使是疯狂的数学家也不可能用快速旋转小孩的方法产生出一个椭圆形，但是，利用一支铅笔和一根用图钉固定其两端的松弛细线，就能很容易地画出椭圆形。鸡蛋不同于椭圆形，其一端比另一端粗些，但是，这种不对称性并不意味着它不能用数学式表示。的确，这要回溯到17世纪，法国学者雷内。笛卡尔（“我思故我在”）就曾探索过卵形曲线的代数式。两个世纪以后苏格兰的数学物理学家詹姆斯。克拉克。麦克斯韦，继续进行笛卡尔的工作，扩大了他的研究成果，麦克斯韦曾以他的定量证明电与磁属于同一种现象而出名。当时，麦克斯韦只有15岁，他曾向苏格兰早期科学协会——爱丁堡皇家学会递交一篇关于卵形的论文。论文是被热情接受了，但是，令人敬畏的学会却拒绝让这位小人物就这个论题向他们说教，从而错过了一个引人注目的场面，即用铅笔、细线、图钉并以小小的技巧就能画出卵形曲线图。雷施的主要问题是，虽然你曾见过一个鸡蛋，可是你却未曾见过所有的鸡蛋。鸡蛋在形状上都略有不同，他有责任辨明鸡蛋的理想形式。经过一个时期的挫折之后，他同农业部联系，并收到了一本鸡蛋分级手册。“我认为，”雷施说道，“手册里肯定有鸡蛋的定义。然而我发现，它全部是标明A、AA、B和BB的图片。最后，我终于归结出一个可似称为理想鸡蛋的形象。于是，我给它拍成照片，然后在我的计算机程序中把它数字化。”雷施和两名研究生昼夜工作了6个多月，想把折叠纸结构转变成为一个蛋形物。可是，所得到的结果都被否定了。“我们不知道错在哪里，是计算机程序有误呢，还是几何图形不对，或是数学计算出了差错？”类卵形的作图将细长线的一端固定在B点上，然后两次环绕铅笔和一次环绕A点的图钉。最后把另一端系在铅笔上。绷紧细线，就可以画出卵形的上半部。而后倒转细线和铅笔组合，就可以画出卵形的下半部。雷施抛开他的计算机程序，把曾经为他很好地服务了20多年的折叠纸技术搁置一边，再整个从头开始。他的方案是，把复活节彩蛋处理成好像一种三维的拼图玩具，由许多平面砖以微小的角度变化连接在一起，拼成彩蛋，从理论上讲，拼图的平面砖可以有各种不同的构型，而达到预期的目的，然而，雷施所需要的不仅是数学上的解法。雷施所用的平面砖必须进行加工，出于经济上的考虑，重要的是那么多的平面砖在形状和大小上应尽可能地一样；那样就可以出自同一模子了。在二维中，用瓷砖拼成棋盘格子状，图形的平面完全由平面砖（直线形的）不重叠地覆盖着，这种图形历史悠久，而且丰富多采。早在3世纪时，亚历山德里亚的天文学家帕普斯就对蜂巢的几何结构感到惊奇，这种结构已被认为是蜜蜂在建造六角形（六边形）巢室时具有的“某种几何学上的深谋远虑”。在蜂巢中，由六角形镶嵌的平面可以节省蜂蜡，因为两个巢室可以共用一个巢壁。而且，帕普斯认为它的绝妙处还在于没有外来物质能够进入（蜂巢室）间隙中，从而不会弄脏（蜜蜂）酿出的蜜。帕普斯还观察到，除了正六角形之外，在正多边形中（所有边、角相等的直线图形），只有正方形和等边三角形可以角对角地贴面铺在平面上，然而，对于蜜蜂来说，六角形的优点，是因为它在一定的周长内能够包容最大的面积。换句话说，在这3种等边图形中，只有正六角形才能以最少的蜂蜡消耗装进最大数量的蜂蜜。我们容易相信，帕普斯并没有忽略任何一种可以在平面上贴砖的正多边形。关键条件是这些多边形能够排满一个顶点周围的空隙。要做到这一点，分别需要有6块正三角形面砖、4块正方形面砖和3块正六角形面砖。这3种多边形能够包围着一个顶点，是因为他们的内角（三角形为60°，正方形为90°和六角形为120°）能够除尽360°。其他的正多边形则不具有这种性质。例如正五边形，其内角为108°，所以在一个顶点周围铺贴3块正五角形面砖，平面上尚留有36°未能贴满。